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Fonctions de référence : carré, inverse et valeur absolue
Fonctions carré, inverse et valeur absolue : définitions, courbes, signe, variations démontrées, position des courbes y = x et y = x² sur [0 ; +∞[, résolution de f(x) = k et f(x) < k.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
La courbe représentative de la fonction carré est :
- A. une droite qui passe par O
- B. une parabole de sommet O
- C. une hyperbole à deux branches
- D. deux demi-droites en V
Réponse
B. une parabole de sommet O — La courbe d’équation y = x² est une parabole de sommet l’origine ; l’hyperbole est la courbe de la fonction inverse, le V celle de la valeur absolue.
La fonction inverse est définie sur :
- A. ℝ
- B. [0 ; +∞[
- C. ]0 ; +∞[
- D. ℝ privé de 0
Réponse
D. ℝ privé de 0 — On ne divise pas par 0 : la fonction inverse est définie pour tout réel non nul. Les négatifs ont bien un inverse.
L’image de −12 par la fonction carré est :
- A. 144
- B. −144
- C. −24
- D. 24
Réponse
A. 144 — (−12)² = (−12) × (−12) = 144 : le carré d’un négatif est positif. −24 et 24 viennent d’une confusion avec le double.
L’image de 0,2 par la fonction inverse est :
- A. 0,5
- B. −5
- C. 5
- D. 0,04
Réponse
C. 5 — 1/0,2 = 10/2 = 5. Il ne faut pas confondre l’inverse avec l’opposé, ni avec le carré (0,04).
Sur ]−∞ ; 0], la fonction carré est :
- A. croissante
- B. constante
- C. décroissante
- D. négative
Réponse
C. décroissante — Quand x augmente de −∞ vers 0, x² diminue jusqu’à 0 : la fonction carré y est décroissante. Elle n’est jamais négative.
La valeur absolue de −9,4 est :
- A. 9,4
- B. −9,4
- C. 1/9,4
- D. 0
Réponse
A. 9,4 — −9,4 < 0, donc |−9,4| = −(−9,4) = 9,4 : c’est sa distance à 0.
La courbe de la fonction valeur absolue est :
- A. une parabole de sommet O
- B. une droite qui passe par O
- C. une hyperbole de centre O
- D. deux demi-droites en V
Réponse
D. deux demi-droites en V — Pour x ⩾ 0 c’est la demi-droite y = x, pour x ⩽ 0 la demi-droite y = −x : elles forment un V de sommet O.
Combien de solutions l’équation x² = −25 a-t-elle ?
- A. deux : −5 et 5
- B. aucune
- C. une seule : 5
- D. une seule : −5
Réponse
B. aucune — Un carré est toujours positif ou nul : il ne peut pas valoir −25. L’équation n’a aucune solution réelle.
Pour x < 0, le nombre 1/x est :
- A. strictement négatif
- B. strictement positif
- C. nul
- D. de signe variable
Réponse
A. strictement négatif — 1/x a toujours le signe de x : pour x < 0, il est strictement négatif.
La fonction valeur absolue atteint son minimum :
- A. en x = 1
- B. en x = −1
- C. en x = 0
- D. nulle part
Réponse
C. en x = 0 — Pour tout réel x, |x| ⩾ 0 = |0| : le minimum vaut 0, atteint en x = 0, sommet du V.
Pour l’hyperbole d’équation y = 1/x, un élément de symétrie est :
- A. l’axe des ordonnées
- B. l’axe des abscisses
- C. la droite d’équation y = 1
- D. l’origine du repère
Réponse
D. l’origine du repère — Pour tout x ≠ 0, 1/(−x) = −1/x : les points (x ; 1/x) et (−x ; −1/x) de l’hyperbole sont symétriques par rapport à l’origine O.
Pour x = 3, le nombre −x² vaut :
- A. 9
- B. −9
- C. −6
- D. 6
Réponse
B. −9 — −x² est l’opposé du carré : −3² = −9. Il ne faut pas le confondre avec (−x)² = 9.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
L’ensemble des solutions de x² = 13 est :
- A. {√13}
- B. {−13 ; 13}
- C. {−√13 ; √13}
- D. {−6,5 ; 6,5}
Réponse
C. {−√13 ; √13} — 13 > 0 : l’équation a deux solutions opposées, −√13 et √13. Oublier la solution négative est l’erreur la plus fréquente.
L’ensemble des solutions de x² < 3,24 est :
- A. ]−1,8 ; 1,8[
- B. ]−∞ ; 1,8[
- C. ]1,8 ; +∞[
- D. ]−3,24 ; 3,24[
Réponse
A. ]−1,8 ; 1,8[ — √3,24 = 1,8 et, pour k > 0, x² < k équivaut à −√k < x < √k.
Si 2 ⩽ x ⩽ 9, alors :
- A. 1/2 ⩽ 1/x ⩽ 1/9
- B. 2 ⩽ 1/x ⩽ 9
- C. −9 ⩽ 1/x ⩽ −2
- D. 1/9 ⩽ 1/x ⩽ 1/2
Réponse
D. 1/9 ⩽ 1/x ⩽ 1/2 — Réponse : 1/9 ⩽ 1/x ⩽ 1/2, car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[ et inverse donc l’ordre des bornes 2 et 9.
Si −5 ⩽ x ⩽ 2, alors :
- A. 4 ⩽ x² ⩽ 25
- B. 0 ⩽ x² ⩽ 25
- C. 0 ⩽ x² ⩽ 4
- D. −25 ⩽ x² ⩽ 4
Réponse
B. 0 ⩽ x² ⩽ 25 — L’intervalle contient 0 : sur [−5 ; 0], 0 ⩽ x² ⩽ 25 ; sur [0 ; 2], 0 ⩽ x² ⩽ 4. En réunissant : 0 ⩽ x² ⩽ 25.
L’ensemble des solutions de 1/x = −4 est :
- A. {4}
- B. {−0,25}
- C. {0,25}
- D. {−0,25 ; 0,25}
Réponse
B. {−0,25} — −4 ≠ 0, donc l’unique solution est 1/(−4) = −0,25 : un inverse a le signe du nombre, la solution est négative.
L’ensemble des solutions de 1/x > 0,5 est :
- A. ]2 ; +∞[
- B. ]−∞ ; 2[
- C. ]−∞ ; 0[ ∪ ]2 ; +∞[
- D. ]0 ; 2[
Réponse
D. ]0 ; 2[ — Pour x < 0, 1/x < 0 : aucune solution. Pour x > 0, 1/x > 1/2 équivaut à x < 2 par décroissance. Donc S = ]0 ; 2[.
L’ensemble des solutions de |x| ⩽ 3 est :
- A. [−3 ; 3]
- B. ]−∞ ; 3]
- C. [3 ; +∞[
- D. ]−∞ ; −3] ∪ [3 ; +∞[
Réponse
A. [−3 ; 3] — Ce sont les réels dont la distance à 0 est au plus 3 : de −3 à 3, bornes comprises.
On sait que 0 < a < b. Alors :
- A. a² > b² et 1/a > 1/b
- B. a² < b² et 1/a < 1/b
- C. a² < b² et 1/a > 1/b
- D. a² > b² et 1/a < 1/b
Réponse
C. a² < b² et 1/a > 1/b — Sur ]0 ; +∞[, la fonction carré est croissante (ordre conservé) et la fonction inverse est décroissante (ordre inversé).
Pour x = 0,45, le rangement correct est :
- A. x < x² < 1/x
- B. 1/x < x < x²
- C. x² < 1/x < x
- D. x² < x < 1/x
Réponse
D. x² < x < 1/x — 0 < 0,45 < 1, donc x² < x < 1/x : 0,2025 < 0,45 < 2,22…
L’équation |x| = 5 a pour solutions :
- A. −5 et 5
- B. 5 seulement
- C. 0 et 5
- D. aucun réel
Réponse
A. −5 et 5 — 5 > 0 : les deux réels à la distance 5 de 0 sont −5 et 5.
Pour tout réel x < 0, |x| est égal à :
- A. x
- B. 1/x
- C. −x
- D. 0
Réponse
C. −x — Par définition, |x| = −x quand x < 0 ; ce nombre −x est positif.
L’ensemble des solutions de |x| > 2 est :
- A. ]−2 ; 2[
- B. ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[
- C. ]2 ; +∞[ seulement
- D. ]−∞ ; −2] ∪ [2 ; +∞[
Réponse
B. ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[ — Ce sont les réels à une distance de 0 strictement supérieure à 2 : il ne faut pas oublier les négatifs, comme −3.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
L’équation x² = k a exactement deux solutions si et seulement si :
- A. k ⩾ 0
- B. k < 0
- C. k est un réel quelconque
- D. k > 0
Réponse
D. k > 0 — Pour k = 0, une seule solution (0) ; pour k < 0, aucune ; pour k > 0, deux : −√k et √k.
On sait que −2 < x < 1. Que peut-on affirmer ?
- A. 1 < x² < 4
- B. 0 ⩽ x² < 4
- C. 0 < x² < 1
- D. −2 < x² < 1
Réponse
B. 0 ⩽ x² < 4 — L’intervalle contient 0 : sur ]−2 ; 0], 0 ⩽ x² < 4 ; sur [0 ; 1[, 0 ⩽ x² < 1. Donc 0 ⩽ x² < 4, la valeur 0 étant atteinte en 0.
Un élève écrit : « −7 < 0,7, donc 1/(−7) > 1/0,7 ». Son raisonnement :
- A. est faux, et sa conclusion aussi
- B. est juste, et sa conclusion aussi
- C. est juste, mais sa conclusion est fausse
- D. est faux, mais sa conclusion est juste
Réponse
A. est faux, et sa conclusion aussi — La décroissance ne vaut que sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ séparément : −7 et 0,7 ne sont pas de même signe. Et 1/(−7) < 0 < 1/0,7 : la conclusion est fausse.
Parmi ces réels, lequel vérifie x² < x ?
- A. −0,25
- B. 1,02
- C. 0,98
- D. 0
Réponse
C. 0,98 — x² − x = x(x − 1) < 0 seulement pour 0 < x < 1. Pour 0, x² = x ; pour −0,25, x² > 0 > x ; pour 1,02 > 1, x² > x.
L’ensemble des solutions de 1/x < 7 est :
- A. ]−∞ ; 0[ ∪ ]1/7 ; +∞[
- B. ]1/7 ; +∞[
- C. ]0 ; 1/7[
- D. ]−∞ ; −1/7[ ∪ ]1/7 ; +∞[
Réponse
A. ]−∞ ; 0[ ∪ ]1/7 ; +∞[ — Tout x < 0 convient (1/x < 0 < 7). Pour x > 0, 1/x < 1/(1/7) équivaut à x > 1/7. Oublier les négatifs est le piège classique.
On sait que x ⩽ −4. Alors :
- A. 1/x ⩽ −1/4
- B. 1/x ⩽ −4
- C. −4 ⩽ 1/x < −1/4
- D. −1/4 ⩽ 1/x < 0
Réponse
D. −1/4 ⩽ 1/x < 0 — Sur ]−∞ ; 0[, la fonction inverse est décroissante : x ⩽ −4 donne 1/x ⩾ −1/4 ; de plus 1/x < 0 car x < 0.
Une seule de ces affirmations est vraie. Laquelle ?
- A. Pour tout réel x, x² ⩾ x.
- B. Pour tout réel x > 0, 1/x < x.
- C. Pour tout réel x, x² ⩾ 0.
- D. Pour tout réel x, x² > 0.
Réponse
C. Pour tout réel x, x² ⩾ 0. — Contre-exemples : x = 0,2 donne x² < x et 1/x > x ; x = 0 donne x² = 0. Seule « x² ⩾ 0 » est toujours vraie.
L’ensemble des solutions de |x| < −1 est :
- A. ]−1 ; 1[
- B. l’ensemble vide
- C. ]−∞ ; −1[
- D. ℝ tout entier
Réponse
B. l’ensemble vide — Une valeur absolue est toujours positive ou nulle : elle ne peut pas être strictement inférieure à −1.
Pour tout réel x, on a :
- A. √(x²) = x
- B. √(x²) = −x
- C. √(x²) = |x|
- D. |x| = x
Réponse
C. √(x²) = |x| — Pour x = −3 : √((−3)²) = √9 = 3 = |−3|, alors que x = −3. Les autres égalités ne valent que pour certains x.
Combien de points communs ont les courbes d’équations y = |x| et y = x² ?
- A. 2
- B. 3
- C. 1
- D. aucun
Réponse
B. 3 — x² = |x| équivaut à |x|(|x| − 1) = 0, soit x = 0, x = −1 ou x = 1 : trois points, O, (−1 ; 1) et (1 ; 1).
Sur [−3 ; 2], la fonction valeur absolue a pour maximum :
- A. 3
- B. 2
- C. 0
- D. 5
Réponse
A. 3 — Elle décroît sur [−3 ; 0] puis croît sur [0 ; 2] : le maximum est le plus grand de |−3| = 3 et |2| = 2.
L’ensemble des solutions de x² > 0 est :
- A. ℝ
- B. ]0 ; +∞[
- C. l’ensemble vide
- D. ℝ privé de 0
Réponse
D. ℝ privé de 0 — Un carré est strictement positif sauf en 0 : tous les réels non nuls conviennent, négatifs compris.
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