Comment reconnaître une fonction affine ?

Une fonction est affine si son expression peut s'écrire f(x) = ax + b, avec a et b deux réels fixés. Il faut souvent développer et réduire avant de conclure : (x − 4)² − x² = −8x + 16 est affine, alors que 3/x ou x² + 1 ne le sont pas.

Comment calculer le coefficient directeur d'une fonction affine ?

Si l'on connaît deux images f(x₁) et f(x₂) avec x₁ ≠ x₂, le coefficient directeur vaut a = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁). On obtient ensuite l'ordonnée à l'origine par b = f(x₁) − a·x₁.

Quelle différence entre fonction affine et fonction linéaire ?

Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax : c'est une fonction affine dont l'ordonnée à l'origine est nulle, et elle traduit une situation de proportionnalité. Toute fonction linéaire est affine, mais une fonction affine avec b ≠ 0 n'est pas linéaire ; sa droite ne passe pas par l'origine.

Comment trouver le signe de ax + b ?

Pour a ≠ 0, on résout ax + b = 0, ce qui donne x = −b/a. À droite de cette valeur, ax + b a le signe de a ; à gauche, le signe contraire. On résume le tout dans un tableau de signes.

Comment savoir si une fonction affine est croissante ou décroissante ?

Tout dépend du signe du coefficient directeur a : si a > 0, la fonction est strictement croissante sur ℝ ; si a < 0, elle est strictement décroissante ; si a = 0, elle est constante. L'ordonnée à l'origine b n'intervient pas.

Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Ressources · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques

Fonctions affines

Fonction affine et linéaire, coefficient directeur et ordonnée à l'origine, représentation graphique, sens de variation, signe de ax + b, modélisation de situations à variation constante

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en seconde sur « Fonctions affines » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Coefficient directeur et ordonnée à l'origine, Représentation graphique d'une fonction affine, Sens de variation d'une fonction affine. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.

L'essentiel

Définition — fonction affine. Une fonction

f

définie sur

ℝ

est affine s'il existe deux réels

a

b

tels que, pour tout réel

x

f (x) = a x + b

.
•

a

est le coefficient directeur ;
•

b

est l'ordonnée à l'origine.

Cas particuliers.
• Si

b = 0

f (x) = a x

, la fonction est linéaire (elle modélise une situation de proportionnalité, de coefficient

a

).
• Si

a = 0

f (x) = b

, la fonction est constante.
Une fonction linéaire et une fonction constante sont donc des fonctions affines particulières.

Exemples.

f (x) = 3 x - 5

: affine,

a = 3

b = - 5

h (x) = \frac{x}{4}

: linéaire,

a = \frac{1}{4}

k (x) = - 2

: constante.

x \mapsto x^{2} + 1

x \mapsto \frac{1}{x}

ne sont pas affines.

Réflexe. Avant de conclure, on développe et on réduit :

2 (x - 1) + 3 x = 5 x - 2

est affine, avec

a = 5

b = - 2

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

Propriété — accroissements proportionnels. Si

f (x) = a x + b

, alors pour tous réels

u

v

f (u) - f (v) = a (u - v)

. Pour

u \neq v

a = \frac{f (u) - f (v)}{u - v} .

Le quotient ne dépend pas des valeurs choisies : l'accroissement de l'image est proportionnel à l'accroissement de la variable.

Démonstration.

f (u) - f (v) = (a u + b) - (a v + b) = a u - a v = a (u - v)

. Si

u \neq v

, on divise par

u - v \neq 0

et l'on obtient le quotient annoncé.

Interprétation.
• Quand

x

augmente de 1,

f (x)

augmente de

a

(ou diminue de

| a |

a < 0

).
•

b = f (0)

: c'est l'image de 0.

Exemple.

f

est affine avec

f (2) = 1

f (6) = 13

. Alors

a = \frac{13 - 1}{6 - 2} = \frac{12}{4} = 3

, puis

b = f (2) - 3 \times 2 = 1 - 6 = - 5

. Donc

f (x) = 3 x - 5

Représentation graphique d'une fonction affine

Propriété. Dans un repère, la courbe représentative d'une fonction affine

x \mapsto a x + b

est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées. Elle coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées

(0; b)

.
• Fonction linéaire : la droite passe par l'origine

O

.
• Fonction constante : la droite est parallèle à l'axe des abscisses.

Tracer. Deux points suffisent à tracer une droite : on calcule deux images (par exemple

f (0) = b

et une autre bien choisie), puis on relie les points.

Lecture graphique de $a$ . Depuis un point de la droite, on avance de 1 unité vers la droite : on monte de

a

a > 0

, on descend de

| a |

a < 0

. Plus généralement,

a = \frac{déplacement vertical}{déplacement horizontal}

entre deux points de la droite.

Lecture. La droite de

f

coupe l'axe des ordonnées en

(0; - 5)

et monte de 3 unités pour 1 unité vers la droite ; celle de

g

coupe l'axe en

(0; 7)

et descend de 2 unités pour 1 unité vers la droite.

Sens de variation d'une fonction affine

Propriété. Soit

f (x) = a x + b

.
• Si

a > 0

f

est strictement croissante sur

ℝ

.
• Si

a < 0

f

est strictement décroissante sur

ℝ

.
• Si

a = 0

f

est constante sur

ℝ

Démonstration. Soient

u < v

deux réels. D'après la section 2,

f (v) - f (u) = a (v - u)

, avec

v - u > 0

. Ce produit a donc le signe de

a

:
• si

a > 0

f (v) - f (u) > 0

, soit

f (u) < f (v)

: l'ordre est conservé,

f

est strictement croissante ;
• si

a < 0

f (u) > f (v)

: l'ordre est inversé,

f

est strictement décroissante ;
• si

a = 0

f (u) = f (v)

f

est constante.

Signe de $a$	$a > 0$	$a < 0$	$a = 0$
Variation de $f$	croissante ↗	décroissante ↘	constante →

Exemple.

g (x) = - 2 x + 7

a = - 2 < 0

, donc

g

est strictement décroissante. Comme

1, 5 < 2, 5

, on a

g (1, 5) > g (2, 5)

; vérification :

g (1, 5) = 4

g (2, 5) = 2

Signe de ax + b

Propriété. Soit

a \neq 0

. L'expression

a x + b

s'annule pour

x = - \frac{b}{a}

. Elle a le signe de $a$ à droite de cette valeur et le signe contraire à gauche.

$x$	$- \infty$		$- \frac{b}{a}$		$+ \infty$
$a x + b$		signe de $- a$	0	signe de $a$

Exemple 1.

3 x - 5 = 0 ⟺ x = \frac{5}{3}

a = 3 > 0

3 x - 5 < 0

sur

] - \infty; \frac{5}{3} [

3 x - 5 > 0

sur

] \frac{5}{3}; + \infty [

Exemple 2.

- 2 x + 7 = 0 ⟺ x = \frac{7}{2}

a = - 2 < 0

- 2 x + 7

est positif avant

\frac{7}{2}

et négatif après.

$x$	$- \infty$		$\frac{7}{2}$		$+ \infty$
$- 2 x + 7$		$+$	0	$-$

Lien avec le graphique. Le signe de

f (x) = a x + b

se lit sur la droite : elle est au-dessus de l'axe des abscisses là où

f (x) > 0

, en dessous là où

f (x) < 0

, et le coupe en

x = - \frac{b}{a}

Modéliser une situation à variation constante

Principe. Lorsqu'une grandeur

y

varie toujours de la même quantité quand

x

augmente d'une unité,

y

est une fonction affine de

x

:
•

a

= variation de

y

pour une unité de

x

(avec son unité : € par km, °C par mètre…) ;
•

b

= valeur de

y

pour

x = 0

(valeur initiale, frais fixes…).
Si, en plus,

y = 0

pour

x = 0

, la situation est de proportionnalité :

y

est une fonction linéaire de

x

Exemple. Un taxi facture 4,20 € de prise en charge puis 1,85 € par kilomètre. Le prix pour

d

km est

P (d) = 1, 85 d + 4, 20

; pour 12 km :

P (12) = 22, 20 + 4, 20 = 26, 40

€. Le prix n'est pas proportionnel à la distance, car

b \neq 0

Contre-exemple. Une population qui augmente de 5 % par an ne suit pas un modèle affine : l'augmentation annuelle (5 % d'une quantité qui grandit) n'est pas constante.

Tester un tableau de valeurs. On calcule

\frac{Δ y}{Δ x}

entre valeurs successives : si le quotient est toujours le même, les données sont compatibles avec une fonction affine de coefficient directeur égal à ce quotient.

Méthodes

Méthode 1 — Déterminer une fonction affine à partir de deux images

Calculer $a = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ (même ordre en haut et en bas).
Calculer $b = f (x_{1}) - a x_{1}$ .
Écrire $f (x) = a x + b$ et vérifier avec la seconde image.

Exemple rédigé.

f

est affine,

f (- 1) = 8

f (3) = - 4

a = \frac{- 4 - 8}{3 - (- 1)} = \frac{- 12}{4} = - 3

b = f (- 1) - (- 3) \times (- 1) = 8 - 3 = 5

. Donc

f (x) = - 3 x + 5

. Vérification :

f (3) = - 9 + 5 = - 4

. ✓

Méthode 2 — Lire $a$ et $b$ sur une droite

$b$ est l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
Choisir deux points de la droite aux coordonnées bien lisibles.
$a = \frac{déplacement vertical}{déplacement horizontal}$ , compté négativement si la droite descend.

Exemple rédigé. La droite passe par

(0; - 1)

(2; 4)

. Donc

b = - 1

; de l'un à l'autre, on avance de 2 et on monte de 5 :

a = \frac{5}{2} = 2, 5

. Ainsi

f (x) = 2, 5 x - 1

Méthode 3 — Dresser le tableau de signes de $a x + b$

Résoudre $a x + b = 0$ : $x = - \frac{b}{a}$ .
Repérer le signe de $a$ .
Placer 0 sous la racine, le signe de $a$ à droite, le signe contraire à gauche.

Exemple rédigé.

- 4 x + 6 = 0 ⟺ x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

. Comme

a = - 4 < 0

- 4 x + 6 > 0

sur

] - \infty; \frac{3}{2} [

, nul en

\frac{3}{2}

< 0

sur

] \frac{3}{2}; + \infty [

Méthode 4 — Reconnaître une variation constante dans un tableau

Calculer $\frac{Δ y}{Δ x}$ entre chaque paire de colonnes successives.
Si tous les quotients sont égaux à un même $a$ , le modèle affine convient.
Calculer $b$ avec une colonne, puis conclure.

Exemple rédigé.

x

: 0 ; 2 ; 5 ; 9 et

y

: 12 ; 15 ; 19,5 ; 25,5. Quotients :

\frac{3}{2} = 1, 5

;

\frac{4, 5}{3} = 1, 5

;

\frac{6}{4} = 1, 5

. Ils sont égaux, et

y = 12

pour

x = 0

y = 1, 5 x + 12

Pièges et erreurs classiques

Confondre $a$ et $b$ . Dans

f (x) = 7 - 2 x

, le coefficient directeur est

- 2

(le nombre qui multiplie

x

), pas 7. L'ordre d'écriture ne compte pas.

Mélanger l'ordre dans le quotient.

\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{1} - x_{2}}

donne l'opposé de

a

. On garde le même ordre au numérateur et au dénominateur.

« Toujours + puis − ». Faux : c'est le signe de

a

qui se place à droite de la racine. Pour

2 x - 3

, on a « − puis + ».

Division par un négatif.

- 2 x + 7 > 0 ⟺ - 2 x > - 7 ⟺ x < \frac{7}{2}

: diviser par

- 2

change le sens de l'inégalité.

Affine n'est pas linéaire. Toute fonction linéaire est affine, mais

x \mapsto 3 x - 5

n'est pas linéaire : il n'y a pas proportionnalité, et doubler

x

ne double pas

f (x)

Ordonnée à l'origine et racine.

b

se lit sur l'axe des ordonnées ; l'abscisse où la droite coupe l'axe des abscisses est

- \frac{b}{a}

, qui est un autre nombre.

En bref

Fonction affine : $f (x) = a x + b$ ; linéaire si $b = 0$ , constante si $a = 0$ .
$a = \frac{f (u) - f (v)}{u - v}$ pour $u \neq v$ et $b = f (0)$ .
Courbe représentative : une droite qui coupe l'axe des ordonnées en $(0; b)$ .
$a > 0$ : strictement croissante ; $a < 0$ : strictement décroissante ; $a = 0$ : constante.
Signe de $a x + b$ ( $a \neq 0$ ) : 0 en $- \frac{b}{a}$ , signe de $a$ à droite, signe contraire à gauche.
Variation constante d'une grandeur : modèle affine ; $a$ = variation par unité, $b$ = valeur initiale.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs