Fonctions de référence : carré, inverse et valeur absolue

Fonctions carré, inverse et valeur absolue : définitions, courbes, signe, variations démontrées, position des courbes y = x et y = x² sur [0 ; +∞[, résolution de f(x) = k et f(x) < k.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés qui font travailler les fonctions de référence en situation : l’aire d’une pelouse carrée, la loi de Mariotte pour un gaz comprimé, le contrôle de tiges avec une tolérance en valeur absolue, des seuils calculés avec un programme Python, et les rectangles d’aire 1 sous l’hyperbole.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis l’énoncé par une fonction de référence : une aire de carré donne x², une grandeur inversement proportionnelle donne k/x, un écart sans signe donne |x|.
Je précise l’intervalle sur lequel la variable a un sens (longueur positive, volume entre deux valeurs…) : c’est là que je cite le sens de variation.
Je traduis la contrainte en équation ou inéquation f(x) = k, f(x) < k, puis je la résous avec le tableau du cours ou la courbe.
Je justifie chaque comparaison par une propriété nommée (« la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[ »), puis je reviens à la situation.
J’arrondis dans le bon sens (par défaut ou par excès selon la contrainte) et je contrôle sur les deux valeurs voisines.

Problème 1 · Une pelouse carrée★★★Facile

Un paysagiste doit engazonner une pelouse carrée de côté

x

mètres, avec

x > 0

. Les rouleaux de gazon commandés couvrent au plus

180

m² ; le client souhaite une pelouse d’au moins

120

m². On note

A (x)

l’aire de la pelouse, en m².

1. Justifier que $A (x) = x^{2}$ et que $A$ est croissante sur $] 0; + \infty [$ . Pour un côté de $12$ m : $A (12) =$ m²
Rédaction attendue. L’aire d’un carré de côté $x$ est $x \times x = x^{2}$ . La fonction $A$ est la fonction carré restreinte à $] 0; + \infty [$ , intervalle inclus dans $[0; + \infty [$ où la fonction carré est strictement croissante : plus le côté est long, plus l’aire est grande. $A (12) = 12^{2} = 144$ m².
2. Résoudre $x^{2} ⩽ 180$ avec $x > 0$ : $S =] 0; a \sqrt{5}]$ avec $a =$
Rédaction attendue. $180 > 0$ : pour $x$ réel, $x^{2} ⩽ 180 ⟺ - \sqrt{180} ⩽ x ⩽ \sqrt{180}$ . Avec $x > 0$ : $0 < x ⩽ \sqrt{180}$ . Or $\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6 \sqrt{5}$ . Donc $S =] 0; 6 \sqrt{5}]$ et $a = 6$ .
3. Plus grand côté, au centimètre, qui respecte la commande de gazon : m
$6 \sqrt{5} \approx 13, 416$ . On arrondit par défaut pour rester sous la contrainte : $13, 41^{2} = 179, 8281 ⩽ 180$ , alors que $13, 42^{2} = 180, 0964 > 180$ .
4. Plus petit côté, au centimètre, qui donne au moins $120$ m² : m
Avec $x > 0$ et par croissance : $x^{2} ⩾ 120 ⟺ x ⩾ \sqrt{120} \approx 10, 954$ . Ici on arrondit par excès : $10, 95^{2} = 119, 9025 < 120$ et $10, 96^{2} = 120, 1216 ⩾ 120$ . Le côté doit être compris entre $10, 96$ m et $13, 41$ m.
5. Montrer que $A (x + 1) - A (x) = 2 x + 1$ . Si l’on allonge de $1$ m un côté de $11, 6$ m, l’aire augmente de m²
Rédaction attendue. $A (x + 1) - A (x) = (x + 1)^{2} - x^{2} = x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} = 2 x + 1$ (identité remarquable). Pour $x = 11, 6$ : $2 \times 11, 6 + 1 = 24, 2$ m². Contrôle : $12, 6^{2} - 11, 6^{2} = 158, 76 - 134, 56 = 24, 2$ . Le nouveau côté, $12, 6$ m, reste entre $10, 96$ m et $13, 41$ m : le projet convient toujours.

Problème 2 · Air comprimé et loi de Mariotte★★★Moyen

À température constante, la pression

P

(en bar) et le volume

V

(en litres) d’une quantité de gaz vérifient

P \times V =

constante (loi de Mariotte). Dans un cylindre fermé par un piston, on a

P \times V = 1

, le volume pouvant varier de

0, 2

L à

4

L. Ainsi

P (V) = \frac{1}{V}

pour

V \in [0, 2; 4]

1. Pression pour un volume de $3, 2$ L : $P (3, 2) =$ bar
$P (3, 2) = \frac{1}{3, 2} = \frac{10}{32} = 0, 3125$ bar.
2. Justifier que $P$ est décroissante sur $[0, 2; 4]$ . Si le volume est réglé entre $0, 625$ L et $2$ L : $⩽ P ⩽$
Rédaction attendue. $[0, 2; 4]$ est inclus dans $] 0; + \infty [$ , où la fonction inverse est strictement décroissante : $P$ est donc strictement décroissante sur $[0, 2; 4]$ . Quand on comprime le gaz, sa pression augmente. Pour $0, 625 ⩽ V ⩽ 2$ , l’ordre s’inverse : $\frac{1}{2} ⩽ P ⩽ \frac{1}{0, 625}$ , soit $0, 5 ⩽ P ⩽ 1, 6$ bar, car $\frac{1}{0, 625} = \frac{1 000}{625} = 1, 6$ .
3. Le cylindre supporte au plus $3$ bar. La pression dépasse strictement cette limite pour $V \in [0, 2; v [$ , avec $v =$ (fraction)
Rédaction attendue. On résout $\frac{1}{V} > 3$ avec $V \in [0, 2; 4]$ . Comme $3 = \frac{1}{1 / 3}$ et que la fonction inverse est décroissante sur $] 0; + \infty [$ : $\frac{1}{V} > \frac{1}{1 / 3} ⟺ V < \frac{1}{3}$ . Avec $V ⩾ 0, 2$ : $V \in [0, 2; \frac{1}{3} [$ , soit moins de $0, 333$ L environ.
4. Montrer que $P (2 V) = \frac{P (V)}{2}$ pour $V \in [0, 2; 2]$ . Si la pression vaut $1, 8$ bar et qu’on double le volume, elle devient bar
Rédaction attendue. Si $V \in [0, 2; 2]$ , alors $2 V \in [0, 4; 4]$ : $P (2 V)$ existe. $P (2 V) = \frac{1}{2 V} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{V} = \frac{P (V)}{2}$ : doubler le volume divise la pression par deux. $1, 8 \div 2 = 0, 9$ bar.
5. Pression maximale atteinte dans le cylindre : bar
$P$ est décroissante sur $[0, 2; 4]$ : elle est maximale pour le plus petit volume, $P (0, 2) = \frac{1}{0, 2} = 5$ bar. Ce maximum dépasse la limite de $3$ bar, ce qui confirme qu’il ne faut pas comprimer l’air jusque-là.

Problème 3 · Contrôle de tiges en atelier★★★Moyen

Une machine découpe des tiges qui doivent mesurer

250

mm. On note

e

l’écart, en mm, entre la longueur mesurée et

250

e > 0

si la tige est trop longue,

e < 0

si elle est trop courte. Une tige est acceptée si

| e | ⩽ 0, 15

. Pour chiffrer le coût d’un défaut, on compare deux modèles, en euros :

C_{1} (e) = 30 | e |

C_{2} (e) = 200 e^{2}

1. Une tige mesure $249, 88$ mm : $| e | =$ mm
$e = 249, 88 - 250 = - 0, 12$ (tige trop courte) et $| e | = 0, 12$ : la tige est acceptée, car $0, 12 ⩽ 0, 15$ .
2. Longueur maximale d’une tige acceptée : mm
$| e | ⩽ 0, 15 ⟺ - 0, 15 ⩽ e ⩽ 0, 15$ : les tiges acceptées mesurent entre $250 - 0, 15 = 249, 85$ mm et $250 + 0, 15 = 250, 15$ mm.
3. Pour $e = - 0, 1$ : $C_{1} (e) =$ € et $C_{2} (e) =$ €
$C_{1} (- 0, 1) = 30 \times 0, 1 = 3$ € et $C_{2} (- 0, 1) = 200 \times 0, 01 = 2$ € : ici le second modèle coûte moins.
4. Démontrer que $C_{2} (e) - C_{1} (e) = 10 | e | (20 | e | - 3)$ , puis que $C_{2} (e) ⩽ C_{1} (e)$ exactement pour les tiges acceptées. Contrôle : pour $e = 0, 3$ , $C_{2} (e) - C_{1} (e) =$ €
Rédaction attendue. Pour tout réel $e$ , $e^{2} = | e |^{2}$ , donc $10 | e | (20 | e | - 3) = 200 | e |^{2} - 30 | e | = 200 e^{2} - 30 | e | = C_{2} (e) - C_{1} (e)$ . Si $e = 0$ , la différence est nulle. Si $e \neq 0$ , $10 | e | > 0$ , donc la différence a le signe de $20 | e | - 3$ : $C_{2} (e) ⩽ C_{1} (e) ⟺ 20 | e | ⩽ 3 ⟺ | e | ⩽ 0, 15$ . Le second modèle est moins cher exactement pour les tiges acceptées. Contrôle : $10 \times 0, 3 \times (20 \times 0, 3 - 3) = 3 \times 3 = 9$ , et $200 \times 0, 09 - 30 \times 0, 3 = 18 - 9 = 9$ .
5. Une tige trop courte a un coût $C_{1} (e) = 6$ €. Son écart vaut $e =$ mm
$30 | e | = 6 ⟺ | e | = 0, 2$ , donc $e = - 0, 2$ ou $e = 0, 2$ . La tige est trop courte : $e < 0$ , donc $e = - 0, 2$ (elle mesure $249, 8$ mm et elle est refusée).

Problème 4 · Seuils et programme Python★★★Difficile

On cherche à partir de quel entier le carré d’un entier dépasse une valeur, ou son inverse passe sous une valeur. On considère les deux fonctions Python suivantes.

def seuil(M):
    n = 0
    while n**2 <= M:
        n = n + 1
    return n

def seuil_inv(e):
    n = 1
    while 1/n >= e:
        n = n + 1
    return n

1. Résoudre $x^{2} > 3 000$ dans $] 0; + \infty [$ , puis donner le plus petit entier naturel $n$ tel que $n^{2} > 3 000$ : $n =$
Rédaction attendue. $3 000 > 0$ et la fonction carré est croissante sur $[0; + \infty [$ : pour $x > 0$ , $x^{2} > 3 000 ⟺ x > \sqrt{3 000}$ . Or $54^{2} = 2 916 ⩽ 3 000$ et $55^{2} = 3 025 > 3 000$ , donc $54 < \sqrt{3 000} < 55$ : le plus petit entier est $n = 55$ .
2. La fonction seuil(M) renvoie le plus petit entier naturel $n$ tel que $n^{2} > M$ . Sans exécuter le programme, seuil(500) renvoie
La boucle augmente $n$ de $1$ tant que $n^{2} ⩽ M$ et s’arrête au premier $n$ tel que $n^{2} > M$ . Or $22^{2} = 484 ⩽ 500$ et $23^{2} = 529 > 500$ : la fonction renvoie $23$ .
3. Plus petit entier $n ⩾ 1$ tel que $\frac{1}{n} < 0, 004$ :
Rédaction attendue. $0, 004 = \frac{1}{250}$ . Pour $x > 0$ , la fonction inverse est décroissante, donc $\frac{1}{x} < \frac{1}{250} ⟺ x > 250$ . L’entier $250$ ne convient pas ( $\frac{1}{250} = 0, 004$ , l’inégalité est stricte) : le plus petit entier est $251$ .
4. Sans exécuter le programme, seuil_inv(0.04) renvoie
La boucle s’arrête au premier $n ⩾ 1$ tel que $\frac{1}{n} < 0, 04 = \frac{1}{25}$ , c’est-à-dire $n > 25$ par décroissance de la fonction inverse : elle renvoie $26$ .
5. Un élève exécute seuil_inv(0) : le programme ne s’arrête jamais. Nombre d’entiers $n ⩾ 1$ tels que $\frac{1}{n} < 0$ :
Pour tout entier $n ⩾ 1$ , $\frac{1}{n}$ a le signe de $n$ : il est strictement positif. La condition 1/n >= 0 est donc toujours vraie et la boucle ne s’arrête jamais : aucun entier ne vérifie $\frac{1}{n} < 0$ (l’hyperbole ne coupe pas l’axe des abscisses).

Problème 5 · Rectangles sous l’hyperbole★★★Difficile

Dans un repère orthonormé d’origine

O

, on note

ℋ

la courbe de la fonction inverse. Pour un réel

a > 0

, on considère le point

M (a; \frac{1}{a})

ℋ

, le point

A (a; 0)

et le point

B (0; \frac{1}{a})

. Le quadrilatère

O A M B

est un rectangle ; on note

p (a)

son périmètre.

1. Pour $a = 2, 5$ , le périmètre du rectangle $O A M B$ vaut
$\frac{1}{2, 5} = \frac{10}{25} = 0, 4$ , donc $O A = 2, 5$ et $O B = 0, 4$ . Le périmètre vaut $2 \times (2, 5 + 0, 4) = 5, 8$ .
2. Montrer que l’aire du rectangle $O A M B$ ne dépend pas de $a$ . Elle vaut
Rédaction attendue. Comme $a > 0$ , $O A = a$ et $O B = \frac{1}{a}$ . L’aire vaut $O A \times O B = a \times \frac{1}{a} = 1$ , quel que soit $a > 0$ .
3. Pour $2 ⩽ a ⩽ 3, 125$ , encadrer le côté $[O B]$ : $⩽ O B ⩽$
Rédaction attendue. $O B = \frac{1}{a}$ . Les bornes sont strictement positives et la fonction inverse est décroissante sur $] 0; + \infty [$ : l’ordre s’inverse, $\frac{1}{3, 125} ⩽ O B ⩽ \frac{1}{2}$ , soit $0, 32 ⩽ O B ⩽ 0, 5$ .
4. Le côté $[O B]$ mesure strictement plus de $6$ unités exactement pour $a \in] 0; b [$ , avec $b =$ (fraction)
$O B = \frac{1}{a}$ avec $a > 0$ . Comme $6 = \frac{1}{1 / 6}$ et que la fonction inverse est décroissante sur $] 0; + \infty [$ : $\frac{1}{a} > 6 ⟺ a < \frac{1}{6}$ .
5. Le côté $[O B]$ mesure strictement moins de $0, 008$ unité exactement pour $a >$
$0, 008 = \frac{1}{125}$ , donc $\frac{1}{a} < \frac{1}{125} ⟺ a > 125$ par décroissance de la fonction inverse sur $] 0; + \infty [$ : le rectangle est alors très long et très plat, mais son aire vaut toujours $1$ .

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