Généralités sur les fonctions

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=x^2-5x$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. Image de $-2$ par $f$ :
   $f(-2)=(-2{)}^2-5\times (-2)=4+10=14$. L’image de $-2$ est $14$.
2. Image de ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ par $f$ :
   $f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{15}{2}}={\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{30}{4}}=-{\displaystyle \frac{21}{4}}$, soit $-5,25$.
3. Le nombre $0$ a deux antécédents par $f$ : le nombre $0$ lui-même et
   $x^2-5x=0$ équivaut à $x(x-5)=0$ : un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul, donc $x=0$ ou $x=5$.
4. Démontrer que l’équation $f(x)=6$ a exactement deux solutions (on pourra développer $(x-6)(x+1)$). Plus petit antécédent de $6$ :
   Rédaction attendue. $f(x)=6$ équivaut à $x^2-5x-6=0$. Or $(x-6)(x+1)=x^2+x-6x-6=x^2-5x-6$. L’équation s’écrit donc $(x-6)(x+1)=0$. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : $x=6$ ou $x=-1$. Donc $S=\{-1;6\}$ : le plus petit antécédent de $6$ est $-1$.

Une fonction est programmée en Python :

def f(x):
    return 2*x**2 - 3*x

1. f(4) renvoie
   $4^2=16$, donc $f(4)=2\times 16-3\times 4=32-12=20$ : l’image de $4$ est $20$.
2. f(-1) renvoie
   $(-1{)}^2=1$, donc $f(-1)=2\times 1-3\times (-1)=2+3=5$.
3. f(0.5) renvoie
   $2\times 0,25-3\times 0,5=0,5-1,5=-1$ (Python affiche -1.0).

Une fonction $h$ est donnée par ce tableau de valeurs :

1. Image de $3$ par $h$ :
   Dans la colonne $x=3$, on lit $h(3)=8$.
2. Dans le tableau, le nombre $3$ a deux antécédents : $-2$ et
   Le nombre $3$ apparaît deux fois dans la seconde ligne, sous $x=-2$ et sous $x=2$.
3. On admet que $h(x)=x^2-1$ pour tout réel $x$. Démontrer que $24$ a exactement deux antécédents par $h$. Le positif est
   Rédaction attendue. On résout $h(x)=24$ : $x^2-1=24$ équivaut à $x^2=25$. Comme $25>0$, cette équation a deux solutions : $x=-5$ ou $x=5$. Le nombre $24$ a donc exactement deux antécédents par $h$, $-5$ et $5$ ; le positif est $5$. Ils ne figuraient pas dans le tableau, qui ne montre que quelques valeurs.

Soit $f(x)={\displaystyle \frac{3x-2}{x+4}}$ pour $x\ne -4$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Image de $2$ :
   $f(2)={\displaystyle \frac{6-2}{2+4}}={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
2. Image de $-10$ :
   $f(-10)={\displaystyle \frac{-30-2}{-10+4}}={\displaystyle \frac{-32}{-6}}={\displaystyle \frac{16}{3}}$.
3. Antécédent de $1$ par $f$ :
   Pour $x\ne -4$, ${\displaystyle \frac{3x-2}{x+4}}=1$ équivaut à $3x-2=x+4$ (on multiplie par $x+4$, non nul), soit $2x=6$ et $x=3$. Comme $3\ne -4$, l’antécédent de $1$ est $3$.
4. Démontrer que le nombre $3$ n’a pas d’antécédent par $f$. En résolvant $f(x)=3$, on obtient l’égalité impossible $-2$ =
   Rédaction attendue. Pour $x\ne -4$, $f(x)=3$ équivaut à $3x-2=3(x+4)$, en multipliant les deux membres par $x+4$, non nul. Soit $3x-2=3x+12$, puis, en retranchant $3x$ : $-2=12$. Cette égalité est fausse quel que soit $x$ : l’équation n’a aucune solution, donc $3$ n’a pas d’antécédent par $f$.

Déterminer l’ensemble de définition de chaque fonction.

1. $a(x)={\displaystyle \frac{x+3}{x-11}}$ : la valeur interdite est
   $x-11=0$ pour $x=11$ : $D_a=ℝ⧵\{11\}$.
2. $b(x)=\sqrt{2x-9}$ : $D_b=[a;+\infty [$ avec $a$ =
   Il faut $2x-9⩾0$, soit $2x⩾9$, soit $x⩾4,5$. $D_b=[4,5;+\infty [$.
3. $d(x)=\sqrt{12-3x}$ : $D_d=]-\infty ;b]$ avec $b$ =
   Il faut $12-3x⩾0$, soit $12⩾3x$, soit $x⩽4$ (on divise par $3$, positif : le sens est conservé). $D_d=]-\infty ;4]$.

Valeurs interdites. Un décimal s’écrit avec une virgule.

1. $c(x)={\displaystyle \frac{5x}{x^2-1}}$ : les valeurs interdites sont $-1$ et
   $x^2-1=(x-1)(x+1)$ s’annule pour $x=1$ et $x=-1$. $D_c=ℝ⧵\{-1;1\}$.
2. $e(x)={\displaystyle \frac{7}{2x+5}}$ : la valeur interdite est
   $2x+5=0$ pour $x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}=-2,5$. $D_e=ℝ⧵\{-2,5\}$.
3. $p(x)=x^3-3x+2$ : nombre de valeurs interdites :
   Il n’y a ni quotient ni racine : on peut calculer $p(x)$ pour tout réel. $D_p=ℝ$, aucune valeur interdite.

Deux conditions, ou un dénominateur à factoriser.

1. $k(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x-2}}$ : $D_k=[a;b[\cup ]b;+\infty [$ avec $a$ = et $b$ =
   Racine : $x⩾0$. Quotient : $x-2\ne 0$, soit $x\ne 2$. On réunit : $D_k=[0;2[\cup ]2;+\infty [$.
2. Démontrer que $q(x)={\displaystyle \frac{3}{x^2-4x}}$ a exactement deux valeurs interdites, $0$ et un autre nombre :
   Rédaction attendue. Le quotient existe si et seulement si $x^2-4x\ne 0$. On factorise : $x^2-4x=x(x-4)$. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : $x=0$ ou $x-4=0$, soit $x=4$. Les valeurs interdites sont donc exactement $0$ et $4$, et $D_q=ℝ⧵\{0;4\}$.

L’ensemble de définition vient aussi de la situation.

1. Un rectangle a pour périmètre $30$ cm ; on note $x$ la longueur d’un côté, en cm, et $A(x)=x(15-x)$ son aire. Justifier que $A$ est définie sur $]a;b[$ avec $a$ = et $b$ =
   Rédaction attendue. Les deux côtés mesurent $x$ et $15-x$, car leur somme est la moitié du périmètre, $30÷2=15$. Une longueur est strictement positive : $x>0$ et $15-x>0$, soit $x<15$. Donc $x\in ]0;15[$, même si la formule $x(15-x)$ se calcule pour tout réel.
2. Avec ce rectangle, $A(6)$ = cm²
   $A(6)=6\times (15-6)=6\times 9=54$ cm² : le rectangle mesure $6$ cm sur $9$ cm.
3. Un club loue un car de $50$ places pour $900$ €, partagés entre les $n$ participants : $P(n)={\displaystyle \frac{900}{n}}$, pour $n$ entier de $1$ à $50$. Prix par personne pour $45$ participants : €
   $P(45)={\displaystyle \frac{900}{45}}=20$ €. Ici $P$ n’est définie que pour des entiers : on ne calcule pas $P(2,5)$.
4. Pour ce car, nombre de valeurs possibles de $n$ :
   $n$ est un entier de $1$ à $50$ : il y a $50$ valeurs possibles. La valeur $0$ est exclue (pas de participant, et le quotient ${\displaystyle \frac{900}{0}}$ n’existe pas).

Soit $f(x)=x^2-4x+1$ sur $ℝ$ et ${𝒞}_f$ sa courbe.

1. Ordonnée du point de ${𝒞}_f$ d’abscisse $3$ :
   $f(3)=9-12+1=-2$ : le point est $(3;-2)$.
2. ${𝒞}_f$ coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;c)$ avec $c$ =
   $f(0)=0-0+1=1$ : le point est $(0;1)$.
3. Le point $B(5;b)$ appartient à ${𝒞}_f$ pour $b$ =
   $B\in {𝒞}_f$ si et seulement si $b=f(5)=25-20+1=6$.
4. Justifier que le point $C(2;-2)$ n’appartient pas à ${𝒞}_f$. On calcule $f(2)$ =
   Rédaction attendue. $f(2)=4-8+1=-3$. Le point de ${𝒞}_f$ d’abscisse $2$ a pour ordonnée $-3$. Or l’ordonnée de $C$ est $-2$ et $-2\ne -3$ : $C\notin {𝒞}_f$.

La courbe ci-dessous est celle d’une fonction $f$ définie sur $[-4;5]$ ; elle est formée de segments dont les extrémités ont des coordonnées entières.

1. Image de $-2$ par $f$ :
   Au-dessus de $x=-2$, la courbe passe par le point $(-2;3)$ : $f(-2)=3$.
2. Nombre d’antécédents de $1$ par $f$ :
   La droite $y=1$ coupe la courbe en trois points, d’abscisses $-3$, $0$ et $4$ : le nombre $1$ a trois antécédents.
3. Plus grand antécédent de $1$ par $f$ :
   Sur le dernier segment, de $(2;-3)$ à $(5;3)$, la courbe monte de $2$ par unité : elle passe par $(4;1)$. Le plus grand antécédent de $1$ est $4$.
4. Le nombre $-3$ a un seul antécédent :
   La droite $y=-3$ ne touche la courbe qu’en son point le plus bas, $(2;-3)$ : l’unique antécédent de $-3$ est $2$.

Soit $g(x)=(x-2)(x+5)$ sur $ℝ$.

1. ${𝒞}_g$ coupe l’axe des abscisses en deux points, d’abscisses (dans l’ordre croissant) et
   On résout $g(x)=0$ : $(x-2)(x+5)=0$ donne $x=2$ ou $x=-5$. Les points sont $(-5;0)$ et $(2;0)$.
2. ${𝒞}_g$ coupe l’axe des ordonnées au point $(0;c)$ avec $c$ =
   $g(0)=(-2)\times 5=-10$.
3. Démontrer que la droite d’équation $y=-6$ coupe ${𝒞}_g$ en deux points (on pourra développer $(x+4)(x-1)$). Plus grande abscisse :
   Rédaction attendue. $g(x)=x^2+3x-10$. $g(x)=-6$ équivaut à $x^2+3x-4=0$. Or $(x+4)(x-1)=x^2-x+4x-4=x^2+3x-4$. L’équation s’écrit $(x+4)(x-1)=0$, d’où $x=-4$ ou $x=1$ : deux points, $(-4;-6)$ et $(1;-6)$.

Appartenance à une courbe et unicité de l’image.

1. Le point $A(2;11)$ appartient à la courbe de $f(x)=x^2+mx+3$, où $m$ est un réel. Valeur de $m$ :
   $A\in {𝒞}_f$ équivaut à $f(2)=11$, soit $4+2m+3=11$, soit $2m=4$, donc $m=2$.
2. Avec cette valeur de $m$, le point $B(-3;b)$ est sur la courbe pour $b$ =
   $f(x)=x^2+2x+3$, donc $b=f(-3)=9-6+3=6$.
3. Démontrer que la courbe d’une fonction coupe l’axe des ordonnées en au plus un point. Nombre maximal de points d’intersection :
   Rédaction attendue. Les points de l’axe des ordonnées ont pour abscisse $0$. Si $0\notin D_f$, la courbe ne coupe pas cet axe. Si $0\in D_f$, le nombre $0$ a une seule image $f(0)$ : le seul point de la courbe d’abscisse $0$ est $(0;f(0))$. Deux points d’intersection donneraient deux images à $0$, ce qui contredit l’unicité de l’image. La courbe coupe donc l’axe des ordonnées en au plus $1$ point.

La courbe ci-dessous représente une fonction $\psi$ définie sur $[-5;3]$. Résoudre graphiquement.

1. $\psi (x)=4$ a deux solutions : $-2$ et
   La droite $y=4$ coupe la courbe aux points d’abscisses $-2$ et $0$ : $S=\{-2;0\}$.
2. Nombre de solutions de $\psi (x)=5$ :
   Le point le plus haut de la courbe a pour ordonnée $4,5$ : la droite $y=5$ ne coupe pas la courbe. $S=\varnothing$.
3. $\psi (x)⩾2,5$ : $S=[a;b]$ avec $a$ = et $b$ =
   La droite $y=2,5$ coupe la courbe en $x=-3$ et $x=1$ ; entre les deux, la courbe est au-dessus. Inégalité large : bornes incluses. $S=[-3;1]$.
4. $\psi (x)<0$ : $S=[-5;a[\cup ]b;3]$ avec $a$ = et $b$ =
   La courbe coupe l’axe des abscisses en $x=-4$ et $x=2$ ; elle est au-dessous de l’axe avant $-4$ et après $2$. Inégalité stricte : $-4$ et $2$ exclus ; les bornes $-5$ et $3$ de l’ensemble de définition sont incluses ($\psi (-5)=\psi (3)=-3,5<0$).

Résoudre par le calcul, avec $f(x)=4x-7$ sur $ℝ$.

1. $f(x)=9$ : $x$ =
   $4x-7=9$ équivaut à $4x=16$, soit $x=4$. $S=\{4\}$.
2. $f(x)⩾-3$ : $S=[a;+\infty [$ avec $a$ =
   $4x-7⩾-3$ équivaut à $4x⩾4$, soit $x⩾1$ (on divise par $4$, positif). $S=[1;+\infty [$.
3. $f(x)<0$ : $S=]-\infty ;a[$ avec $a$ =
   $4x-7<0$ équivaut à $4x<7$, soit $x<{\displaystyle \frac{7}{4}}=1,75$. $S=]-\infty ;1,75[$.

Soit $f$ définie sur $[-3;6]$ par $f(x)=3x+1$ si $x<2$, et $f(x)=11-2x$ si $x⩾2$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $f(-3)$ =
   $-3<2$, donc $f(-3)=3\times (-3)+1=-8$.
2. Plus grand antécédent de $4$ par $f$ :
   Si $x<2$ : $3x+1=4$ donne $x=1$, qui convient. Si $x⩾2$ : $11-2x=4$ donne $x=3,5$, qui convient. Le nombre $4$ a deux antécédents, $1$ et $3,5$ ; le plus grand est $3,5$.
3. Démontrer que l’ensemble des solutions de $f(x)⩾5$ est un intervalle $[a;b]$, avec $a$ = et $b$ =
   Rédaction attendue. Premier cas, $-3⩽x<2$ : $3x+1⩾5$ équivaut à $x⩾{\displaystyle \frac{4}{3}}$ ; on garde $\left[{\displaystyle \frac{4}{3}};2\right[$. Second cas, $2⩽x⩽6$ : $11-2x⩾5$ équivaut à $-2x⩾-6$, soit $x⩽3$ (on divise par $-2$, négatif : le sens change) ; on garde $[2;3]$. On réunit les deux cas : $S=\left[{\displaystyle \frac{4}{3}};3\right]$.

Soit $f(x)=(x-1{)}^2-4$ sur $ℝ$. Un carré est toujours positif ou nul.

1. Démontrer que l’équation $f(x)=-5$ n’a pas de solution. Elle équivaut à : $(x-1{)}^2$ est égal à
   Rédaction attendue. $f(x)=-5$ équivaut à $(x-1{)}^2-4=-5$, soit $(x-1{)}^2=-1$. Un carré est positif ou nul, il ne peut pas valoir $-1$ : l’équation n’a aucune solution, $S=\varnothing$. Graphiquement, la courbe de $f$ ne rencontre pas la droite $y=-5$.
2. L’inéquation $f(x)⩽-4$ a une seule solution : $x$ =
   $f(x)⩽-4$ équivaut à $(x-1{)}^2⩽0$. Un carré n’est jamais strictement négatif : il faut $(x-1{)}^2=0$, soit $x=1$. $S=\{1\}$.
3. $f(x)=5$ : plus grande solution
   $(x-1{)}^2-4=5$ équivaut à $(x-1{)}^2=9$, soit $x-1=3$ ou $x-1=-3$ : $x=4$ ou $x=-2$. La plus grande solution est $4$.

Les courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$ de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[-1;4]$ sont tracées ci-dessous. Résoudre graphiquement.

1. $f(x)=g(x)$ a deux solutions : $0$ et
   Les deux courbes se coupent aux points d’abscisses $0$ et $3$ : $S=\{0;3\}$.
2. Le point d’intersection d’abscisse $3$ a pour ordonnée
   Les deux courbes passent par le point $(3;2)$.
3. $f(x)<g(x)$ : $S=]a;b[$ avec $a$ = et $b$ =
   Entre les abscisses $0$ et $3$, la parabole ${𝒞}_f$ est au-dessous de la droite ${𝒞}_g$ ; inégalité stricte : bornes exclues. $S=]0;3[$.

Par le calcul : $f(x)=2x+3$ et $g(x)=-x+9$ sur $ℝ$.

1. $f(x)=g(x)$ : $x$ =
   $2x+3=-x+9$ équivaut à $3x=6$, soit $x=2$.
2. Les deux droites se coupent au point d’ordonnée
   $f(2)=4+3=7$ et $g(2)=-2+9=7$ : le point d’intersection est $(2;7)$.
3. $f(5)-g(5)$ =
   $f(5)=13$ et $g(5)=4$, donc $f(5)-g(5)=9>0$ : en $x=5$, la droite de $f$ est au-dessus de celle de $g$. Plus généralement, $f(x)>g(x)$ équivaut à $3x>6$, soit $x>2$.

Soit $f(x)=x^2$ et $g(x)=3x+4$ sur $ℝ$.

1. Démontrer que $f(x)=g(x)$ équivaut à $(x-4)(x+1)=0$. Les solutions sont $-1$ et
   Rédaction attendue. $f(x)=g(x)$ équivaut à $x^2-3x-4=0$. Or $(x-4)(x+1)=x^2+x-4x-4=x^2-3x-4$. L’équation équivaut donc à $(x-4)(x+1)=0$, soit $x=4$ ou $x=-1$. $S=\{-1;4\}$.
2. Ordonnée du point d’intersection d’abscisse $-1$ :
   $f(-1)=1$ et $g(-1)=-3+4=1$ : le point est $(-1;1)$.
3. Contrôle en $x=0$ : $f(0)-g(0)$ =
   $f(0)-g(0)=0-4=-4<0$ : en $x=0$, la parabole est au-dessous de la droite. Un logiciel confirme : $f(x)<g(x)$ pour $x\in ]-1;4[$.

On compare $f(x)=x^2-1$ et $g(x)=2x+2$ avec ce programme Python :

x = -2
while x <= 4:
    if x**2 - 1 < 2*x + 2:
        print(x)
    x = x + 0.5

1. Plus petite valeur affichée :
   Le programme teste $-2$ ; $-1,5$ ; $-1$ ; … ; $4$. En $x=-0,5$ : $f(-0,5)=-0,75$ et $g(-0,5)=1$, et $-0,75<1$ : c’est la première valeur affichée (pour $-2$ et $-1,5$, on trouve $3>-2$ et $1,25>-1$).
2. Nombre de valeurs affichées :
   $f(x)-g(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ s’annule en $-1$ et $3$ ; la condition est vraie strictement entre ces deux nombres. Valeurs affichées : $-0,5$ ; $0$ ; $0,5$ ; $1$ ; $1,5$ ; $2$ ; $2,5$, soit $7$ valeurs.
3. Justifier que $-1$ n’est pas affiché alors que les courbes se coupent en ce point. On calcule $f(-1)-g(-1)$ =
   Rédaction attendue. $f(-1)=1-1=0$ et $g(-1)=-2+2=0$, donc $f(-1)-g(-1)=0$ : les deux courbes se coupent au point $(-1;0)$. Le test du programme est l’inégalité stricte $f(x)<g(x)$, fausse quand $f(x)=g(x)$ : $-1$ n’est pas affiché. De même pour $3$.