Fonctions de référence : carré, inverse et valeur absolue

Q: Qu’est-ce que la fonction valeur absolue ?

C’est la fonction qui associe à x sa valeur absolue |x|, c’est-à-dire sa distance à 0 : |x| = x si x ⩾ 0 et |x| = −x si x < 0. Sa courbe est formée de deux demi-droites en V de sommet l’origine ; elle est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.

Q: Quand x² est-il plus petit que x ?

Pour x positif, x² − x = x(x − 1). Ce produit est négatif quand 0 1, c’est l’inverse : x² > x. Les deux courbes se coupent en O et au point (1 ; 1).

Q: Comment résoudre x² < k, |x| ⩽ k ou 1/x < k ?

On regarde d’abord le signe de k. Pour k > 0 : x² 0, puis on utilise la décroissance sur chaque intervalle. Graphiquement, on lit les abscisses des points de la courbe situés sous la droite y = k.

Fonctions carré, inverse et valeur absolue : définitions, courbes, signe, variations démontrées, position des courbes y = x et y = x² sur [0 ; +∞[, résolution de f(x) = k et f(x) < k.

À propos de cette page

Ce cours de maths de seconde présente les trois fonctions de référence du programme 2026 : la fonction carré et sa parabole, la fonction inverse et son hyperbole, et la fonction valeur absolue et sa courbe en V, avec leur signe et leurs variations. Les démonstrations à connaître sont rédigées : variations du carré et de l’inverse, position de la parabole y = x² par rapport à la droite y = x, puis la résolution de x² < k, |x| ⩽ k et 1/x < k.

La fonction carré

Ce qu’il faut savoir

Définition. La fonction carré est la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{2}$ . Sa courbe représentative est une parabole de sommet l’origine $O$ du repère. Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, car $(- x)^{2} = x^{2}$ : deux nombres opposés ont le même carré.

Signe. Pour tout réel $x$ , $x^{2} ⩾ 0$ , et $x^{2} = 0$ seulement pour $x = 0$ . La parabole n’est jamais sous l’axe des abscisses.

Variations (démonstration à savoir refaire). La fonction carré est strictement décroissante sur $] - \infty; 0]$ et strictement croissante sur $[0; + \infty [$ . Elle a pour minimum $0$ , atteint en $x = 0$ .

$x$	$- \infty$		$0$		$+ \infty$
$x^{2}$		↘	$0$	↗

Comparer deux carrés. Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés ; deux nombres négatifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs carrés.

Exemples

Démonstration des variations. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ . On utilise l’identité remarquable vue au collège : $b^{2} - a^{2} = (b - a) (b + a)$ , avec $b - a > 0$ .
• Si $0 ⩽ a < b$ , alors $b > 0$ et $b + a > 0$ : le produit est strictement positif, donc $b^{2} - a^{2} > 0$ , soit $a^{2} < b^{2}$ . L’ordre est conservé : la fonction carré est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .
• Si $a < b ⩽ 0$ , alors $a < 0$ et $b + a < 0$ : le produit est strictement négatif, donc $a^{2} > b^{2}$ . L’ordre est inversé : la fonction carré est strictement décroissante sur $] - \infty; 0]$ .

Deux positifs. Comparer $3, 07^{2}$ et $3, 7^{2}$ : on a $0 ⩽ 3, 07 < 3, 7$ et la fonction carré est croissante sur $[0; + \infty [$ , donc $3, 07^{2} < 3, 7^{2}$ .

Deux négatifs. Comparer $(- 2, 4)^{2}$ et $(- 2, 04)^{2}$ : on a $- 2, 4 < - 2, 04 ⩽ 0$ et la fonction carré est décroissante sur $] - \infty; 0]$ : elle inverse l’ordre, donc $(- 2, 4)^{2} > (- 2, 04)^{2}$ .

Encadrer quand l’intervalle contient $0$ . On sait que $- 1, 5 ⩽ x ⩽ 2$ . On coupe en $0$ . Si $- 1, 5 ⩽ x ⩽ 0$ , par décroissance : $0 ⩽ x^{2} ⩽ 2, 25$ . Si $0 ⩽ x ⩽ 2$ , par croissance : $0 ⩽ x^{2} ⩽ 4$ . En réunissant : $0 ⩽ x^{2} ⩽ 4$ .

Réflexe — Pour comparer deux carrés sans calculer, je regarde d’abord de quel côté de $0$ sont les deux nombres. Positifs : même ordre. Négatifs : ordre inversé. Si l’intervalle contient $0$ , je le coupe en $0$ et le minimum de $x^{2}$ vaut $0$ .

Attention — $- 7 < 3$ , mais $(- 7)^{2} = 49$ et $3^{2} = 9$ : on ne peut pas appliquer les variations à deux nombres de signes contraires (on compare alors leurs distances à $0$ ). Et $- x^{2} \neq (- x)^{2}$ : pour $x = 4$ , $- x^{2} = - 16$ alors que $(- x)^{2} = 16$ .

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La fonction inverse

Ce qu’il faut savoir

Définition. La fonction inverse est la fonction $g$ définie sur $ℝ^{*} =] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ par $g (x) = \frac{1}{x}$ . Le réel $0$ n’a pas d’image : on ne divise pas par $0$ . Sa courbe est une hyperbole, formée de deux branches. Elle est symétrique par rapport à l’origine, car $\frac{1}{- x} = - \frac{1}{x}$ .

Signe. $\frac{1}{x}$ a le signe de $x$ : il est strictement négatif sur $] - \infty; 0 [$ , strictement positif sur $] 0; + \infty [$ , et n’est jamais nul. L’hyperbole ne coupe aucun des deux axes.

Variations (démonstration à savoir refaire). La fonction inverse est strictement décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et strictement décroissante sur $] 0; + \infty [$ . La double barre du tableau signale la valeur interdite $0$ .

$x$	$- \infty$		$0$		$+ \infty$
$\frac{1}{x}$		↘	‖	↘

Comparer deux inverses. Deux nombres non nuls de même signe sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses.

Exemples

Démonstration des variations. Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls tels que $a < b$ . En réduisant au même dénominateur : $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{a b}$ , avec $b - a > 0$ .
• Si $0 < a < b$ , alors $a b > 0$ (produit de deux positifs) : le quotient est strictement positif, donc $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ . L’ordre est inversé : la fonction inverse est strictement décroissante sur $] 0; + \infty [$ .
• Si $a < b < 0$ , alors $a b > 0$ (produit de deux négatifs) : de même $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ , et la fonction inverse est strictement décroissante sur $] - \infty; 0 [$ .

Deux positifs. $0 < 0, 35 < 0, 53$ et la fonction inverse est décroissante sur $] 0; + \infty [$ , donc $\frac{1}{0, 35} > \frac{1}{0, 53}$ .

Deux négatifs. $- 5, 2 < - 2, 5 < 0$ et la fonction inverse est décroissante sur $] - \infty; 0 [$ , donc $\frac{1}{- 5, 2} > \frac{1}{- 2, 5}$ (en effet $\frac{1}{- 2, 5} = - 0, 4$ et $\frac{1}{- 5, 2} \approx - 0, 19$ ).

Encadrer. On sait que $1, 25 ⩽ x ⩽ 4$ . Les bornes sont strictement positives et la fonction inverse est décroissante sur $] 0; + \infty [$ : $\frac{1}{4} ⩽ \frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{1, 25}$ , soit $0, 25 ⩽ \frac{1}{x} ⩽ 0, 8$ .

Pourquoi pas « décroissante sur $ℝ^{*}$ » ? $- 4 < 0, 5$ et pourtant $\frac{1}{- 4} = - 0, 25 < 2 = \frac{1}{0, 5}$ : ici l’ordre est conservé.

Réflexe — Avant d’utiliser la décroissance, je vérifie que les deux nombres sont de même signe. S’ils sont de signes contraires, c’est le signe qui décide : l’inverse du négatif est négatif, donc le plus petit.

Attention — L’inverse n’est pas l’opposé : l’inverse de $- 5$ est $- 0, 2$ , son opposé est $5$ . Et $\frac{1}{0}$ n’existe pas : $0$ n’a pas d’image par la fonction inverse.

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La fonction valeur absolue

Ce qu’il faut savoir

Valeur absolue. Pour tout réel $x$ : $| x | = x$ si $x ⩾ 0$ , et $| x | = - x$ si $x < 0$ . C’est la distance entre $x$ et $0$ sur la droite graduée.

Définition. La fonction valeur absolue est la fonction définie sur $ℝ$ par $x \mapsto | x |$ . Sur $[0; + \infty [$ , sa courbe est la demi-droite d’équation $y = x$ ; sur $] - \infty; 0]$ , c’est la demi-droite d’équation $y = - x$ . Ces deux demi-droites d’origine $O$ forment un V, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées car $| - x | = | x |$ .

Signe. Pour tout réel $x$ , $| x | ⩾ 0$ , et $| x | = 0$ seulement pour $x = 0$ .

Variations. La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur $] - \infty; 0]$ et strictement croissante sur $[0; + \infty [$ . Son minimum vaut $0$ , atteint en $x = 0$ .

$x$	$- \infty$		$0$		$+ \infty$
$\| x \|$		↘	$0$	↗

Lien avec les racines carrées. Pour tout réel $x$ , $\sqrt{x^{2}} = | x |$ .

Exemples

Calculer. $| - 6, 3 | = 6, 3$ ; $| 3 - 8, 5 | = | - 5, 5 | = 5, 5$ ; $3 - π < 0$ , donc $| 3 - π | = - (3 - π) = π - 3$ .

Démonstration des variations. Soient $a < b$ . Si $0 ⩽ a < b$ , alors $| a | = a$ et $| b | = b$ , donc $| a | < | b |$ : la fonction est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ . Si $a < b ⩽ 0$ , alors $| a | = - a$ et $| b | = - b$ ; en multipliant $a < b$ par $- 1 < 0$ , on obtient $- a > - b$ , soit $| a | > | b |$ : elle est strictement décroissante sur $] - \infty; 0]$ .

Comparer. $- 8, 3 < - 3, 8 ⩽ 0$ et la fonction valeur absolue est décroissante sur $] - \infty; 0]$ , donc $| - 8, 3 | > | - 3, 8 |$ : $- 8, 3$ est plus loin de $0$ .

Écrire sans barres. Soit $h (x) = | x | + 2 x$ . Si $x ⩾ 0$ : $h (x) = x + 2 x = 3 x$ . Si $x < 0$ : $h (x) = - x + 2 x = x$ . La courbe de $h$ est la demi-droite $y = x$ pour $x < 0$ , puis la demi-droite $y = 3 x$ .

Réflexe — Pour enlever les barres, je cherche le signe de ce qu’il y a à l’intérieur : positif, je le recopie ; négatif, je prends son opposé. Si le signe dépend de $x$ , je sépare les deux cas.

Attention — Quand $x < 0$ , $- x$ est positif : pour $x = - 5$ , $| x | = - x = 5$ . Et en général $| a + b | \neq | a | + | b |$ : $| 3 + (- 5) | = 2$ alors que $| 3 | + | - 5 | = 8$ .

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Position des courbes y = x et y = x² sur [0 ; +∞[

Ce qu’il faut savoir

Propriété (démonstration à savoir refaire). Pour tout réel $x ⩾ 0$ :
• si $0 < x < 1$ , alors $x^{2} < x$ : la parabole d’équation $y = x^{2}$ est sous la droite d’équation $y = x$ ;
• si $x = 0$ ou $x = 1$ , alors $x^{2} = x$ : les deux courbes se coupent en $O (0; 0)$ et en $A (1; 1)$ ;
• si $x > 1$ , alors $x^{2} > x$ : la parabole est au-dessus de la droite.

Méthode. Pour comparer deux expressions, on étudie le signe de leur différence, ici $x^{2} - x = x (x - 1)$ .

Avec l’inverse, pour $x > 0$ : $x - \frac{1}{x} = \frac{x^{2} - 1}{x} = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x}$ , qui a le signe de $x - 1$ . D’où : si $0 < x < 1$ , $x^{2} < x < \frac{1}{x}$ ; si $x > 1$ , $\frac{1}{x} < x < x^{2}$ .

Exemples

Démonstration. Pour tout réel $x$ , $x^{2} - x = x (x - 1)$ . On suppose $x ⩾ 0$ .
• Si $0 < x < 1$ : $x > 0$ et $x - 1 < 0$ , donc le produit $x (x - 1)$ est strictement négatif : $x^{2} - x < 0$ , soit $x^{2} < x$ .
• Si $x > 1$ : $x > 0$ et $x - 1 > 0$ , donc $x (x - 1) > 0$ : $x^{2} > x$ .
• Si $x = 0$ ou $x = 1$ : un facteur est nul, donc $x^{2} = x$ .
Graphiquement, sur $] 0; 1 [$ la parabole est sous la droite d’équation $y = x$ , et sur $] 1; + \infty [$ elle est au-dessus.

Ranger sans calculatrice. $0 < 0, 8 < 1$ , donc $0, 8^{2} < 0, 8 < \frac{1}{0, 8}$ , c’est-à-dire $0, 64 < 0, 8 < 1, 25$ .

Après $1$ . $3, 5 > 1$ , donc $\frac{1}{3, 5} < 3, 5 < 3, 5^{2}$ , c’est-à-dire $\frac{2}{7} < 3, 5 < 12, 25$ .

Réflexe — Pour comparer $x$ , $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ (avec $x > 0$ ), je compare d’abord $x$ à $1$ . Pour le démontrer, je calcule la différence, je la factorise et j’étudie le signe de chaque facteur.

Attention — « Le carré d’un nombre est plus grand que lui » est faux entre $0$ et $1$ : $0, 5^{2} = 0, 25 < 0, 5$ . Et la propriété est énoncée pour $x ⩾ 0$ : si $x < 0$ , on a toujours $x^{2} > x$ , car $x^{2} ⩾ 0 > x$ .

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Résoudre f(x) = k et f(x) < k

Ce qu’il faut savoir

Lecture graphique. Les solutions de $f (x) = k$ sont les abscisses des points d’intersection de la courbe de $f$ et de la droite horizontale d’équation $y = k$ . Les solutions de $f (x) < k$ sont les abscisses des points de la courbe situés strictement sous cette droite.

Résolution algébrique : on isole $f (x)$ , on regarde le signe de $k$ , puis on applique le tableau (les inégalités larges $⩽$ , $⩾$ ajoutent les bornes).

	$k > 0$	$k = 0$	$k < 0$
$x^{2} = k$	$- \sqrt{k}$ et $\sqrt{k}$	$0$	aucune solution
$x^{2} < k$	$] - \sqrt{k}; \sqrt{k} [$	aucune solution	aucune solution
$x^{2} > k$	$] - \infty; - \sqrt{k} [\cup] \sqrt{k}; + \infty [$	$ℝ^{*}$	$ℝ$
$\| x \| = k$	$- k$ et $k$	$0$	aucune solution
$\| x \| ⩽ k$	$[- k; k]$	$0$ seulement	aucune solution
$\| x \| > k$	$] - \infty; - k [\cup] k; + \infty [$	$ℝ^{*}$	$ℝ$
$\frac{1}{x} = k$	$\frac{1}{k}$	aucune solution	$\frac{1}{k}$
$\frac{1}{x} < k$	$] - \infty; 0 [\cup] \frac{1}{k}; + \infty [$	$] - \infty; 0 [$	$] \frac{1}{k}; 0 [$

Pour l’inverse, on sépare toujours les cas $x < 0$ et $x > 0$ : $\frac{1}{x}$ a le signe de $x$ , et la fonction inverse est décroissante sur chacun des deux intervalles.

Exemples

Carré, lecture graphique. $x^{2} ⩽ 2, 89$ . Comme $2, 89 > 0$ et $\sqrt{2, 89} = 1, 7$ , la parabole est sous la droite d’équation $y = 2, 89$ (ou sur elle) pour $x$ entre $- 1, 7$ et $1, 7$ : $S = [- 1, 7; 1, 7]$ .

Isoler d’abord. $3 x^{2} + 2 > 17 ⟺ 3 x^{2} > 15 ⟺ x^{2} > 5$ . Comme $5 > 0$ : $S =] - \infty; - \sqrt{5} [\cup] \sqrt{5}; + \infty [$ .

Valeur absolue. $| x | < 4, 5$ : $S =] - 4, 5; 4, 5 [$ . Et $| x | ⩾ 1, 2$ : $S =] - \infty; - 1, 2] \cup [1, 2; + \infty [$ .

Inverse, $k > 0$ . $\frac{1}{x} ⩾ 2, 5$ . Si $x < 0$ : $\frac{1}{x} < 0 < 2, 5$ , aucune solution. Si $x > 0$ : $2, 5 = \frac{1}{0, 4}$ et la fonction inverse est décroissante sur $] 0; + \infty [$ , donc $\frac{1}{x} ⩾ \frac{1}{0, 4} ⟺ x ⩽ 0, 4$ . Finalement $S =] 0; 0, 4]$ .

Inverse, $k < 0$ . $\frac{1}{x} < - 2$ . Si $x > 0$ : $\frac{1}{x} > 0$ , aucune solution. Si $x < 0$ : $- 2 = \frac{1}{- 0, 5}$ et, par décroissance sur $] - \infty; 0 [$ , $\frac{1}{x} < \frac{1}{- 0, 5} ⟺ x > - 0, 5$ . Finalement $S =] - 0, 5; 0 [$ .

Réflexe — J’isole $x^{2}$ , $| x |$ ou $\frac{1}{x}$ , je regarde le signe de $k$ , puis j’applique le tableau ou je lis sur la courbe. Avec l’inverse, je traite toujours $x < 0$ et $x > 0$ séparément. Je contrôle avec une valeur de $x$ .

Attention — $x^{2} < 9$ ne donne pas $x < 3$ : $- 5 < 3$ , mais $(- 5)^{2} = 25 > 9$ . Et on ne multiplie jamais $\frac{1}{x} < k$ par $x$ sans connaître le signe de $x$ .

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Pour aller plus loin

Fonctions racine carrée et cube. Leurs courbes, leurs variations et la comparaison de $x$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ et $\sqrt{x}$ sont dans le chapitre Racine carrée et cube (approfondissement : ces fonctions ne sont plus au programme de 2nde depuis 2026).

Valeur absolue et distance. La distance entre deux réels $a$ et $b$ , égale à $| a - b |$ , et les inéquations du type $| x - a | ⩽ r$ , dont les solutions forment l’intervalle $[a - r; a + r]$ , sont traitées dans le chapitre Ensembles de nombres, intervalles et valeur absolue. La relation $\sqrt{a^{2}} = | a |$ est démontrée dans le chapitre Racines carrées.

Tableaux de signes. Une inéquation comme $x^{2} - 4 < 0$ peut aussi se résoudre en factorisant, $(x - 2) (x + 2) < 0$ , puis avec un tableau de signes : chapitre Étude de signe et tableaux de signes.

Variations d’une fonction quelconque. Tableau de variations, maximum et minimum sur un intervalle, comparaison de $f (a)$ et $f (b)$ pour une fonction donnée par sa courbe : chapitre Variations et extrémums. Résoudre $f (x) = g (x)$ en lisant deux courbes : chapitre Généralités sur les fonctions.

Approfondissement (plus au programme de 2nde depuis 2026) : parité. Une fonction définie sur un ensemble symétrique par rapport à $0$ est dite paire si $f (- x) = f (x)$ (courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, comme $x^{2}$ et $| x |$ ) et impaire si $f (- x) = - f (x)$ (courbe symétrique par rapport à l’origine, comme $\frac{1}{x}$ ).

À retenir

Carré : $x^{2} ⩾ 0$ ; décroissante sur $] - \infty; 0]$ , croissante sur $[0; + \infty [$ ; courbe : parabole de sommet $O$ .
Inverse : définie sur $ℝ^{*}$ , $\frac{1}{x}$ a le signe de $x$ ; décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 0; + \infty [$ (séparément) ; courbe : hyperbole.
Valeur absolue : $| x | = x$ si $x ⩾ 0$ , $- x$ si $x < 0$ ; $| x | ⩾ 0$ ; décroissante puis croissante, minimum $0$ en $0$ ; courbe en V.
Comparer $f (a)$ et $f (b)$ : $a$ et $b$ dans un même intervalle où $f$ est monotone ; croissante, l’ordre est conservé ; décroissante, il est inversé.
Pour $x ⩾ 0$ : $x^{2} - x = x (x - 1)$ ; sur $] 0; 1 [$ , $x^{2} < x$ ; sur $] 1; + \infty [$ , $x^{2} > x$ .
$x^{2} < k$ ( $k > 0$ ) : $] - \sqrt{k}; \sqrt{k} [$ ; $| x | ⩽ k$ ( $k ⩾ 0$ ) : $[- k; k]$ ; $\frac{1}{x} < k$ : on sépare $x < 0$ et $x > 0$ .

Questions fréquentes

Comment comparer deux carrés sans les calculer ?

On regarde le signe des deux nombres. S’ils sont positifs, la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[ : les carrés sont rangés dans le même ordre. S’ils sont négatifs, elle est décroissante sur ]−∞ ; 0] : l’ordre s’inverse. S’ils sont de signes contraires, on compare leurs distances à 0.

La fonction inverse est-elle décroissante sur ℝ* ?

Non. Elle est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; +∞[, mais séparément. Un nombre négatif a toujours un inverse négatif, donc plus petit que l’inverse d’un nombre positif : −1 < 6 et pourtant 1/(−1) < 1/6.

Qu’est-ce que la fonction valeur absolue ?

C’est la fonction qui associe à x sa valeur absolue |x|, c’est-à-dire sa distance à 0 : |x| = x si x ⩾ 0 et |x| = −x si x < 0. Sa courbe est formée de deux demi-droites en V de sommet l’origine ; elle est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.

Quand x² est-il plus petit que x ?

Pour x positif, x² − x = x(x − 1). Ce produit est négatif quand 0 < x < 1 : alors x² < x, et la parabole est sous la droite y = x. Pour x > 1, c’est l’inverse : x² > x. Les deux courbes se coupent en O et au point (1 ; 1).

Comment résoudre x² < k, |x| ⩽ k ou 1/x < k ?

On regarde d’abord le signe de k. Pour k > 0 : x² < k donne −√k < x < √k et |x| ⩽ k donne −k ⩽ x ⩽ k. Pour l’inverse, on sépare toujours x < 0 et x > 0, puis on utilise la décroissance sur chaque intervalle. Graphiquement, on lit les abscisses des points de la courbe situés sous la droite y = k.

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