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Fonctions de référence (affine, carré, inverse)
Étude des fonctions affine f(x)=ax+b, carré f(x)=x² et inverse f(x)=1/x — programme de 2nde générale
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en seconde sur « Fonctions de référence (affine, carré, inverse) » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : La fonction affine f(x) = ax + b, Variations et graphe de la fonction affine, La fonction carré f(x) = x², Tableau de variations et symétrie de f(x) = x². Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.
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La fonction affine f(x) = ax + b
Définition. Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où a et b sont des réels.
• a est le coefficient directeur (ou pente).
• b est l'ordonnée à l'origine (valeur en x = 0).
Cas particuliers : si b = 0, f est une fonction linéaire ; si a = 0, f est une fonction constante.
• a est le coefficient directeur (ou pente).
• b est l'ordonnée à l'origine (valeur en x = 0).
Cas particuliers : si b = 0, f est une fonction linéaire ; si a = 0, f est une fonction constante.
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. On note souvent cette droite (Δ).
Exemples.
• f(x) = 2x + 3 : coefficient directeur a = 2, ordonnée à l'origine b = 3.
• g(x) = −x + 1 : coefficient directeur a = −1, ordonnée à l'origine b = 1.
• h(x) = 5x : fonction linéaire (b = 0).
• k(x) = −2 : fonction constante (a = 0).
• f(x) = 2x + 3 : coefficient directeur a = 2, ordonnée à l'origine b = 3.
• g(x) = −x + 1 : coefficient directeur a = −1, ordonnée à l'origine b = 1.
• h(x) = 5x : fonction linéaire (b = 0).
• k(x) = −2 : fonction constante (a = 0).
Méthode — Trouver a et b à partir de deux points.
Si la droite passe par A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂) avec x₁ ≠ x₂ :
$a = (y_{2} - y_{1}) / (x_{2} - x_{1})$
Puis $b = y_{1} - a\cdot x_{1}$.
Si la droite passe par A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂) avec x₁ ≠ x₂ :
$a = (y_{2} - y_{1}) / (x_{2} - x_{1})$
Puis $b = y_{1} - a\cdot x_{1}$.
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Variations et graphe de la fonction affine
Propriété. Soit f(x) = ax + b une fonction affine.
• Si a > 0 : f est strictement croissante sur ℝ.
• Si a < 0 : f est strictement décroissante sur ℝ.
• Si a = 0 : f est constante sur ℝ.
• Si a > 0 : f est strictement croissante sur ℝ.
• Si a < 0 : f est strictement décroissante sur ℝ.
• Si a = 0 : f est constante sur ℝ.
Pour tracer la droite, on peut calculer deux points distincts (par exemple x = 0 et x = 1), puis on les relie.
| Signe de a | Sens de variation | Allure de la droite |
|---|---|---|
| a > 0 | Croissante | Monte de gauche à droite |
| a < 0 | Décroissante | Descend de gauche à droite |
| a = 0 | Constante | Horizontale |
Exemple. Tracer f(x) = 2x − 1.
• En x = 0 : f(0) = −1 → point A(0 ; −1)
• En x = 2 : f(2) = 3 → point B(2 ; 3)
On trace la droite passant par A et B. Comme a = 2 > 0, la droite est croissante.
• En x = 0 : f(0) = −1 → point A(0 ; −1)
• En x = 2 : f(2) = 3 → point B(2 ; 3)
On trace la droite passant par A et B. Comme a = 2 > 0, la droite est croissante.
Attention ! Plus |a| est grand, plus la droite est « pentue ». Une droite horizontale (a = 0) représente une fonction constante, pas la fonction nulle (sauf si b = 0).
3
La fonction carré f(x) = x²
Définition. La fonction carré est définie sur ℝ par $f(x) = x^{2}$.
Son ensemble de définition est D = ℝ.
L'image de x est x² (toujours positive ou nulle).
Son ensemble de définition est D = ℝ.
L'image de x est x² (toujours positive ou nulle).
On rappelle que x² = x × x. Quelques valeurs remarquables :
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Exemples de calculs.
• f(−4) = (−4)² = 16
• f(√2) = (√2)² = 2
• f(−0,5) = (−0,5)² = 0,25
• f(−4) = (−4)² = 16
• f(√2) = (√2)² = 2
• f(−0,5) = (−0,5)² = 0,25
Attention ! (−x)² = x² : les valeurs opposées ont la même image. Ainsi f(−3) = f(3) = 9. C'est la propriété de symétrie.
4
Tableau de variations et symétrie de f(x) = x²
Propriété. La fonction carré f(x) = x² est :
• strictement décroissante sur ]−∞ ; 0]
• strictement croissante sur [0 ; +∞[
Elle admet un minimum égal à 0 en x = 0.
• strictement décroissante sur ]−∞ ; 0]
• strictement croissante sur [0 ; +∞[
Elle admet un minimum égal à 0 en x = 0.
Tableau de variations :
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | +∞ | ↘ | 0 | ↗ | +∞ |
Symétrie. La courbe représentative de f(x) = x² (appelée parabole) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe (Oy)), car f(−x) = f(x) pour tout x.
Astuce — Comparer deux images.
Pour comparer f(a) et f(b) avec a, b positifs : si 0 ≤ a < b alors a² < b².
Pour comparer f(a) et f(b) avec a, b négatifs : si a < b ≤ 0 alors a² > b².
Pour comparer f(a) et f(b) avec a, b positifs : si 0 ≤ a < b alors a² < b².
Pour comparer f(a) et f(b) avec a, b négatifs : si a < b ≤ 0 alors a² > b².
Exemple. Comparer f(−3) et f(2).
f(−3) = 9 et f(2) = 4 donc f(−3) > f(2).
Avec le tableau : −3 est à gauche de 0 et |−3| = 3 > 2, donc x² est plus grand en −3 qu'en 2.
f(−3) = 9 et f(2) = 4 donc f(−3) > f(2).
Avec le tableau : −3 est à gauche de 0 et |−3| = 3 > 2, donc x² est plus grand en −3 qu'en 2.
5
La fonction inverse f(x) = 1/x
Définition. La fonction inverse est définie par $f(x) = 1/x$.
Son ensemble de définition est D = ℝ* = ℝ \ {0} (tous les réels sauf 0).
Son ensemble de définition est D = ℝ* = ℝ \ {0} (tous les réels sauf 0).
Quelques valeurs remarquables :
| x | −4 | −2 | −1 | −½ | ½ | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1/x | −¼ | −½ | −1 | −2 | 2 | 1 | ½ | ¼ |
Exemples de calculs.
• f(5) = 1/5 = 0,2
• f(−2) = 1/(−2) = −0,5
• f(0,1) = 1/0,1 = 10
• f(5) = 1/5 = 0,2
• f(−2) = 1/(−2) = −0,5
• f(0,1) = 1/0,1 = 10
Attention ! f(0) n'existe pas (division par zéro). Il faut toujours préciser que x ≠ 0.
Propriété de symétrie. f(−x) = 1/(−x) = −1/x = −f(x) pour tout x ≠ 0.
La courbe de la fonction inverse (une hyperbole) est symétrique par rapport à l'origine O.
La courbe de la fonction inverse (une hyperbole) est symétrique par rapport à l'origine O.
6
Variations et asymptotes de la fonction inverse
Propriété. La fonction inverse f(x) = 1/x est :
• strictement décroissante sur ]−∞ ; 0[
• strictement décroissante sur ]0 ; +∞[
Elle n'a pas de minimum ni de maximum.
• strictement décroissante sur ]−∞ ; 0[
• strictement décroissante sur ]0 ; +∞[
Elle n'a pas de minimum ni de maximum.
Tableau de variations :
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 1/x | 0⁻ | ↘ | || | ↘ | 0⁺ |
Asymptotes. La courbe de f(x) = 1/x admet :
• L'axe des ordonnées (x = 0) comme asymptote verticale : quand x → 0, |1/x| → +∞.
• L'axe des abscisses (y = 0) comme asymptote horizontale : quand |x| → +∞, 1/x → 0.
• L'axe des ordonnées (x = 0) comme asymptote verticale : quand x → 0, |1/x| → +∞.
• L'axe des abscisses (y = 0) comme asymptote horizontale : quand |x| → +∞, 1/x → 0.
Astuce. Sur ]0 ; +∞[ : plus x est grand, plus 1/x est petit (proche de 0). Plus x est proche de 0 par valeurs positives, plus 1/x est grand.
Exemple : 1/1000 = 0,001 (proche de 0) ; 1/0,001 = 1000 (très grand).
Exemple : 1/1000 = 0,001 (proche de 0) ; 1/0,001 = 1000 (très grand).
Attention ! f est décroissante sur chacune des deux parties de son domaine, mais on ne peut pas comparer f(−1) et f(1) avec le tableau (ils appartiennent à deux intervalles différents). Il faut calculer : f(−1) = −1 et f(1) = 1.
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Lire et interpréter une courbe représentative
La courbe représentative (ou graphe) d'une fonction permet de lire des informations importantes :
- Image d'un réel x₀ : on lit l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse x₀.
- Antécédent d'un réel y₀ : on cherche les abscisses des points d'ordonnée y₀.
- Sens de variation : la courbe monte → croissante ; descend → décroissante.
- Signe de f(x) : si la courbe est au-dessus de l'axe des x, f(x) > 0.
Exemple avec f(x) = x².
• Image de −3 : f(−3) = (−3)² = 9 → lire le point (−3 ; 9) sur la parabole.
• Antécédents de 4 : résoudre x² = 4 → x = 2 ou x = −2.
• Antécédents de −1 : résoudre x² = −1 → pas de solution réelle (x² ≥ 0).
• Image de −3 : f(−3) = (−3)² = 9 → lire le point (−3 ; 9) sur la parabole.
• Antécédents de 4 : résoudre x² = 4 → x = 2 ou x = −2.
• Antécédents de −1 : résoudre x² = −1 → pas de solution réelle (x² ≥ 0).
Méthode — Résoudre f(x) = k graphiquement.
Tracer la droite horizontale y = k, puis lire les abscisses des points d'intersection avec la courbe de f.
Tracer la droite horizontale y = k, puis lire les abscisses des points d'intersection avec la courbe de f.
Exemple avec f(x) = 1/x.
Résoudre 1/x = 2 : tracer y = 2, l'intersection avec l'hyperbole est en x = 1/2.
Résoudre 1/x = −3 : x = −1/3.
Résoudre 1/x = 2 : tracer y = 2, l'intersection avec l'hyperbole est en x = 1/2.
Résoudre 1/x = −3 : x = −1/3.
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Méthodes essentielles et pièges à éviter
Récapitulatif des méthodes.
1. Identifier la fonction : affine (droite), carré (parabole), inverse (hyperbole).
2. Tableau de variations : noter le domaine de définition, les sens de variation, les extremums.
3. Tracer le graphe : calculer un tableau de valeurs, placer les points, tracer la courbe.
1. Identifier la fonction : affine (droite), carré (parabole), inverse (hyperbole).
2. Tableau de variations : noter le domaine de définition, les sens de variation, les extremums.
3. Tracer le graphe : calculer un tableau de valeurs, placer les points, tracer la courbe.
| Fonction | Domaine | Courbe | Symétrie | Variations |
|---|---|---|---|---|
| f(x) = ax+b | ℝ | Droite | Aucune (sauf a=0) | Croissante si a>0, décroissante si a<0 |
| f(x) = x² | ℝ | Parabole | Axe (Oy) | Décr. sur ]−∞;0], croiss. sur [0;+∞[ |
| f(x) = 1/x | ℝ* | Hyperbole | Origine O | Décr. sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[ |
Pièges courants.
• Confondre « décroissante sur ℝ* » et « décroissante sur ℝ* entier » pour 1/x : on ne peut pas écrire que 1/x est décroissante sur ℝ*.
• Oublier que f(x) = x² admet un minimum en 0 (pas un maximum).
• Croire qu'une fonction affine avec a < 0 « n'a pas de valeurs positives » : si b > 0, la droite coupe l'axe des x en x = −b/a > 0.
• Confondre « décroissante sur ℝ* » et « décroissante sur ℝ* entier » pour 1/x : on ne peut pas écrire que 1/x est décroissante sur ℝ*.
• Oublier que f(x) = x² admet un minimum en 0 (pas un maximum).
• Croire qu'une fonction affine avec a < 0 « n'a pas de valeurs positives » : si b > 0, la droite coupe l'axe des x en x = −b/a > 0.
À retenir : toujours préciser le domaine de définition, surtout pour f(x) = 1/x.
En bref
- Fonction affine f(x) = ax+b : droite, croissante si a>0, décroissante si a<0, constante si a=0. Domaine : ℝ.
- Fonction carré f(x) = x² : parabole, min en 0, décroissante sur ]−∞;0], croissante sur [0;+∞[, symétrique par rapport à (Oy). Domaine : ℝ.
- Fonction inverse f(x) = 1/x : hyperbole, décroissante sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[, asymptotes x=0 et y=0, symétrique par rapport à O. Domaine : ℝ*.
- Pour trouver a et b d'une droite : a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), puis b = y₁−ax₁.
- Antécédents de y₀ : résoudre f(x) = y₀ (peut avoir 0, 1 ou 2 solutions selon la fonction).
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