Généralités sur les fonctions

1. a)$f(-3)=2\times 9-3-4=18-7=11$. (1)
2. b)$4x-6=0$ pour $x={\displaystyle \frac{6}{4}}=1,5$ : la valeur interdite est $1,5$. (1)
3. c)$g(-1)=(-1{)}^3+4=-1+4=3$, qui est l’ordonnée de $E$ : $E$ appartient à la courbe. (1)
4. d)Il faut $10-5x⩾0$, soit $10⩾5x$, soit $x⩽2$ : l’ensemble de définition est $]-\infty ;2]$. (1)

Repère — Image : on calcule. Point de la courbe : on compare son ordonnée à f(a). Domaine : dénominateur non nul, racine d’un nombre positif.

1. a)Le quotient existe si $3x+6\ne 0$. Or $3x+6=0$ équivaut à $x=-2$. Donc $D_f=ℝ⧵\{-2\}$. (1)
2. b)$f(0)={\displaystyle \frac{-7}{6}}=-{\displaystyle \frac{7}{6}}$ et $f(4)={\displaystyle \frac{4-7}{12+6}}={\displaystyle \frac{-3}{18}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$. (1)
3. c)Pour $x\ne -2$, $f(x)=-1$ équivaut à $x-7=-(3x+6)$ (on multiplie par $3x+6$, non nul), soit $x-7=-3x-6$, puis $4x=1$ et $x=0,25$. Comme $0,25\ne -2$, l’antécédent de $-1$ est $0,25$. (1)
4. d)Pour $x\ne -2$, $f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ équivaut à $3(x-7)=3x+6$ (produit en croix), soit $3x-21=3x+6$, puis $-21=6$. Cette égalité est fausse quel que soit $x$ : l’équation n’a pas de solution, donc ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ n’a pas d’antécédent par $f$. (1)

Repère — Une équation qui aboutit à une égalité fausse entre deux nombres n’a pas de solution : le nombre visé n’a pas d’antécédent.

1. a)Au-dessus de $x=1$, on lit $f(1)=4$ (le calcul donne $-0,5+2+2,5=4$). La droite $y=2,5$ coupe ${𝒞}_f$ aux points d’abscisses $0$ et $4$ : les antécédents de $2,5$ sont $0$ et $4$. (1,5)
2. b)${𝒞}_f$ coupe l’axe des abscisses en $x=-1$ et $x=5$ : $S=\{-1;5\}$. ${𝒞}_f$ est strictement au-dessous de la droite $y=2,5$ avant $0$ et après $4$ : $S=[-2;0[\cup ]4;6]$ (bornes $0$ et $4$ exclues car l’inégalité est stricte ; $-2$ et $6$ incluses car $f(-2)=f(6)=-3,5<2,5$). (1,5)
3. c)$f(x)-g(x)=-0,5x^2+2x+2,5-x-1=-0,5x^2+x+1,5$. Et $-0,5(x+1)(x-3)=-0,5(x^2-3x+x-3)=-0,5(x^2-2x-3)=-0,5x^2+x+1,5$ : l’égalité est démontrée. Les abscisses des points d’intersection sont les solutions de $f(x)=g(x)$, soit $-0,5(x+1)(x-3)=0$ : $x=-1$ ou $x=3$. Les points d’intersection sont $(-1;0)$ et $(3;4)$. (1,5)
4. d)Les courbes se coupent aux points d’abscisses $-1$ et $3$ (question c) ; entre les deux, ${𝒞}_f$ est au-dessus de ${𝒞}_g$. Inégalité large : $S=[-1;3]$. (1,5)

Repère — On lit des abscisses ; le calcul confirme les lectures, qui ne sont qu’approchées.

1. a)Pour $x=0$, le dénominateur est nul : le quotient n’existe pas (et un temps moyen par pièce sans aucune pièce n’a pas de sens). $T(60)={\displaystyle \frac{120+240}{60}}={\displaystyle \frac{360}{60}}=6$ min : pour $60$ pièces, chacune prend en moyenne $6$ minutes. (1,5)
2. b)Pour $x\ne 0$, $T(x)=5$ équivaut à $2x+240=5x$ (on multiplie par $x$, non nul), soit $3x=240$ et $x=80$. Le temps moyen descend à $5$ minutes pour $80$ pièces, la série maximale. (1,5)
3. c)Comme $x>0$, $T(x)⩽10$ équivaut à $2x+240⩽10x$ (multiplier par un nombre positif conserve le sens), soit $240⩽8x$, soit $x⩾30$. Le temps moyen est d’au plus $10$ minutes dès $30$ pièces : pour les séries de $30$ à $80$ pièces. (1,5)
4. d)$(x-40)(x+60)=x^2+60x-40x-2400=x^2+20x-2400$. Pour $x\ne 0$, $T(x)=g(x)$ équivaut à $2x+240=x(0,1x+4)$, soit $2x+240=0,1x^2+4x$, soit $0,1x^2+2x-240=0$, et, en multipliant par $10$, $x^2+20x-2400=0$, c’est-à-dire $(x-40)(x+60)=0$ : $x=40$ ou $x=-60$. Seul $40$ est entre $1$ et $80$. Pour une série de $40$ pièces, les deux temps sont égaux : $T(40)={\displaystyle \frac{320}{40}}=8$ et $g(40)=4+4=8$ min. (1,5)

Repère — Multiplier par x ne change pas le sens d’une inégalité parce que x est positif dans cette situation : la justification fait partie de la réponse.