À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en seconde sur « Généralités sur les fonctions » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Notion de fonction et vocabulaire, Domaine de définition, Image d'un nombre par une fonction, Antécédent d'un nombre par une fonction. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Notion de fonction et vocabulaire
2 · Domaine de définition
3 · Image d'un nombre par une fonction
4 · Antécédent d'un nombre par une fonction
5 · Tableau de valeurs
6 · Représentation graphique d'une fonction
7 · Lecture graphique : images et antécédents
8 · Sens de variation d'une fonction
1Notion de fonction et vocabulaire
Une fonction est un procédé qui associe à chaque réel $x$ d'un ensemble de départ au plus un réel noté $f$($x$).
Définition. Soit $f$ une fonction. On dit que $f$ est définie sur un ensemble $D$ si, pour tout réel $x$ appartenant à $D$, $f$($x$) est un réel bien défini. On note : $f$ : $D$ → ℝ, $x$ ↦ $f$($x$).
On utilise souvent les lettres $f$, $g$, $h$ pour nommer les fonctions et $x$ pour la variable (qu'on appelle aussi variable muette). L'ensemble de départ est souvent un intervalle de ℝ.
Exemple. La fonction $f$ définie par $f$($x$) = 2$x$ + 3 associe à chaque réel $x$ le réel 2$x$ + 3. Ainsi, $f$(1) = 2×1 + 3 = 5.
Vocabulaire. $x$ est la variable (ou argument), $f$($x$) est la valeur (ou image). On dit que $f$ est une application de $D$ dans ℝ.
2Domaine de définition
Définition. Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d'une fonction $f$, noté Df, est l'ensemble de tous les réels $x$ pour lesquels $f$($x$) est défini.
Pour déterminer le domaine de définition, on cherche les valeurs exclues :
- On ne peut pas diviser par zéro : si $f$($x$) = 1/($x$ − 3), alors $x$ ≠ 3, donc Df = ℝ ∖ {3}.
- On ne peut pas prendre la racine carrée d'un négatif : si $f$($x$) = √($x$ + 2), alors $x$ + 2 ≥ 0, donc $x$ ≥ −2, Df = [−2 ; +∞[.
- Si aucune restriction n'existe (polynômes), alors Df = ℝ.
Exemple. Pour $g$($x$) = ($x$ + 1)/($x$2 − 4), le dénominateur s'annule quand $x$ = 2 ou $x$ = −2. Donc Dg = ℝ ∖ {−2 ; 2}.
Attention ! Une expression polynomiale (sans fraction ni racine) est toujours définie sur ℝ. Ne pas oublier de factoriser le dénominateur pour trouver toutes les valeurs exclues.
3Image d'un nombre par une fonction
Définition. Si $x$ est un réel du domaine de définition de $f$, alors $f$($x$) est appelé l'image de $x$ par $f$. On dit aussi que $f$ envoie $x$ sur $f$($x$).
Méthode : Pour calculer l'image de $a$ par $f$, on remplace $x$ par $a$ dans l'expression de $f$($x$) et on calcule.
Exemple. Soit $f$($x$) = $x$2 − 3$x$ + 1.
• $f$(2) = 4 − 6 + 1 = −1.
• $f$(−1) = 1 + 3 + 1 = 5.
• $f$(0) = 0 − 0 + 1 = 1.
Astuce. Quand $x$ est négatif, n'oubliez pas que (−$a$)2 = $a$2 (positif). Mettez toujours le signe négatif entre parenthèses pour éviter les erreurs.
Attention ! $f$($a$ + 1) ≠ $f$($a$) + 1. Il faut substituer l'expression complète ($a$ + 1) à la place de $x$.
4Antécédent d'un nombre par une fonction
Définition. On dit que $a$ est un antécédent de $b$ par $f$ si $f$($a$) = $b$. Un réel peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun.
Méthode : Pour trouver les antécédents de $b$, on résout l'équation $f$($x$) = $b$.
Exemple. Soit $f$($x$) = $x$2 − 1. Cherchons les antécédents de 3.
On résout $x$2 − 1 = 3, soit $x$2 = 4, donc $x$ = 2 ou $x$ = −2.
3 a deux antécédents : 2 et −2.
Exemple 2. Avec la même fonction, cherchons les antécédents de −2.
$x$2 − 1 = −2 ⟹ $x$2 = −1. Impossible dans ℝ : −2 n'a pas d'antécédent.
Attention ! Ne pas confondre image et antécédent. L'image de 3 se calcule ($f$(3) = 8). L'antécédent de 3 se cherche en résolvant $f$($x$) = 3.
5Tableau de valeurs
Un tableau de valeurs liste plusieurs valeurs de $x$ et les images correspondantes. C'est utile pour tracer la courbe représentative.
| $x$ | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|
| $f$($x$) = $x$2 − $x$ | 6 | 2 | 0 | 0 | 2 | 6 |
|---|
Astuce. En 2nde, on choisit généralement 6 à 8 valeurs régulièrement espacées, centrées autour de 0 ou du point « intéressant » de la fonction. On peut utiliser la calculatrice pour remplir le tableau.
Attention ! Un tableau de valeurs ne donne qu'une image approximative de la fonction. Il ne remplace pas une étude complète (variations, extremums…).
6Représentation graphique d'une fonction
Définition. La courbe représentative (ou graphe) de $f$ dans un repère (O, $i$, $j$) est l'ensemble des points M($x$ ; $f$($x$)) pour tout $x$ du domaine de définition. Elle est souvent notée Cf.
Pour tracer Cf à la main :
- Construire un tableau de valeurs.
- Placer les points ($x$ ; $f$($x$)) dans le repère.
- Relier les points par une courbe régulière.
Exemple. Pour $f$($x$) = $x$2 − 2$x$, les points (−1 ; 3), (0 ; 0), (1 ; −1), (2 ; 0), (3 ; 3) sont sur Cf. En les reliant, on obtient une parabole.
Astuce. Un point M($a$ ; $b$) est sur Cf si et seulement si $f$($a$) = $b$. Pour vérifier qu'un point est sur la courbe, on substitue ses coordonnées et on vérifie l'égalité.
7Lecture graphique : images et antécédents
À partir de la courbe représentative, on peut lire graphiquement des images et des antécédents :
Lire l'image de a : On part de la valeur $a$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée : c'est $f$($a$).
Lire les antécédents de b : On part de la valeur $b$ sur l'axe des ordonnées, on trace une droite horizontale $y$ = $b$, et on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe : ce sont les antécédents de $b$.
Exemple. Sur un graphique, si la courbe passe par (2 ; 5) et (−3 ; 5), alors :
• $f$(2) = 5 et $f$(−3) = 5.
• 2 et −3 sont tous les deux des antécédents de 5 par $f$.
Attention ! Une lecture graphique donne une valeur approchée. Pour une valeur exacte, il faut utiliser l'expression algébrique de la fonction.
8Sens de variation d'une fonction
Définition. Une fonction $f$ est dite croissante sur un intervalle I si, pour tous réels $a$ et $b$ de I avec $a$ < $b$, on a $f$($a$) ≤ $f$($b$).
Elle est décroissante sur I si, pour tous $a$ < $b$ dans I, $f$($a$) ≥ $f$($b$).
Un tableau de variations résume graphiquement le sens de variation :
Exemple. La fonction $f$($x$) = $x$2 − 2$x$ est décroissante sur ]−∞ ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[. Son minimum est $f$(1) = −1.
Astuce. Sur la courbe, une portion montant de gauche à droite correspond à une fonction croissante ; une portion descendant de gauche à droite correspond à une fonction décroissante.
★À retenir
À retenir :
• Une fonction associe à chaque réel $x$ de son domaine au plus un réel $f$($x$).
• Le domaine de définition Df exclut les dénominateurs nuls et les radicands négatifs.
• Image de $a$ : on calcule $f$($a$) en substituant $x$ = $a$.
• Antécédent de $b$ : on résout $f$($x$) = $b$.
• La courbe représentative Cf est l'ensemble des points ($x$ ; $f$($x$)).
• Lecture graphique : image → axe des abscisses vers la courbe puis ordonnée ; antécédent → axe des ordonnées vers la courbe puis abscisse.
• Croissante : $a$ < $b$ ⟹ $f$($a$) < $f$($b$) ; décroissante : $a$ < $b$ ⟹ $f$($a$) > $f$($b$).