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Généralités sur les fonctions
Notion de fonction, domaine de définition, image et antécédent — programme de 2nde générale
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en seconde sur « Généralités sur les fonctions » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Notion de fonction et vocabulaire, Domaine de définition, Image d'un nombre par une fonction, Antécédent d'un nombre par une fonction. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.
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Notion de fonction et vocabulaire
Une fonction est un procédé qui associe à chaque réel $x$ d'un ensemble de départ au plus un réel noté $f$($x$).
Définition. Soit $f$ une fonction. On dit que $f$ est définie sur un ensemble $D$ si, pour tout réel $x$ appartenant à $D$, $f$($x$) est un réel bien défini. On note : $f$ : $D$ → ℝ, $x$ ↦ $f$($x$).
On utilise souvent les lettres $f$, $g$, $h$ pour nommer les fonctions et $x$ pour la variable (qu'on appelle aussi variable muette). L'ensemble de départ est souvent un intervalle de ℝ.
Exemple. La fonction $f$ définie par $f$($x$) = 2$x$ + 3 associe à chaque réel $x$ le réel 2$x$ + 3. Ainsi, $f$(1) = 2×1 + 3 = 5.
Vocabulaire. $x$ est la variable (ou argument), $f$($x$) est la valeur (ou image). On dit que $f$ est une application de $D$ dans ℝ.
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Domaine de définition
Définition. Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d'une fonction $f$, noté Df, est l'ensemble de tous les réels $x$ pour lesquels $f$($x$) est défini.
Pour déterminer le domaine de définition, on cherche les valeurs exclues :
- On ne peut pas diviser par zéro : si $f$($x$) = 1/($x$ − 3), alors $x$ ≠ 3, donc Df = ℝ ∖ {3}.
- On ne peut pas prendre la racine carrée d'un négatif : si $f$($x$) = √($x$ + 2), alors $x$ + 2 ≥ 0, donc $x$ ≥ −2, Df = [−2 ; +∞[.
- Si aucune restriction n'existe (polynômes), alors Df = ℝ.
Exemple. Pour $g$($x$) = ($x$ + 1)/($x$2 − 4), le dénominateur s'annule quand $x$ = 2 ou $x$ = −2. Donc Dg = ℝ ∖ {−2 ; 2}.
Attention ! Une expression polynomiale (sans fraction ni racine) est toujours définie sur ℝ. Ne pas oublier de factoriser le dénominateur pour trouver toutes les valeurs exclues.
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Image d'un nombre par une fonction
Définition. Si $x$ est un réel du domaine de définition de $f$, alors $f$($x$) est appelé l'image de $x$ par $f$. On dit aussi que $f$ envoie $x$ sur $f$($x$).
Méthode : Pour calculer l'image de $a$ par $f$, on remplace $x$ par $a$ dans l'expression de $f$($x$) et on calcule.
Exemple. Soit $f$($x$) = $x$2 − 3$x$ + 1.
• $f$(2) = 4 − 6 + 1 = −1.
• $f$(−1) = 1 + 3 + 1 = 5.
• $f$(0) = 0 − 0 + 1 = 1.
• $f$(2) = 4 − 6 + 1 = −1.
• $f$(−1) = 1 + 3 + 1 = 5.
• $f$(0) = 0 − 0 + 1 = 1.
Astuce. Quand $x$ est négatif, n'oubliez pas que (−$a$)2 = $a$2 (positif). Mettez toujours le signe négatif entre parenthèses pour éviter les erreurs.
Attention ! $f$($a$ + 1) ≠ $f$($a$) + 1. Il faut substituer l'expression complète ($a$ + 1) à la place de $x$.
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Antécédent d'un nombre par une fonction
Définition. On dit que $a$ est un antécédent de $b$ par $f$ si $f$($a$) = $b$. Un réel peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun.
Méthode : Pour trouver les antécédents de $b$, on résout l'équation $f$($x$) = $b$.
Exemple. Soit $f$($x$) = $x$2 − 1. Cherchons les antécédents de 3.
On résout $x$2 − 1 = 3, soit $x$2 = 4, donc $x$ = 2 ou $x$ = −2.
3 a deux antécédents : 2 et −2.
On résout $x$2 − 1 = 3, soit $x$2 = 4, donc $x$ = 2 ou $x$ = −2.
3 a deux antécédents : 2 et −2.
Exemple 2. Avec la même fonction, cherchons les antécédents de −2.
$x$2 − 1 = −2 ⟹ $x$2 = −1. Impossible dans ℝ : −2 n'a pas d'antécédent.
$x$2 − 1 = −2 ⟹ $x$2 = −1. Impossible dans ℝ : −2 n'a pas d'antécédent.
Attention ! Ne pas confondre image et antécédent. L'image de 3 se calcule ($f$(3) = 8). L'antécédent de 3 se cherche en résolvant $f$($x$) = 3.
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Tableau de valeurs
Un tableau de valeurs liste plusieurs valeurs de $x$ et les images correspondantes. C'est utile pour tracer la courbe représentative.
| $x$ | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f$($x$) = $x$2 − $x$ | 6 | 2 | 0 | 0 | 2 | 6 |
Astuce. En 2nde, on choisit généralement 6 à 8 valeurs régulièrement espacées, centrées autour de 0 ou du point « intéressant » de la fonction. On peut utiliser la calculatrice pour remplir le tableau.
Attention ! Un tableau de valeurs ne donne qu'une image approximative de la fonction. Il ne remplace pas une étude complète (variations, extremums…).
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Représentation graphique d'une fonction
Définition. La courbe représentative (ou graphe) de $f$ dans un repère (O, $i$, $j$) est l'ensemble des points M($x$ ; $f$($x$)) pour tout $x$ du domaine de définition. Elle est souvent notée Cf.
Pour tracer Cf à la main :
- Construire un tableau de valeurs.
- Placer les points ($x$ ; $f$($x$)) dans le repère.
- Relier les points par une courbe régulière.
Exemple. Pour $f$($x$) = $x$2 − 2$x$, les points (−1 ; 3), (0 ; 0), (1 ; −1), (2 ; 0), (3 ; 3) sont sur Cf. En les reliant, on obtient une parabole.
Astuce. Un point M($a$ ; $b$) est sur Cf si et seulement si $f$($a$) = $b$. Pour vérifier qu'un point est sur la courbe, on substitue ses coordonnées et on vérifie l'égalité.
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Lecture graphique : images et antécédents
À partir de la courbe représentative, on peut lire graphiquement des images et des antécédents :
Lire l'image de a : On part de la valeur $a$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée : c'est $f$($a$).
Lire les antécédents de b : On part de la valeur $b$ sur l'axe des ordonnées, on trace une droite horizontale $y$ = $b$, et on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe : ce sont les antécédents de $b$.
Exemple. Sur un graphique, si la courbe passe par (2 ; 5) et (−3 ; 5), alors :
• $f$(2) = 5 et $f$(−3) = 5.
• 2 et −3 sont tous les deux des antécédents de 5 par $f$.
• $f$(2) = 5 et $f$(−3) = 5.
• 2 et −3 sont tous les deux des antécédents de 5 par $f$.
Attention ! Une lecture graphique donne une valeur approchée. Pour une valeur exacte, il faut utiliser l'expression algébrique de la fonction.
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Sens de variation d'une fonction
Définition. Une fonction $f$ est dite croissante sur un intervalle I si, pour tous réels $a$ et $b$ de I avec $a$ < $b$, on a $f$($a$) ≤ $f$($b$).
Elle est décroissante sur I si, pour tous $a$ < $b$ dans I, $f$($a$) ≥ $f$($b$).
Elle est décroissante sur I si, pour tous $a$ < $b$ dans I, $f$($a$) ≥ $f$($b$).
Un tableau de variations résume graphiquement le sens de variation :
| $x$ | −∞ | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f$($x$) | ↘ | −1 | ↗ |
Exemple. La fonction $f$($x$) = $x$2 − 2$x$ est décroissante sur ]−∞ ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[. Son minimum est $f$(1) = −1.
Astuce. Sur la courbe, une portion montant de gauche à droite correspond à une fonction croissante ; une portion descendant de gauche à droite correspond à une fonction décroissante.
À retenir
- Une fonction associe à chaque réel $x$ de son domaine au plus un réel $f$($x$).
- Le domaine de définition Df exclut les dénominateurs nuls et les radicands négatifs.
- Image de $a$ : on calcule $f$($a$) en substituant $x$ = $a$.
- Antécédent de $b$ : on résout $f$($x$) = $b$.
- La courbe représentative Cf est l'ensemble des points ($x$ ; $f$($x$)).
- Lecture graphique : image → axe des abscisses vers la courbe puis ordonnée ; antécédent → axe des ordonnées vers la courbe puis abscisse.
- Croissante : $a$ < $b$ ⟹ $f$($a$) < $f$($b$) ; décroissante : $a$ < $b$ ⟹ $f$($a$) > $f$($b$).
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