Généralités sur les fonctions

Fonction. Définir une fonction $f$ sur un ensemble $D$ (un intervalle ou une réunion d’intervalles de $ℝ$), c’est associer à chaque nombre $x$ de $D$ un unique nombre, noté $f(x)$. On écrit $f:x\mapsto f(x)$, ce qui se lit « $f$ qui à $x$ associe $f(x)$ ». Une fonction traduit la dépendance d’une grandeur par rapport à une autre.

Image et antécédent. Pour $x$ dans $D$, le nombre $f(x)$ est l’image de $x$ par $f$ : elle est unique. Si $f(x)=y$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$ : un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Quatre façons de donner une fonction : une formule, un tableau de valeurs, une courbe, un programme de calcul (ou une fonction Python). Toutes respectent la même règle : un seul résultat pour chaque valeur de départ. Une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (un nombre d’objets, de jours…) se note souvent $u(n)$.

Définition. L’ensemble de définition de $f$, noté $D_f$, est l’ensemble des réels $x$ pour lesquels on peut calculer $f(x)$.

Deux interdits.
• Un dénominateur ne peut pas être nul : les valeurs qui l’annulent sont des valeurs interdites.
• Une expression placée sous une racine carrée doit être positive ou nulle.
Une expression sans quotient ni racine (comme $x^3-5x+1$) est définie sur $ℝ$.

Écriture. On réunit les conditions et on écrit $D_f$ avec des intervalles. « $ℝ$ privé de $5$ » s’écrit $ℝ⧵\{5\}$, ou $]-\infty ;5[\cup ]5;+\infty [$.

La situation compte. Si $x$ est la longueur, en cm, du côté d’un carré découpé dans une feuille carrée de $20$ cm de côté, alors $x\in ]0;20]$, même si la formule a un sens pour d’autres nombres.

Courbe représentative. Dans un repère, la courbe ${𝒞}_f$ de $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x;f(x))$, où $x$ parcourt $D_f$. C’est la courbe d’équation $y=f(x)$ : un point $M(a;b)$ est sur ${𝒞}_f$ si et seulement si $a\in D_f$ et $b=f(a)$.

Calculer des coordonnées. Le point de ${𝒞}_f$ d’abscisse $a$ a pour ordonnée $f(a)$. ${𝒞}_f$ coupe l’axe des ordonnées au point $(0;f(0))$ si $0\in D_f$, et l’axe des abscisses aux points d’abscisses solutions de $f(x)=0$.

Lire sur la courbe. Image de $a$ : je me place en $x=a$, je rejoins la courbe, je lis l’ordonnée. Antécédents de $b$ : je trace la droite horizontale $y=b$ et je lis les abscisses des points d’intersection avec la courbe.

Test de la droite verticale. Une courbe est celle d’une fonction si toute droite verticale la coupe en au plus un point : c’est l’unicité de l’image. Un cercle n’est donc jamais la courbe d’une fonction.

$f(x)=k$. Les solutions sont les abscisses des points d’intersection de ${𝒞}_f$ avec la droite horizontale d’équation $y=k$ (ce sont les antécédents de $k$).

$f(x)<k$. Les solutions sont les abscisses des points de ${𝒞}_f$ situés strictement au-dessous de la droite $y=k$. Pour $f(x)⩽k$ : au-dessous ou sur la droite. Pour $f(x)>k$ et $f(x)⩾k$ : au-dessus.

Les bornes. Avec $<$ ou $>$, les abscisses des points d’intersection sont exclues ; avec $⩽$ ou $⩾$, elles sont incluses. Une borne de $D_f$ est incluse si $f$ y est définie et vérifie l’inégalité.

Choisir sa méthode. Graphique (rapide, mais approchée), algébrique (exacte), ou logicielle (calculatrice, tableur, logiciel de géométrie).

$f(x)=g(x)$. Les solutions sont les abscisses des points d’intersection des courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$.

$f(x)<g(x)$. Les solutions sont les abscisses des points où ${𝒞}_f$ est strictement au-dessous de ${𝒞}_g$ ; pour $f(x)>g(x)$, où ${𝒞}_f$ est strictement au-dessus. Les bornes se traitent comme pour $f(x)<k$.

Lien. $f(x)=k$ est le cas particulier où ${𝒞}_g$ est la droite horizontale $y=k$. Résoudre $f(x)=g(x)$ revient aussi à résoudre $f(x)-g(x)=0$ : c’est la voie du calcul, qui confirme la lecture. Un logiciel ou une calculatrice donne les points d’intersection (valeurs souvent approchées).