Fonctions de référence : carré, inverse et valeur absolue

On note $f$ la fonction carré et $𝒫$ sa courbe. Calcule. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(-13)=$
   $f(-13)=(-13)\times (-13)=169$ : le carré d’un nombre négatif est positif.
2. $f(0,3)=$
   $f(0,3)=0,3\times 0,3=0,09$. Entre $0$ et $1$, le carré est plus petit que le nombre.
3. $f(-{\displaystyle \frac{4}{3}})=$
   ${(-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2={\displaystyle \frac{(-4{)}^2}{3^2}}={\displaystyle \frac{16}{9}}$.
4. Le point $(3,7;13,69)$ est sur $𝒫$. Sans calcul, le point de $𝒫$ d’abscisse $-3,7$ a pour ordonnée
   $𝒫$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, car $(-x{)}^2=x^2$ : les points d’abscisses $3,7$ et $-3,7$ ont la même ordonnée, $13,69$.

Compare sans calculer : complète par $<$ ou $>$, puis justifie avec le sens de variation de la fonction carré.

1. $7,{12}^2$ $7,{21}^2$
   $0⩽7,12<7,21$ et la fonction carré est croissante sur $[0;+\infty [$ : l’ordre est conservé, $7,{12}^2<7,{21}^2$.
2. $(-0,37{)}^2$ $(-0,73{)}^2$
   $-0,73<-0,37⩽0$ et la fonction carré est décroissante sur $]-\infty ;0]$ : l’ordre est inversé, $(-0,73{)}^2>(-0,37{)}^2$, soit $(-0,37{)}^2<(-0,73{)}^2$.
3. $(-5,5{)}^2$ $5,4^2$
   Signes contraires : on ne peut pas utiliser les variations directement. Or $(-5,5{)}^2=5,5^2$ et $0⩽5,4<5,5$, donc par croissance sur $[0;+\infty [$, $5,4^2<5,5^2$ : $(-5,5{)}^2>5,4^2$.
4. $(-6,01{)}^2$ $(-6,1{)}^2$
   $-6,1<-6,01⩽0$ : par décroissance sur $]-\infty ;0]$, $(-6,1{)}^2>(-6,01{)}^2$, soit $(-6,01{)}^2<(-6,1{)}^2$.

Donne le meilleur encadrement de $x^2$ (une borne par case).

1. $0,6⩽x⩽2,1$ donne $⩽x^2⩽$
   Bornes positives, fonction carré croissante sur $[0;+\infty [$ : $0,6^2⩽x^2⩽2,1^2$, soit $0,36⩽x^2⩽4,41$.
2. $-3,5⩽x⩽-1,2$ donne $⩽x^2⩽$
   Bornes négatives, fonction carré décroissante sur $]-\infty ;0]$ : l’ordre s’inverse, $(-1,2{)}^2⩽x^2⩽(-3,5{)}^2$, soit $1,44⩽x^2⩽12,25$.
3. Justifier : $-0,8⩽x⩽2,4$ donne $⩽x^2⩽$
   Rédaction attendue. L’intervalle $[-0,8;2,4]$ contient $0$ : on le coupe en $0$. Si $-0,8⩽x⩽0$, la fonction carré est décroissante sur $]-\infty ;0]$, donc $0^2⩽x^2⩽(-0,8{)}^2$, soit $0⩽x^2⩽0,64$. Si $0⩽x⩽2,4$, elle est croissante sur $[0;+\infty [$, donc $0⩽x^2⩽5,76$. En réunissant les deux cas : $0⩽x^2⩽5,76$, les deux bornes étant atteintes en $x=0$ et $x=2,4$.

Démonstration des variations de la fonction carré : on rappelle que $b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ pour tous réels $a$ et $b$.

1. Avec $a=2,5$ et $b=2,6$, la factorisation donne $b^2-a^2=(b-a)(b+a)=$
   $b-a=0,1$ et $b+a=5,1$, donc $b^2-a^2=0,1\times 5,1=0,51$. Contrôle : $2,6^2-2,5^2=6,76-6,25=0,51$.
2. Démontrer que si $a<b⩽0$, alors $a^2>b^2$. Contrôle avec $a=-3$ et $b=-1$ : $a^2-b^2=$
   Rédaction attendue. Soient $a<b⩽0$. On a $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Comme $a<b$, $a-b<0$ ; comme $a<0$ et $b⩽0$, $a+b<0$. Le produit de deux nombres strictement négatifs est strictement positif : $a^2-b^2>0$, soit $a^2>b^2$. La fonction carré inverse l’ordre sur $]-\infty ;0]$ : elle y est strictement décroissante. Contrôle : $(-3{)}^2-(-1{)}^2=9-1=8>0$.
3. Sur l’intervalle $[-4;3]$, la fonction carré a pour minimum et pour maximum
   Décroissante sur $[-4;0]$ puis croissante sur $[0;3]$ : le minimum est $0^2=0$, atteint en $0$. Le maximum est le plus grand de $(-4{)}^2=16$ et $3^2=9$ : c’est $16$, atteint en $-4$.

On note $g$ la fonction inverse. Calcule. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $g(-0,4)=$
   $g(-0,4)={\displaystyle \frac{1}{-0,4}}=-{\displaystyle \frac{10}{4}}=-2,5$.
2. $g(8)=$
   $g(8)={\displaystyle \frac{1}{8}}=0,125$.
3. $g\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)=$
   $1÷\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)={\displaystyle \frac{6}{5}}=1,2$ : l’inverse d’une fraction s’obtient en échangeant numérateur et dénominateur.
4. L’antécédent de $-0,05$ par $g$ est
   On résout ${\displaystyle \frac{1}{x}}=-0,05$ avec $x\ne 0$ : $x={\displaystyle \frac{1}{-0,05}}=-20$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{1}{-20}}=-0,05$.
5. Le point $(-{\displaystyle \frac{3}{8}};-{\displaystyle \frac{8}{3}})$ est sur la courbe de $g$. Sans calcul, le point de cette courbe d’abscisse ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ a pour ordonnée
   La courbe de $g$ est symétrique par rapport à l’origine, car ${\displaystyle \frac{1}{-x}}=-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ : en changeant l’abscisse en son opposé, l’ordonnée change aussi de signe, d’où ${\displaystyle \frac{8}{3}}$.
6. Sur un graphique, le point $D(0,3;3,3)$ semble être sur la courbe de $g$. L’ordonnée du point de la courbe d’abscisse $0,3$ s’écrit en fraction
   $g(0,3)={\displaystyle \frac{1}{0,3}}={\displaystyle \frac{10}{3}}\approx 3,33$. Or $3,3={\displaystyle \frac{33}{10}}\ne {\displaystyle \frac{10}{3}}$ : $D$ est très proche de la courbe, mais pas dessus. Une lecture graphique ne suffit pas pour le prouver, il faut calculer.

Compare sans calculer : complète par $<$ ou $>$, puis justifie.

1. ${\displaystyle \frac{1}{2,6}}$ ${\displaystyle \frac{1}{6,2}}$
   $0<2,6<6,2$ et la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$ : ${\displaystyle \frac{1}{2,6}}>{\displaystyle \frac{1}{6,2}}$.
2. ${\displaystyle \frac{1}{-0,8}}$ ${\displaystyle \frac{1}{-0,08}}$
   $-0,8<-0,08<0$ et la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ;0[$ : ${\displaystyle \frac{1}{-0,8}}>{\displaystyle \frac{1}{-0,08}}$ (en effet $-1,25>-12,5$).
3. ${\displaystyle \frac{1}{-3}}$ ${\displaystyle \frac{1}{0,3}}$
   Signes contraires : pas de variation à utiliser. ${\displaystyle \frac{1}{-3}}<0$ et ${\displaystyle \frac{1}{0,3}}>0$ (l’inverse a le signe du nombre), donc ${\displaystyle \frac{1}{-3}}<{\displaystyle \frac{1}{0,3}}$.
4. ${\displaystyle \frac{1}{9,9}}$ ${\displaystyle \frac{1}{0,99}}$
   $0<0,99<9,9$ : par décroissance sur $]0;+\infty [$, ${\displaystyle \frac{1}{0,99}}>{\displaystyle \frac{1}{9,9}}$.

Donne le meilleur encadrement de ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ (une borne par case).

1. $0,5⩽x⩽12,5$ donne $⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽$
   Bornes strictement positives ; la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$ : ${\displaystyle \frac{1}{12,5}}⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽{\displaystyle \frac{1}{0,5}}$, soit $0,08⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽2$.
2. $-10⩽x⩽-0,4$ donne $⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽$
   Bornes strictement négatives ; décroissance sur $]-\infty ;0[$ : ${\displaystyle \frac{1}{-0,4}}⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽{\displaystyle \frac{1}{-10}}$, soit $-2,5⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽-0,1$.
3. Justifier : $x⩾20$ donne $<{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽$
   Rédaction attendue. Comme $x⩾20>0$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ a le signe de $x$ : ${\displaystyle \frac{1}{x}}>0$. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$ et $20⩽x$, donc ${\displaystyle \frac{1}{x}}⩽{\displaystyle \frac{1}{20}}=0,05$. Ainsi $0<{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽0,05$ ; la borne $0$ n’est jamais atteinte (un inverse n’est jamais nul).

Démonstration des variations de la fonction inverse. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Démontrer que, pour $a$ et $b$ non nuls, ${\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{b-a}{ab}}$. Contrôle avec $a=2$ et $b=5$ : ${\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}=$
   Rédaction attendue. Le dénominateur commun est $ab\ne 0$ : ${\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{b}{ab}}-{\displaystyle \frac{a}{ab}}={\displaystyle \frac{b-a}{ab}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{5-2}{2\times 5}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$.
2. Démontrer que la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ;0[$. Contrôle avec $a=-4$ et $b=-1$ : ${\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}=$
   Rédaction attendue. Soient $a<b<0$. Alors $b-a>0$ et $ab>0$ (produit de deux négatifs), donc ${\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{b-a}{ab}}>0$, soit ${\displaystyle \frac{1}{a}}>{\displaystyle \frac{1}{b}}$. L’ordre est inversé : la fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty ;0[$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{1}{-4}}-{\displaystyle \frac{1}{-1}}=-0,25+1=0,75>0$.
3. Un élève écrit : « $-6<4$, donc ${\displaystyle \frac{1}{-6}}>{\displaystyle \frac{1}{4}}$ ». Calculer ${\displaystyle \frac{1}{-6}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}=$ puis expliquer l’erreur.
   ${\displaystyle \frac{1}{-6}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{4-(-6)}{(-6)\times 4}}={\displaystyle \frac{10}{-24}}=-{\displaystyle \frac{5}{12}}<0$, donc ${\displaystyle \frac{1}{-6}}<{\displaystyle \frac{1}{4}}$. Ici $ab<0$ : $-6$ et $4$ ne sont pas de même signe, la décroissance ne s’applique pas.

Calcule (sans calculatrice).

1. $|-17|=$
   $-17<0$, donc $|-17|=-(-17)=17$ : c’est la distance entre $-17$ et $0$.
2. $|4,5-11|=$
   $4,5-11=-6,5<0$, donc $|4,5-11|=6,5$.
3. $|-2|\times |3|-|-9|=$
   $|-2|=2$, $|3|=3$ et $|-9|=9$ : $2\times 3-9=-3$. Une expression qui contient des valeurs absolues peut être négative.
4. $|\sqrt{7}-3|=$ $-\sqrt{7}$
   $7<9$, donc $\sqrt{7}<\sqrt{9}=3$, $\sqrt{7}-3<0$ et $|\sqrt{7}-3|=-(\sqrt{7}-3)=3-\sqrt{7}$.

Variations de la fonction valeur absolue. Complète par un nombre, ou par $<$ ou $>$.

1. Sur l’intervalle $[-6;2]$, la fonction valeur absolue a pour minimum et pour maximum
   Elle est décroissante sur $[-6;0]$, puis croissante sur $[0;2]$ : le minimum est $|0|=0$. Le maximum est le plus grand de $|-6|=6$ et $|2|=2$ : c’est $6$.
2. $|-4,25|$ $|-4,52|$
   $-4,52<-4,25⩽0$ et la fonction valeur absolue est décroissante sur $]-\infty ;0]$ : $|-4,52|>|-4,25|$.
3. $|-7|$ $|5|$
   Signes contraires : on compare les distances à $0$. $|-7|=7$ et $|5|=5$, donc $|-7|>|5|$, alors que $-7<5$.

Soit $k(x)=|x|-x$ pour tout réel $x$. Pour une expression, écris par exemple 3x ou −x.

1. Justifier : pour $x⩾0$, $k(x)=$
   Rédaction attendue. Si $x⩾0$, alors $|x|=x$ par définition de la valeur absolue, donc $k(x)=x-x=0$. Sur $[0;+\infty [$, la courbe de $k$ est confondue avec l’axe des abscisses.
2. Pour $x<0$, $k(x)=$
   Si $x<0$, $|x|=-x$, donc $k(x)=-x-x=-2x$. Sur $]-\infty ;0[$, la courbe de $k$ est une demi-droite de coefficient directeur $-2$.
3. $k(-3,5)=$
   $-3,5<0$, donc $k(-3,5)=-2\times (-3,5)=7$. Contrôle : $|-3,5|+3,5=7$.

Comparer $x^2$ et $|x|$. On admet que, pour tout réel $x$, $x^2=|x{|}^2$.

1. Pour $x=-0,6$ : $|x|=$ et $x^2=$
   $|-0,6|=0,6$ et $(-0,6{)}^2=0,36$ : ici $x^2<|x|$.
2. Démontrer que $x^2-|x|=|x|(|x|-1)$, puis que $x^2⩽|x|$ équivaut à $x\in [a;b]$, avec $a=$ et $b=$
   Rédaction attendue. En développant : $|x|(|x|-1)=|x{|}^2-|x|=x^2-|x|$. Si $x=0$, $x^2=|x|=0$ : l’inégalité est vraie. Si $x\ne 0$, $|x|>0$, donc $x^2-|x|$ a le signe de $|x|-1$ : $x^2⩽|x|⟺|x|⩽1⟺-1⩽x⩽1$. Finalement $S=[-1;1]$ : $a=-1$ et $b=1$.
3. Pour $x=2,5$ : $x^2-|x|=$
   $2,5\notin [-1;1]$, donc $x^2>|x|$ : $6,25-2,5=3,75>0$.

Sans calculatrice, donne la valeur décimale demandée.

1. Le plus petit des nombres $0,95$ ; $0,{95}^2$ ; ${\displaystyle \frac{1}{0,95}}$ vaut
   $0<0,95<1$, donc $0,{95}^2<0,95<{\displaystyle \frac{1}{0,95}}$ : le plus petit est $0,{95}^2=0,9025$.
2. Le plus grand des nombres $1,15$ ; $1,{15}^2$ ; ${\displaystyle \frac{1}{1,15}}$ vaut
   $1,15>1$, donc ${\displaystyle \frac{1}{1,15}}<1,15<1,{15}^2$ : le plus grand est $1,{15}^2=1,3225$.
3. Le plus grand des nombres $0,02$ ; $0,{02}^2$ ; ${\displaystyle \frac{1}{0,02}}$ vaut
   $0<0,02<1$ : l’inverse est le plus grand, ${\displaystyle \frac{1}{0,02}}={\displaystyle \frac{100}{2}}=50$.
4. Le plus petit des nombres $8$ ; $8^2$ ; ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ s’écrit sous forme de fraction
   $8>1$, donc ${\displaystyle \frac{1}{8}}<8<8^2$ : le plus petit est ${\displaystyle \frac{1}{8}}$.

Complète par $<$, $>$ ou $=$ en comparant $x^2$ et $x$.

1. Pour $x=0,99$ : $x^2$ $x$
   $0<0,99<1$ : $x^2-x=x(x-1)<0$, donc $x^2<x$.
2. Pour $x=1$ : $x^2$ $x$
   $1^2=1$ : les courbes $y=x$ et $y=x^2$ se coupent au point $(1;1)$.
3. Pour $x=-0,5$ : $x^2$ $x$
   $x$ est négatif : $x^2⩾0>x$. Pour un nombre négatif, le carré est toujours plus grand.
4. Pour $x=4,2$ : $x^2$ $x$
   $4,2>1$ : $x>0$ et $x-1>0$, donc $x^2-x>0$ et $x^2>x$.

Position de la droite $y=x$ et de l’hyperbole $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]0;+\infty [$.

1. Démontrer que, pour $x>0$, $x-{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)}{x}}$. Contrôle pour $x=2$ : $x-{\displaystyle \frac{1}{x}}=$
   Rédaction attendue. Pour $x>0$ : ${\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)}{x}}={\displaystyle \frac{x^2-1}{x}}={\displaystyle \frac{x^2}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}=x-{\displaystyle \frac{1}{x}}$. Contrôle : $2-{\displaystyle \frac{1}{2}}=1,5$ et ${\displaystyle \frac{1\times 3}{2}}=1,5$.
2. En déduire, pour $0<x<1$ : $x$ ${\displaystyle \frac{1}{x}}$
   Pour $0<x<1$ : $x-1<0$, $x+1>0$ et $x>0$, donc le quotient est négatif : $x-{\displaystyle \frac{1}{x}}<0$, soit $x<{\displaystyle \frac{1}{x}}$. La droite est sous l’hyperbole.
3. Sur $]0;+\infty [$, la droite $y=x$ et l’hyperbole $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$ se coupent au point d’abscisse
   $x-{\displaystyle \frac{1}{x}}=0⟺(x-1)(x+1)=0$ ; avec $x>0$, $x+1\ne 0$, donc $x=1$ : point $(1;1)$.

Comparer par le signe d’une différence factorisée. Écris les bornes une par une.

1. Démontrer que, pour $x⩾0$, $x^2⩽x$ équivaut à $x\in [a;b]$, avec $a=$ et $b=$
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $x^2-x=x(x-1)$. Soit $x⩾0$. Si $x=0$ ou $x=1$, la différence est nulle. Si $0<x<1$, $x>0$ et $x-1<0$ : $x(x-1)<0$. Si $x>1$, les deux facteurs sont strictement positifs : $x(x-1)>0$. Donc, pour $x⩾0$, $x^2⩽x⟺0⩽x⩽1$ : $a=0$ et $b=1$. Sur $[0;1]$, la parabole est sous la droite $y=x$ (ou la touche en $O$ et en $(1;1)$).
2. Pour $x⩾0$, $x^2-5x=x(x-5)$. Donc $x^2<5x$ exactement pour $x\in ]c;d[$, avec $c=$ et $d=$
   Pour $x>0$, $x^2-5x$ a le signe de $x-5$ : il est strictement négatif pour $x<5$. En $x=0$, la différence est nulle (pas d’inégalité stricte). Donc $x^2<5x⟺0<x<5$.
3. Sur $]0;+\infty [$, la parabole $y=x^2$ est strictement au-dessus de l’hyperbole $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$ exactement quand $x>$
   Si $x>1$ : ${\displaystyle \frac{1}{x}}<x<x^2$, donc la parabole est au-dessus. Si $0<x<1$ : $x^2<x<{\displaystyle \frac{1}{x}}$, elle est au-dessous. En $x=1$, les deux valent $1$. Réponse : $x>1$.

Résous les équations. Quand il y a deux solutions, écris la plus petite d’abord.

1. $x^2=0,49$ : $x=$ ou $x=$
   $0,49>0$ et $\sqrt{0,49}=0,7$ : deux solutions, $-0,7$ et $0,7$.
2. $|x|=2,3$ : $x=$ ou $x=$
   $2,3>0$ : les deux nombres à la distance $2,3$ de $0$ sont $-2,3$ et $2,3$.
3. ${\displaystyle \frac{1}{x}}=-1,6$ : $x=$
   $-1,6\ne 0$ : l’unique solution est $x={\displaystyle \frac{1}{-1,6}}=-{\displaystyle \frac{10}{16}}=-0,625$.
4. $x^2=-0,49$ : nombre de solutions
   Un carré est toujours positif ou nul : il ne peut pas valoir $-0,49$. Aucune solution, $S=\varnothing$.
5. ${\displaystyle \frac{1}{x}}=0$ : nombre de solutions
   Le numérateur $1$ n’est jamais nul, donc ${\displaystyle \frac{1}{x}}\ne 0$ pour tout $x\ne 0$ : $0$ n’a pas d’antécédent par la fonction inverse, $S=\varnothing$.

Complète l’ensemble des solutions (une borne par case).

1. $x^2<0,0169$ : $S=]$ $;$ $[$
   $0,0169>0$ et $\sqrt{0,0169}=0,13$ : $S=]-0,13;0,13[$.
2. $|x|⩽6,5$ : $S=[$ $;$ $]$
   Les nombres à une distance de $0$ inférieure ou égale à $6,5$ : $S=[-6,5;6,5]$.
3. $x^2⩾0,01$ : $S=]-\infty ;$ $]\cup [$ $;+\infty [$
   $\sqrt{0,01}=0,1$ ; inégalité large, les bornes sont solutions : $S=]-\infty ;-0,1]\cup [0,1;+\infty [$.
4. $|x|>0,3$ : $S=]-\infty ;$ $[\cup ]$ $;+\infty [$
   Les nombres à une distance de $0$ strictement supérieure à $0,3$ : $S=]-\infty ;-0,3[\cup ]0,3;+\infty [$.

Inéquations avec l’inverse (une borne par case). Une fraction s’écrit avec « / ».

1. ${\displaystyle \frac{1}{x}}>0,8$ : $S=]0;$ $[$
   Si $x<0$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}<0$ : aucune solution. Si $x>0$ : $0,8={\displaystyle \frac{1}{1,25}}$, et par décroissance sur $]0;+\infty [$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}>{\displaystyle \frac{1}{1,25}}⟺x<1,25$.
2. ${\displaystyle \frac{1}{x}}⩽-4$ : $S=[$ $;0[$
   Si $x>0$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}>0$ : aucune solution. Si $x<0$ : $-4={\displaystyle \frac{1}{-0,25}}$, et par décroissance sur $]-\infty ;0[$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}⩽{\displaystyle \frac{1}{-0,25}}⟺x⩾-0,25$.
3. Justifier : ${\displaystyle \frac{1}{x}}<0,1$ a pour ensemble de solutions $]-\infty ;0[\cup ]m;+\infty [$ avec $m=$
   Rédaction attendue. On sépare deux cas. Si $x<0$ : ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ a le signe de $x$, donc ${\displaystyle \frac{1}{x}}<0<0,1$ : tout $x$ négatif est solution. Si $x>0$ : $0,1={\displaystyle \frac{1}{10}}$ ; la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$, donc ${\displaystyle \frac{1}{x}}<{\displaystyle \frac{1}{10}}⟺x>10$. En réunissant : $S=]-\infty ;0[\cup ]10;+\infty [$, et $m=10$.

Isole d’abord $x^2$, $|x|$ ou ${\displaystyle \frac{1}{x}}$, puis résous (une borne par case).

1. $2x^2-7⩽43$ : $S=[$ $;$ $]$
   $2x^2⩽50⟺x^2⩽25$. Comme $25>0$ et $\sqrt{25}=5$ : $S=[-5;5]$.
2. $5-|x|>1,5$ : $S=]$ $;$ $[$
   $-|x|>-3,5⟺|x|<3,5$ (on multiplie par $-1$, le sens change) : $S=]-3,5;3,5[$.
3. ${\displaystyle \frac{3}{x}}<12$ : $S=]-\infty ;0[\cup ]$ $;+\infty [$
   On divise par $3>0$ : ${\displaystyle \frac{1}{x}}<4$. Si $x<0$ : toujours vrai. Si $x>0$ : $4={\displaystyle \frac{1}{0,25}}$, donc $x>0,25$ par décroissance. $S=]-\infty ;0[\cup ]0,25;+\infty [$.
4. $x^2+4<3$ : nombre de solutions
   $x^2<-1$ : impossible, car un carré est positif ou nul. $S=\varnothing$.