Fonctions affines

Fonction affine et linéaire, coefficient directeur et ordonnée à l'origine, représentation graphique, sens de variation, signe de ax + b, modélisation de situations à variation constante

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Fonctions affines » en seconde permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de seconde et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Coefficient directeur et ordonnée à l'origine, Représentation graphique d'une fonction affine, Sens de variation d'une fonction affine. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser mathématiques en seconde.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Reconnaître une fonction affine

Facile

Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur $ℝ$ (sauf mention contraire), dire si elle est affine. Si oui, donner $a$ et $b$ et préciser si elle est linéaire ou constante.

a) $f_{1} (x) = 6 - \frac{x}{2}$
b) $f_{2} (x) = \frac{3}{x} + 1$ , définie pour $x \neq 0$
c) $f_{3} (x) = (x - 4)^{2} - x^{2}$
d) $f_{4} (x) = \sqrt{2} x$
e) $f_{5} (x) = - 9$

a) $f_{1} (x) = 6 - \frac{x}{2} = - \frac{1}{2} x + 6$ : c'est la forme $a x + b$ avec $a = - \frac{1}{2}$ et $b = 6$ . $f_{1}$ est affine, ni linéaire ( $b \neq 0$ ) ni constante ( $a \neq 0$ ).

b) $f_{2} (1) = 4$ , $f_{2} (2) = 2, 5$ et $f_{2} (3) = 2$ . Les accroissements $\frac{2, 5 - 4}{2 - 1} = - 1, 5$ et $\frac{2 - 2, 5}{3 - 2} = - 0, 5$ sont différents, alors qu'ils seraient égaux pour une fonction affine. $f_{2}$ n'est pas affine (de plus, elle n'est pas définie en 0).

c) On développe : $(x - 4)^{2} - x^{2} = x^{2} - 8 x + 16 - x^{2} = - 8 x + 16$ . Donc $f_{3}$ est affine, $a = - 8$ , $b = 16$ , malgré l'apparence d'un carré.

d) $f_{4} (x) = \sqrt{2} x$ est de la forme $a x$ : $f_{4}$ est linéaire, avec $a = \sqrt{2}$ et $b = 0$ .

e) $f_{5} (x) = 0 \times x - 9$ : $f_{5}$ est constante, avec $a = 0$ et $b = - 9$ .

Exercice 2 — Images, antécédents, appartenance

Facile

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = 5 x - 8$ .

a) Calculer $f (0)$ , $f (- 3)$ et $f (\frac{2}{5})$ .
b) Déterminer l'antécédent de 17 par $f$ .
c) Déterminer l'antécédent de 0 par $f$ .
d) Le point $A (- 1, 2; - 14)$ appartient-il à la courbe représentative de $f$ ?

a) $f (0) = 5 \times 0 - 8 = - 8$ (c'est l'ordonnée à l'origine). $f (- 3) = 5 \times (- 3) - 8 = - 15 - 8 = - 23$ . $f (\frac{2}{5}) = 5 \times \frac{2}{5} - 8 = 2 - 8 = - 6$ .

b) On résout $f (x) = 17$ : $5 x - 8 = 17 ⟺ 5 x = 25 ⟺ x = 5$ . L'antécédent de 17 est 5.

c) $5 x - 8 = 0 ⟺ 5 x = 8 ⟺ x = \frac{8}{5} = 1, 6$ . L'antécédent de 0 est 1,6.

d) $f (- 1, 2) = 5 \times (- 1, 2) - 8 = - 6 - 8 = - 14$ , qui est bien l'ordonnée de $A$ . Le point $A$ appartient à la courbe de $f$ .

Exercice 3 — Sens de variation et comparaison

Facile

Donner, en justifiant, le sens de variation sur $ℝ$ de chacune des fonctions suivantes.

a) $g (x) = 0, 7 x - 12$
b) $h (x) = 13 - 2, 5 x$
c) $k (x) = (1 - \sqrt{3}) x + 4$
d) $m (x) = - (9 - x)$
e) Sans calculer, comparer $h (- 7, 3)$ et $h (- 7, 1)$ .

a) $g$ est affine de coefficient directeur $a = 0, 7 > 0$ : $g$ est strictement croissante sur $ℝ$ .

b) $h (x) = - 2, 5 x + 13$ : $a = - 2, 5 < 0$ , donc $h$ est strictement décroissante sur $ℝ$ . (Le 13 écrit en premier est l'ordonnée à l'origine.)

c) $\sqrt{3} > 1$ car $3 > 1$ , donc $a = 1 - \sqrt{3} < 0$ : $k$ est strictement décroissante sur $ℝ$ .

d) On développe : $m (x) = - 9 + x = x - 9$ , donc $a = 1 > 0$ : $m$ est strictement croissante sur $ℝ$ , malgré le signe « − » devant la parenthèse.

e) $h$ est strictement décroissante, elle inverse l'ordre. Or $- 7, 3 < - 7, 1$ , donc $h (- 7, 3) > h (- 7, 1)$ .

Exercice 4 — Retrouver l'expression d'une fonction affine

Moyen

$f$ est une fonction affine telle que $f (- 2) = 9$ et $f (4) = - 6$ .

a) Calculer le coefficient directeur de $f$ .
b) En déduire l'expression de $f (x)$ .
c) Calculer $f (10)$ .
d) Résoudre l'équation $f (x) = 1, 5$ .

a) Pour une fonction affine, $a = \frac{f (4) - f (- 2)}{4 - (- 2)} = \frac{- 6 - 9}{6} = \frac{- 15}{6} = - 2, 5$ .

b) $f (x) = - 2, 5 x + b$ et $f (- 2) = 9$ , donc $- 2, 5 \times (- 2) + b = 9$ , soit $5 + b = 9$ , d'où $b = 4$ . $f (x) = - 2, 5 x + 4$ .
Vérification : $f (4) = - 10 + 4 = - 6$ . ✓

c) $f (10) = - 2, 5 \times 10 + 4 = - 25 + 4 = - 21$ .

d) $- 2, 5 x + 4 = 1, 5 ⟺ - 2, 5 x = - 2, 5 ⟺ x = 1$ . La solution est $x = 1$ .

Exercice 5 — Un tableau de valeurs est-il affine ?

Moyen

On donne deux tableaux de valeurs.

Tableau 1 : $x$	−3	0	2	7
$y$	10,4	8	6,4	2,4

Tableau 2 : $x$	1	2	4	5
$y$	3	6	12	16

a) Montrer que le tableau 1 peut être celui d'une fonction affine $f$ et donner $f (x)$ .
b) Le tableau 2 peut-il être celui d'une fonction affine ? Justifier.
c) Calculer $f (- 12, 5)$ et interpréter le résultat.

a) Calculons les quotients $\frac{Δ y}{Δ x}$ entre colonnes successives :
$\frac{8 - 10, 4}{0 - (- 3)} = \frac{- 2, 4}{3} = - 0, 8$ ; $\frac{6, 4 - 8}{2 - 0} = \frac{- 1, 6}{2} = - 0, 8$ ; $\frac{2, 4 - 6, 4}{7 - 2} = \frac{- 4}{5} = - 0, 8$ .
Les trois quotients sont égaux : les accroissements sont proportionnels, le tableau est compatible avec une fonction affine de coefficient $a = - 0, 8$ . Comme $y = 8$ pour $x = 0$ , $b = 8$ . $f (x) = - 0, 8 x + 8$ .

b) $\frac{6 - 3}{2 - 1} = 3$ , $\frac{12 - 6}{4 - 2} = 3$ , mais $\frac{16 - 12}{5 - 4} = 4$ . Les quotients ne sont pas tous égaux : le tableau 2 ne correspond à aucune fonction affine. (Les trois premières colonnes sont alignées, pas la quatrième : il faut tester toutes les colonnes.)

c) $f (- 12, 5) = - 0, 8 \times (- 12, 5) + 8 = 10 + 8 = 18$ . Le point $(- 12, 5; 18)$ est sur la droite qui prolonge les données du tableau 1.

Exercice 6 — Tableaux de signes et inéquations

Moyen

a) Dresser le tableau de signes de $6 x + 27$ sur $ℝ$ .
b) Dresser le tableau de signes de $11 - 4 x$ sur $ℝ$ .
c) Résoudre l'inéquation $11 - 4 x ⩽ 0$ .
d) Résoudre l'inéquation $6 x + 27 > 0$ .

a) $6 x + 27 = 0 ⟺ x = - \frac{27}{6} = - 4, 5$ . Le coefficient directeur $6$ est positif : $6 x + 27$ est négatif avant $- 4, 5$ et positif après.

$x$	$- \infty$		$- 4, 5$		$+ \infty$
$6 x + 27$		$-$	0	$+$

b) $11 - 4 x = 0 ⟺ x = \frac{11}{4} = 2, 75$ . Ici $a = - 4 < 0$ : l'expression est positive avant $2, 75$ et négative après.

$x$	$- \infty$		$\frac{11}{4}$		$+ \infty$
$11 - 4 x$		$+$	0	$-$

c) On lit dans le tableau b) : $11 - 4 x ⩽ 0$ pour $x ⩾ \frac{11}{4}$ (le 0 est inclus car l'inégalité est large). $S = [\frac{11}{4}; + \infty [$ .

d) D'après le tableau a), $6 x + 27 > 0$ pour $x > - 4, 5$ (inégalité stricte, $- 4, 5$ exclu). $S =] - 4, 5; + \infty [$ .

Exercice 7 — Comparer deux fonctions affines

Moyen

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $ℝ$ par $f (x) = 1, 4 x - 3$ et $g (x) = - 0, 6 x + 5$ , représentées dans un repère par les droites $𝒞_{f}$ et $𝒞_{g}$ .

a) Résoudre $f (x) = g (x)$ et en déduire les coordonnées du point commun à $𝒞_{f}$ et $𝒞_{g}$ .
b) Montrer que $f (x) - g (x) = 2 x - 8$ , puis dresser le tableau de signes de $f (x) - g (x)$ .
c) En déduire l'ensemble des solutions de $f (x) ⩾ g (x)$ .
d) Interpréter graphiquement le résultat de la question c).

a) $1, 4 x - 3 = - 0, 6 x + 5 ⟺ 1, 4 x + 0, 6 x = 5 + 3 ⟺ 2 x = 8 ⟺ x = 4$ . Puis $f (4) = 5, 6 - 3 = 2, 6$ (et $g (4) = - 2, 4 + 5 = 2, 6$ , cohérent). Le point commun est $(4; 2, 6)$ .

b) $f (x) - g (x) = 1, 4 x - 3 - (- 0, 6 x + 5) = 1, 4 x - 3 + 0, 6 x - 5 = 2 x - 8$ . C'est une expression affine de coefficient $2 > 0$ , nulle pour $x = 4$ : négative avant 4, positive après.

$x$	$- \infty$		$4$		$+ \infty$
$f (x) - g (x)$		$-$	0	$+$

c) $f (x) ⩾ g (x) ⟺ f (x) - g (x) ⩾ 0 ⟺ x ⩾ 4$ . $S = [4; + \infty [$ .

d) Sur $[4; + \infty [$ , la droite $𝒞_{f}$ est au-dessus de $𝒞_{g}$ (ou la coupe, en $x = 4$ ) ; sur $] - \infty; 4 [$ , elle est en dessous.

Exercice 8 — Une famille de fonctions affines

Difficile

Pour tout réel $m$ , on définit sur $ℝ$ la fonction $f_{m}$ par $f_{m} (x) = (2 m - 5) x + m + 1$ .

a) Pour quelles valeurs de $m$ la fonction $f_{m}$ est-elle strictement croissante sur $ℝ$ ?
b) Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $f_{m}$ est constante ? Préciser alors cette constante.
c) Déterminer $m$ pour que $f_{m}$ soit linéaire, et donner l'expression obtenue.
d) Déterminer $m$ pour que la courbe de $f_{m}$ passe par le point $P (2; 10)$ . La fonction obtenue est-elle croissante ?

a) $f_{m}$ est affine de coefficient directeur $2 m - 5$ . Elle est strictement croissante si et seulement si $2 m - 5 > 0$ , c'est-à-dire $m > 2, 5$ . $f_{m}$ est strictement croissante pour $m \in] 2, 5; + \infty [$ .

b) $f_{m}$ est constante si et seulement si $2 m - 5 = 0$ , soit $m = 2, 5$ . Alors $f_{2, 5} (x) = 0 \times x + 2, 5 + 1 = 3, 5$ pour tout $x$ .

c) $f_{m}$ est linéaire si et seulement si son ordonnée à l'origine est nulle : $m + 1 = 0$ , soit $m = - 1$ . Alors $f_{- 1} (x) = (- 2 - 5) x + 0$ , donc $f_{- 1} (x) = - 7 x$ .

d) $P$ est sur la courbe si et seulement si $f_{m} (2) = 10$ :
$2 (2 m - 5) + m + 1 = 10 ⟺ 4 m - 10 + m + 1 = 10 ⟺ 5 m = 19 ⟺ m = 3, 8$ .
Alors $f_{3, 8} (x) = 2, 6 x + 4, 8$ ; vérification : $5, 2 + 4, 8 = 10$ . ✓ Comme $3, 8 > 2, 5$ , la fonction obtenue est strictement croissante (son coefficient $2, 6$ est positif).

Exercice 9 — Expliquer l'erreur

Difficile

On étudie $f (x) = 15 - 6 x$ sur $ℝ$ . Un élève écrit : « $15 - 6 x > 0 ⟺ - 6 x > - 15 ⟺ x > 2, 5$ , donc $f$ est positive sur $] 2, 5; + \infty [$ . » Un second élève affirme : « Le coefficient directeur est négatif, donc $f (x)$ est négatif pour tout réel $x$ . »

a) À l'aide d'une valeur bien choisie, montrer que la conclusion du premier élève est fausse.
b) Identifier précisément son erreur.
c) Donner l'ensemble correct des solutions de $15 - 6 x > 0$ .
d) Expliquer pourquoi l'affirmation du second élève est fausse.

a) Prenons $x = 3 \in] 2, 5; + \infty [$ : $f (3) = 15 - 18 = - 3 < 0$ . Un réel de l'intervalle annoncé donne une valeur négative : la conclusion est fausse.

b) Le passage $- 6 x > - 15 ⟺ x > 2, 5$ est incorrect : on divise les deux membres par $- 6$ , nombre négatif, ce qui change le sens de l'inégalité.

c) $15 - 6 x > 0 ⟺ - 6 x > - 15 ⟺ x < \frac{- 15}{- 6} = 2, 5$ . $S =] - \infty; 2, 5 [$ . C'est cohérent avec la règle du signe : $a = - 6 < 0$ , donc $f (x)$ est positif à gauche de la racine $2, 5$ .

d) Le signe de $a$ donne le sens de variation (ici $f$ est décroissante), pas le signe de $f (x)$ . Par exemple $f (0) = 15 > 0$ . Une fonction affine non constante change de signe en $- \frac{b}{a}$ : elle ne peut pas être négative partout.

Exercice 10 — Travailler avec les accroissements

Difficile

$f$ est une fonction affine telle que $f (7) - f (2) = - 13$ et $f (- 1) = 4, 6$ .

a) Montrer que le coefficient directeur de $f$ vaut $- 2, 6$ .
b) En déduire l'expression de $f (x)$ .
c) Montrer que, pour tout réel $x$ , $f (x + 3) - f (x)$ est un nombre fixe que l'on précisera.
d) Déterminer, sous forme de fraction irréductible, l'ensemble des réels $x$ tels que $f (x) > 0$ .

a) Pour une fonction affine, $f (u) - f (v) = a (u - v)$ . Avec $u = 7$ et $v = 2$ : $- 13 = a \times 5$ , donc $a = \frac{- 13}{5} = - 2, 6$ .

b) $f (x) = - 2, 6 x + b$ avec $f (- 1) = 4, 6$ : $2, 6 + b = 4, 6$ , donc $b = 2$ . $f (x) = - 2, 6 x + 2$ .

c) $f (x + 3) - f (x) = a ((x + 3) - x) = 3 a = 3 \times (- 2, 6) = - 7, 8$ pour tout réel $x$ . Quand $x$ augmente de 3, $f (x)$ diminue toujours de 7,8.

d) $- 2, 6 x + 2 = 0 ⟺ x = \frac{2}{2, 6} = \frac{20}{26} = \frac{10}{13}$ . Comme $a = - 2, 6 < 0$ , $f (x)$ est positif à gauche de cette racine. $f (x) > 0 ⟺ x \in] - \infty; \frac{10}{13} [$ (environ $0, 77$ ).

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