Fonctions de référence : carré, inverse et valeur absolue

1. a)$(-2,2{)}^2=2,2\times 2,2=4,84$. (1)
2. b)$1÷\left({\displaystyle \frac{2}{7}}\right)={\displaystyle \frac{7}{2}}=3,5$. (1)
3. c)$\sqrt{6}>\sqrt{4}=2$, donc $2-\sqrt{6}<0$ et $|2-\sqrt{6}|=\sqrt{6}-2$. (1)
4. d)$10,89>0$ et $\sqrt{10,89}=3,3$ : deux solutions, $S=\{-3,3;3,3\}$. (1)

Repère — Un carré n’est jamais négatif, un inverse a le signe du nombre, une valeur absolue est une distance.

1. a)$-2,53<-2,35⩽0$ et la fonction valeur absolue est décroissante sur $]-\infty ;0]$ : elle inverse l’ordre, donc $|-2,53|>|-2,35|$. (1)
2. b)$0<0,45<0,54$ et la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$ : ${\displaystyle \frac{1}{0,45}}>{\displaystyle \frac{1}{0,54}}$. (1)
3. c)L’intervalle contient $0$ : on le coupe. Sur $[-3,2;0]$, par décroissance, $0⩽x^2⩽10,24$ ; sur $[0;0,5]$, par croissance, $0⩽x^2⩽0,25$. Donc $0⩽x^2⩽10,24$ (et non $0,25⩽x^2⩽10,24$). (1)
4. d)Bornes strictement négatives ; la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ;0[$ : ${\displaystyle \frac{1}{-0,2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽{\displaystyle \frac{1}{-0,5}}$, soit $-5⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽-2$. (1)

Repère — On vérifie toujours que les nombres sont dans un même intervalle où la fonction est monotone.

1. a)$2,56>0$ et $\sqrt{2,56}=1,6$ : $S=]-\infty ;-1,6[\cup ]1,6;+\infty [$. (1)
2. b)Les réels à une distance de $0$ au plus égale à $0,75$ : $S=[-0,75;0,75]$. (1)
3. c)Si $x>0$ : ${\displaystyle \frac{1}{x}}>0⩾-0,5$, toujours vrai. Si $x<0$ : $-0,5={\displaystyle \frac{1}{-2}}$ et, par décroissance sur $]-\infty ;0[$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}⩾{\displaystyle \frac{1}{-2}}⟺x⩽-2$. $S=]-\infty ;-2]\cup ]0;+\infty [$. (1)
4. d)$3x^2=-6⟺x^2=-2$ : impossible, un carré est positif ou nul. $S=\varnothing$. (1)

Repère — Avec l’inverse, on traite x < 0 et x > 0 séparément ; avec un carré, on n’oublie pas la solution négative.

1. a)Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0<a<b$. On réduit au même dénominateur : ${\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{b-a}{ab}}$. Comme $a<b$, $b-a>0$ ; comme $a>0$ et $b>0$, $ab>0$. Le quotient est strictement positif, donc ${\displaystyle \frac{1}{a}}>{\displaystyle \frac{1}{b}}$. Deux réels strictement positifs rangés dans un ordre ont leurs inverses rangés dans l’ordre contraire : la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty [$. (2)
2. b)Pour tout réel $x$, $x^2-x=x(x-1)$. Si $0⩽x⩽1$, alors $x⩾0$ et $x-1⩽0$ : le produit $x(x-1)$ est négatif ou nul, donc $x^2-x⩽0$, soit $x^2⩽x$. Graphiquement : sur $[0;1]$, la parabole d’équation $y=x^2$ est sous la droite d’équation $y=x$ ; elles se coupent en $O(0;0)$ et en $(1;1)$. (2)

Repère — Pour comparer deux expressions : différence, factorisation, signe de chaque facteur.

1. a)$t(v)=60\times {\displaystyle \frac{1}{v}}$. Si $40⩽v_1<v_2⩽120$, la fonction inverse étant décroissante sur $]0;+\infty [$, ${\displaystyle \frac{1}{v_1}}>{\displaystyle \frac{1}{v_2}}$ ; en multipliant par $60>0$, l’ordre est conservé : $t(v_1)>t(v_2)$. Donc $t$ est décroissante sur $[40;120]$. (1)
2. b)$t$ est décroissante : $t(80)⩽t(v)⩽t(50)$, avec $t(80)={\displaystyle \frac{60}{80}}=0,75$ et $t(50)={\displaystyle \frac{60}{50}}=1,2$. La durée est comprise entre $0,75$ h et $1,2$ h, soit entre $45$ min et $72$ min. (1)
3. c)$40$ min $={\displaystyle \frac{2}{3}}$ h. ${\displaystyle \frac{60}{v}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}⟺{\displaystyle \frac{1}{v}}<{\displaystyle \frac{1}{90}}$ (on divise par $60>0$). Par décroissance de la fonction inverse sur $]0;+\infty [$, cela équivaut à $v>90$. Avec $v⩽120$ : $v\in ]90;120]$ km/h. (1)
4. d)$t(120)={\displaystyle \frac{60}{120}}=0,5$ h et $t(80)=0,75$ h. On gagne $0,75-0,5=0,25$ h, soit $15$ minutes. (1)

Repère — Une grandeur inversement proportionnelle hérite des variations de la fonction inverse.