Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques
Fonctions de référence (affine, carré, inverse)
Étude des fonctions affine f(x)=ax+b, carré f(x)=x² et inverse f(x)=1/x — programme de 2nde générale
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Fonction affine — Équation et variations
/ 4 pts- Une droite passe par les points A(1 ; 3) et B(4 ; 9).
a. Calculer le coefficient directeur $a$ de cette droite. - b. En déduire l'ordonnée à l'origine $b$ et écrire l'équation de la droite sous la forme y = ax + b.
- c. La droite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
- d. Calculer l'antécédent de 15 par la fonction affine correspondante.
Exercice 2 — Fonction carré — Tableau de variations et résolution
/ 5 pts- On considère f(x) = x².
- a. Dresser le tableau de variations complet de f sur ℝ (avec les valeurs aux bornes).
- b. Comparer f(−4) et f(3,5). Lequel est le plus grand ? Justifier.
- c. Résoudre f(x) = 36.
- d. Résoudre f(x) ≤ 25. Donner l'ensemble solution.
Exercice 3 — Fonction inverse — Variations et calculs
/ 4 pts- On considère g(x) = 1/x.
- a. Quel est l'ensemble de définition de g ?
- b. Donner le tableau de variations de g.
- c. Comparer g(1/4) et g(3) sans calculatrice. Justifier.
- d. Résoudre g(x) = −1/3.
Exercice 4 — Lecture graphique et symétries
/ 4 pts- La courbe d'une fonction passe par les points (−2 ; 4), (0 ; 0), (2 ; 4) et (−1 ; 1).
- a. De quelle fonction de référence s'agit-il ? Justifier.
- b. Quelle est la symétrie de cette courbe ?
- c. Trouver les antécédents de 1 par cette fonction.
- d. Quel est le minimum de cette fonction et en quelle valeur est-il atteint ?
Exercice 5 — Problème de modélisation
/ 3 pts- Un commerçant fixe le prix de vente p (en €) d'un article en fonction du nombre n d'articles produits par la relation p(n) = 60/n (pour n > 0).
- a. Calculer le prix pour n = 4 articles.
- b. Pour quel nombre d'articles le prix est-il de 5 € ?
- c. Le prix p est-il une fonction croissante ou décroissante de n ? Interpréter.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Fonction affine — Équation et variations
a. a = (9 − 3)/(4 − 1) = 6/3 = 2.
b. b = 3 − 2×1 = 1. Équation : y = 2x + 1.
c. a = 2 > 0, donc la droite est strictement croissante.
d. 2x + 1 = 15 → 2x = 14 → x = 7.
Exercice 2 — Fonction carré — Tableau de variations et résolution
a. Tableau : f décroissante sur ]−∞;0] (de +∞ à 0) et croissante sur [0;+∞[ (de 0 à +∞). Minimum : f(0) = 0.
b. f(−4) = 16 et f(3,5) = 12,25. Donc f(−4) > f(3,5). (|−4| = 4 > 3,5 et les deux sont de part et d'autre de 0.)
c. x² = 36 → x = 6 ou x = −6. Solutions : {−6 ; 6}.
d. x² ≤ 25 ↔ −5 ≤ x ≤ 5. Ensemble solution : [−5 ; 5].
Exercice 3 — Fonction inverse — Variations et calculs
a. Dg = ℝ* = ℝ \ {0}.
b. g décroissante sur ]−∞;0[ (valeurs tendant vers 0⁻ à gauche et −∞ près de 0) et sur ]0;+∞[ (valeurs tendant vers +∞ près de 0 et vers 0⁺ en +∞). Asymptotes : x=0 et y=0.
c. Sur ]0;+∞[, g est décroissante. Or 1/4 < 3, donc g(1/4) > g(3) (vérif : g(1/4) = 4 et g(3) = 1/3).
d. 1/x = −1/3 → x = −3.
Exercice 4 — Lecture graphique et symétries
a. Les couples (x ; y) vérifient y = x² : (−2)²=4, 0²=0, 2²=4. C'est la fonction carré f(x) = x².
b. La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy), car f(−x) = f(x).
c. x² = 1 → x = 1 ou x = −1. Les antécédents de 1 sont −1 et 1.
d. Le minimum est 0, atteint en x = 0.
Exercice 5 — Problème de modélisation
a. p(4) = 60/4 = 15 €.
b. 60/n = 5 → n = 60/5 = 12 articles.
c. p(n) = 60/n est de la forme k/n avec k = 60 > 0 : c'est une fonction décroissante sur ]0;+∞[. Cela signifie que plus on produit d'articles, moins chaque article est cher (économie d'échelle).
Ce contrôle de mathématiques 2ⁿᵈᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Fonctions de référence (affine, carré, inverse) » : 5 exercices, 55 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Fonction affine — Équation et variations/ 4 pts
- Exercice 2 — Fonction carré — Tableau de variations et résolution/ 5 pts
- Exercice 3 — Fonction inverse — Variations et calculs/ 4 pts
- Exercice 4 — Lecture graphique et symétries/ 4 pts
- Exercice 5 — Problème de modélisation/ 3 pts
Notions évaluées
La fonction affine f(x) = ax + b, Variations et graphe de la fonction affine, La fonction carré f(x) = x², Tableau de variations et symétrie de f(x) = x², La fonction inverse f(x) = 1/x, Variations et asymptotes de la fonction inverse.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 55 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Fonctions de référence (affine, carré, inverse) » ?
- 55 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 55 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de seconde ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Fonctions de référence (affine, carré, inverse) » du programme officiel de mathématiques en seconde, soit La fonction affine f(x) = ax + b, Variations et graphe de la fonction affine, La fonction carré f(x) = x², Tableau de variations et symétrie de f(x) = x².
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