Devoir surveillé : Ensembles de nombres, puissances et racines carrées

1. a)$2^3\times 2^{-5}=2^{3+(-5)}=2^{-2}={\displaystyle \frac{1}{2^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. (1 pt) (1)
2. b)$52000=5,2\times {10}^4$, donc $52000\times {10}^{-7}=5,2\times {10}^4\times {10}^{-7}=5,2\times {10}^{-3}$. (1 pt) (1)
3. c)$\sqrt{3}\times \sqrt{12}=\sqrt{3\times 12}=\sqrt{36}=6$. (1 pt) (1)
4. d)$\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\sqrt{25}\times \sqrt{2}=5\sqrt{2}$. (1 pt) (1)
5. e)$-3$ est inclus (inégalité large), $1$ est exclu (inégalité stricte) : $x\in [-3;1[$. (1 pt) (1)

Méthode — Pour simplifier $\sqrt{n}$, on cherche le plus grand carré parfait qui divise $n$ ($4$, $9$, $16$, $25$, $36$…) et on le sort de la racine.

1. a)On calcule chaque nombre sous forme simplifiée avant de conclure ; on rappelle que ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. (0,833333)
2. b)$\sqrt{49}-\sqrt{81}=7-9=-2$ : entier négatif, donc le plus petit ensemble est ℤ. (1 pt) (0,833333)
3. c)$4\times 5\times {10}^3\times {10}^{-2}=20\times {10}^1=200$ : entier naturel, donc ℕ. (1 pt) (0,833333)
4. d)${\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{18}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{4}{9}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. Le dénominateur $3$ ne se décompose pas avec seulement des $2$ et des $5$ : ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ n'est pas décimal ($0,666\dots$), donc ℚ. (1 pt) (0,833333)
5. e)$\sqrt{2}\times \sqrt{5}=\sqrt{10}$ ; $10$ n'est pas le carré d'un entier ($9<10<16$), donc $\sqrt{10}$ est irrationnel (résultat admis du cours) : ℝ. (1 pt) (0,833333)
6. f)${\left(2^{-1}\right)}^3=2^{-3}={\displaystyle \frac{1}{8}}=0,125$ : décimal non entier, donc 𝔻. (1 pt) (0,833333)

Piège — Un nombre écrit avec une racine ou une fraction n'est pas forcément irrationnel ou non entier : on simplifie toujours avant de conclure, comme $\sqrt{49}-\sqrt{81}=-2$.

1. a)On travaille avec $I=[-2;3]$ et $J=]1;+\infty [$. (1)
2. b)$\sqrt{9}=3$, donc $I=[-2;3]$. Les réels communs aux deux sont ceux de $]1;3]$ : $I\cap J=]1;3]$ ($1$ est exclu car exclu de $J$). La réunion va de $-2$ à $+\infty$ sans trou : $I\cup J=[-2;+\infty [$. (1,5 pt) (1)
3. c)$4<5<9$ et la racine carrée conserve l'ordre sur les positifs, donc $2<\sqrt{5}<3$. Ainsi $1<\sqrt{5}⩽3$ : $\sqrt{5}\in I\cap J$. (1 pt) (1)
4. d)${10}^{-1}=0,1$. On a $-2⩽0,1⩽3$, donc $0,1\in I$ ; mais $0,1<1$, donc $0,1\notin J$. (1 pt) (1)
5. e)$|x-1|$ est la distance entre $x$ et $1$ : $|x-1|⩽2⟺1-2⩽x⩽1+2⟺-1⩽x⩽3$. $\mathcal{S}=[-1;3]$. (1,5 pt) (1)

Astuce — Lire $|x-a|⩽r$ comme « la distance de $x$ à $a$ est au plus $r$ » donne directement l'intervalle centré $[a-r;a+r]$.

1. a)Le côté $c>0$ vérifie $c^2=45$, donc $c=\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5}$ cm. (1 pt) (1)
2. b)Périmètre : $4\times 3\sqrt{5}=12\sqrt{5}$ cm. Diagonale (Pythagore) : $d^2=c^2+c^2=90$, donc $d=\sqrt{90}=\sqrt{9\times 10}=3\sqrt{10}$ cm. (1 pt) (1)
3. c)$36<45<49$, donc $\sqrt{36}<\sqrt{45}<\sqrt{49}$, soit $6<\sqrt{45}<7$. (1 pt) (1)
4. d)$45$ cm² $=45\times {10}^{-4}$ m² $=4,5\times {10}^1\times {10}^{-4}$ m² $=4,5\times {10}^{-3}$ m². (1 pt) (1)
5. e)Aire d'un petit carré : ${\left({10}^{-2}\right)}^2={10}^{-4}$ cm². Nombre : ${\displaystyle \frac{45}{{10}^{-4}}}=45\times {10}^4=4,5\times {10}^5$ petits carrés. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — Diviser par ${10}^{-4}$ revient à multiplier par ${10}^4$ : beaucoup d'élèves écrivent $45\times {10}^{-4}$ et trouvent un nombre de carrés inférieur à $1$, ce qui est absurde.

1. a)$9^2={\left(3^2\right)}^2=3^4$ et ${27}^{-1}=3^{-3}$. Donc ${\displaystyle \frac{3^4\times 3^{-5}}{3^{-3}}}={\displaystyle \frac{3^{-1}}{3^{-3}}}=3^{-1-(-3)}=3^2=9$. (1 pt) (1)
2. b)$\sqrt{98}=\sqrt{49\times 2}=7\sqrt{2}$ et $\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}=4\sqrt{2}$, d'où $7\sqrt{2}-4\sqrt{2}=3\sqrt{2}$. (1 pt) (1)
3. c)${\displaystyle \frac{10}{3\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{10\sqrt{5}}{3\sqrt{5}\times \sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{10\sqrt{5}}{15}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{3}}$. (1 pt) (1)
4. d)$1<2<4$ donne $1<\sqrt{2}<2$ ; donc $1⩽\sqrt{2}<4$ et les réels communs sont ceux de $[1;\sqrt{2}]$ : l'intersection vaut $[1;\sqrt{2}]$. (1 pt) (1)

Méthode — Pour manipuler des puissances de bases différentes ($9$, $27$), on réécrit tout avec la même base première avant d'appliquer les règles.

1. a)On justifie par un calcul (vrai) ou par un calcul contredisant l'affirmation (faux). (0,8)
2. b)Faux. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, donc $\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}=\sqrt{18}$, et $\sqrt{18}\ne \sqrt{10}$. La racine d'une somme n'est pas la somme des racines. (1 pt) (0,8)
3. c)Faux. $(-2{)}^{-3}={\displaystyle \frac{1}{(-2{)}^3}}={\displaystyle \frac{1}{-8}}=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$. L'exposant négatif donne un inverse, pas un nombre opposé ni un produit. (1 pt) (0,8)
4. d)Vrai. Identité $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ : ${\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=5-3=2\in \mathbb{N}$. (1 pt) (0,8)
5. e)Faux. Contre-exemple $x=-4$ : $\sqrt{(-4{)}^2}=\sqrt{16}=4\ne -4$. Pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2}=|x|$. (1 pt) (0,8)

Erreur fréquente — La racine carrée d'un nombre est toujours positive : $\sqrt{x^2}$ vaut $|x|$ et non $x$ dès que $x$ est négatif.

1. a)$16<17<25$, donc $4<\sqrt{17}<5$. Puis $4,1^2=16,81<17$ et $4,2^2=17,64>17$, donc $4,1<\sqrt{17}<4,2$. (1 pt) (1,33333)
2. b)$2\sqrt{3}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{12}$ et $5=\sqrt{25}$ ; comme $12<15<25$, on a $2\sqrt{3}<\sqrt{15}<5$. Donc $A\cap B=]\sqrt{15};5]$ et $A\cup B=[2\sqrt{3};+\infty [$. (1,5 pt) (1,33333)
3. c)$|x-4|⩽1⟺3⩽x⩽5$ : $C=[3;5]$. Or $3=\sqrt{9}$ et $9<12$, donc $3<2\sqrt{3}$ : le réel $3$ est dans $C$ mais pas dans $A\cup B$. $C$ n'est pas inclus dans $A\cup B$. (1,5 pt) (1,33333)

Astuce — Pour comparer $a\sqrt{b}$ et $\sqrt{c}$ sans calculatrice, on fait « rentrer » le coefficient sous la racine : $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$.

1. a)On multiplie par la quantité conjuguée : ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-1}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{3-1}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}$. (1 pt) (1)
2. b)$E={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5$ : $E$ est décimal (et même pas entier). (1 pt) (1)
3. c)${(1+\sqrt{2})}^2=1+2\sqrt{2}+2=3+2\sqrt{2}$. Comme $1+\sqrt{2}>0$, c'est le nombre positif dont le carré vaut $3+2\sqrt{2}$ : $\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$. (1 pt) (1)
4. d)$(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=9-5=4$ et $2^{-2}={\displaystyle \frac{1}{4}}$, donc $F=4\times {\displaystyle \frac{1}{4}}=1\in \mathbb{N}$. (1 pt) (1)

Piège — Pour affirmer $\sqrt{a}=b$, il faut vérifier $b^2=a$ ET $b⩾0$ : oublier le signe peut conduire à une valeur négative, donc fausse.

1. a)On travaille en centimètres. (0,8)
2. b)Côté $c>0$ avec $c^2=18$ : $c=\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2}$ cm. Diagonale : $d=c\sqrt{2}=3\sqrt{2}\times \sqrt{2}=3\times 2=6$ cm (Pythagore : $d^2=18+18=36$). (1 pt) (0,8)
3. c)Aire d'un pixel : ${(5\times {10}^{-3})}^2=25\times {10}^{-6}=2,5\times {10}^{-5}$ cm². Nombre : ${\displaystyle \frac{18}{2,5\times {10}^{-5}}}=7,2\times {10}^5$ pixels. (1 pt) (0,8)
4. d)$7,2\times {10}^5\times 2\times {10}^{-7}=14,4\times {10}^{-2}=1,44\times {10}^{-1}$ W. (1 pt) (0,8)
5. e)Garantie : $|c-3\sqrt{2}|⩽0,05$. Avec $3\sqrt{2}\approx 4,2426$ : $|4,20-4,2426|\approx 0,0426⩽0,05$. L'écran est conforme. (1 pt) (0,8)

Méthode — Dans un produit en notation scientifique, on multiplie les mantisses entre elles et les puissances de $10$ entre elles, puis on réajuste la mantisse entre $1$ et $10$.

1. a)${\left(2^3\right)}^{-2}=2^{-6}$ et ${12}^4={(2^2\times 3)}^4=2^8\times 3^4$ : numérateur $2^2\times 3^4$. Dénominateur : $2^3\times 3^3\times 3^{-1}=2^3\times 3^2$. Quotient : $2^{-1}\times 3^2={\displaystyle \frac{9}{2}}$. (1 pt) (1)
2. b)$\sqrt{12}\times \sqrt{15}=\sqrt{180}=\sqrt{36\times 5}=6\sqrt{5}$ ; $\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ ; ${\displaystyle \frac{10}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{10\sqrt{5}}{5}}=2\sqrt{5}$. Total : $(6-4+2)\sqrt{5}=4\sqrt{5}$. (1 pt) (1)
3. c)$3,{16}^2=9,9856<10$, donc $\sqrt{10}>3,16>3,15>\pi$. Les deux intervalles se chevauchent : leur réunion est $]-\infty ;7]$. L'intersection avec $]3;+\infty [$ est $]3;7]$. (1 pt) (1)

Piège — Avant d'écrire la réunion de deux intervalles, il faut vérifier qu'ils se chevauchent : ici tout repose sur la comparaison fine de $\pi$ et $\sqrt{10}$.

1. a)$(3k+1{)}^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1$ et $(3k+2{)}^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$ : dans les deux cas, le reste de la division par $3$ est $1$, donc $p^2$ n'est pas multiple de $3$. (1 pt) (1)
2. b)Contraposée : « si $p^2$ est multiple de $3$, alors $p$ est multiple de $3$ » ; elle est vraie car équivalente au résultat de a). (0,5 pt) (1)
3. c)Supposons $\sqrt{3}={\displaystyle \frac{p}{q}}$ avec $p$, $q$ entiers naturels non nuls et la fraction irréductible. Alors $p^2=3q^2$ : $p^2$ est multiple de $3$, donc $p$ aussi (question b)) ; $p=3m$, d'où $9m^2=3q^2$, soit $q^2=3m^2$ : $q$ est aussi multiple de $3$. La fraction serait simplifiable par $3$ : contradiction. Donc $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$. (1,5 pt) (1)
4. d)$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1$, donc ${\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{3}}}=2+\sqrt{3}$. Si $2+\sqrt{3}=r$ était rationnel, alors $\sqrt{3}=r-2$ le serait aussi (différence de deux rationnels) : impossible. Donc ce nombre est irrationnel. (1 pt) (1)

Méthode — Un raisonnement par l'absurde se rédige en trois temps : on suppose le contraire, on déduit pas à pas, on aboutit à une contradiction explicite qu'il faut nommer.

1. a)Chaque question se ramène à des puissances d'exposant commun. (0,8)
2. b)$2^{100}={\left(2^{10}\right)}^{10}=1{024}^{10}$ et ${10}^{30}={\left({10}^3\right)}^{10}=1{000}^{10}$. Comme $1024>1000>0$, $2^{100}>{10}^{30}$. (1 pt) (0,8)
3. c)$3^{40}={\left(3^4\right)}^{10}={81}^{10}$ et $2^{60}={\left(2^6\right)}^{10}={64}^{10}$ ; $81>64>0$, donc $3^{40}>2^{60}$. (1 pt) (0,8)
4. d)$1,{024}^2=1,048576<1,05$. Alors $1,{024}^{10}={\left(1,{024}^2\right)}^5<1,{05}^5<2^5$ ; plus finement $1,{05}^2=1,1025<2$, donc $1,{05}^4<4$ et $1,{05}^5<4\times 1,05=4,2<10$. Ainsi $2^{100}=1,{024}^{10}\times {10}^{30}$ avec $1⩽1,{024}^{10}<10$ : ${10}^{30}⩽2^{100}<{10}^{31}$, donc $2^{100}$ s'écrit avec $31$ chiffres. (1 pt) (0,8)
5. e)$\sqrt{2^{100}}=\sqrt{{\left(2^{50}\right)}^2}=2^{50}$. Or $2^{50}=1{024}^5=1,{024}^5\times {10}^{15}$ et $1⩽1,{024}^5<1,{05}^3<1,2$ ; l'ordre de grandeur est ${10}^{15}$. (1 pt) (0,8)

Astuce — Pour comparer deux puissances sans les calculer, on les écrit avec le même exposant, puis on compare simplement les bases positives.

1. a)Toutes les longueurs sont en mètres et les aires en m². (0,833333)
2. b)Rapport des petits rectangles : ${\displaystyle \frac{\ell }{L/2}}={\displaystyle \frac{2\ell }{L}}$. Égalité des rapports : ${\displaystyle \frac{2\ell }{L}}={\displaystyle \frac{L}{\ell }}⟺L^2=2{\ell }^2⟺{\left({\displaystyle \frac{L}{\ell }}\right)}^2=2⟺{\displaystyle \frac{L}{\ell }}=\sqrt{2}$ (car ${\displaystyle \frac{L}{\ell }}>0$). (1 pt) (0,833333)
3. c)$L=\sqrt{2}\ell$ et $L\ell =1$ donnent $\sqrt{2}{\ell }^2=1$, donc ${\ell }^2={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ et $L^2=2{\ell }^2=\sqrt{2}$. Ainsi $\ell =\sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}\approx 0,841$ m et $L=\sqrt{\sqrt{2}}\approx 1,189$ m. (1 pt) (0,833333)
4. d)Chaque découpe divise l'aire par $2$ : aire de $An$ $=2^{-n}$ m². Pour A4 : $2^{-4}={\displaystyle \frac{1}{16}}=0,0625=6,25\times {10}^{-2}$ m², soit $6,25\times {10}^{-2}\times {10}^4=625$ cm². (1 pt) (0,833333)
5. e)$1$ cm² $={10}^{-4}$ m². On veut $2^{-n}<{10}^{-4}⟺2^n>10000$. Or $2^{13}=8192<10000<16384=2^{14}$ : il faut $n⩾14$ (A14 mesure environ $0,61$ cm²). (1 pt) (0,833333)
6. f)Pythagore : $d^2=L^2+{\ell }^2=2{\ell }^2+{\ell }^2=3{\ell }^2$, donc $d=\ell \sqrt{3}\approx 1,457$ m. Deux découpes divisent les deux dimensions par $2$ (A2 : ${\displaystyle \frac{L}{2}}$ sur ${\displaystyle \frac{\ell }{2}}$), donc A4 a des dimensions divisées par $4$ et une diagonale ${\displaystyle \frac{\ell \sqrt{3}}{4}}\approx 0,364$ m, soit environ $36,4$ cm. (1 pt) (0,833333)

Erreur fréquente — Diviser l'aire par $4$ ne divise pas les longueurs par $4$ mais par $2$ : c'est tous les deux formats que les dimensions sont divisées par $2$.

1. a)$(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=(n+1)-n=1$ et $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>0$, donc $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$. (1 pt) (1)
2. b)Le quotient ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$ est strictement positif. De plus $n+1>n$ donne $\sqrt{n+1}>\sqrt{n}$, donc $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>2\sqrt{n}>0$ et, en passant aux inverses, ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}<{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{n}}}$. (1 pt) (1)
3. c)La différence est positive, donc égale à sa valeur absolue. Il suffit que ${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{n}}}⩽{10}^{-2}⟺2\sqrt{n}⩾100⟺\sqrt{n}⩾50⟺n⩾2500$. Avec $N=2500$, pour tout $n⩾N$ : $|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}|<{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{n}}}⩽{10}^{-2}$. (1 pt) (1)
4. d)D'après a), ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$. Donc $S=(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots +(\sqrt{100}-\sqrt{99})$ ; les termes se compensent deux à deux : $S=\sqrt{100}-\sqrt{1}=10-1=9\in \mathbb{N}$. (1 pt) (1)

Astuce — Rendre rationnel un dénominateur sert aussi à l'envers : transformer une différence de racines en quotient permet d'encadrer, et une somme de quotients peut se simplifier « en cascade ».