Puissances et notation scientifique

1. a)$(-6{)}^2=(-6)\times (-6)=36$ (exposant pair). (0,5)
2. b)$-3^4=-(3^4)=-81$ : l’exposant ne porte que sur $3$. (0,5)
3. c)$8^{-1}={\displaystyle \frac{1}{8}}=0,125$. (0,5)
4. d)${\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^{-2}={\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^2={\displaystyle \frac{4}{25}}$. (0,5)
5. e)${11}^{-3}\times {11}^8={11}^{-3+8}={11}^5$. (0,5)
6. f)${\displaystyle \frac{6^{-2}}{6^5}}=6^{-2-5}=6^{-7}$. (0,5)
7. g)$0,00000093=9,3\times {10}^{-7}$ (virgule déplacée de 7 rangs vers la droite). (0,5)
8. h)$7015000000=7,015\times {10}^9$ et $7,015⩾5$ : l’ordre de grandeur est ${10}^{10}$, et non ${10}^9$. (0,5)

Repère — Exposant négatif = inverse, jamais opposé ; un signe moins sans parenthèses n’est pas élevé à la puissance.

1. a)Puissance d’une puissance : on multiplie les exposants. $(7^{-5}{)}^{-2}=7^{(-5)\times (-2)}=7^{10}$. (1)
2. b)On écrit tout en base 5 : ${25}^3=(5^2{)}^3=5^6$ et $125=5^3$. Numérateur : $5^6\times 5^{-4}=5^{6-4}=5^2$ (produit de même base). Puis ${\displaystyle \frac{5^2}{5^3}}=5^{2-3}=5^{-1}$ (quotient de même base). Enfin $5^{-1}={\displaystyle \frac{1}{5}}=0,2$. (1)
3. c)Puissance d’un produit : $(2a^3{)}^2=2^2\times (a^3{)}^2=4a^6$. Donc ${\displaystyle \frac{4a^6}{4a^{-1}}}={\displaystyle \frac{4}{4}}\times a^{6-(-1)}=a^7$. (1)
4. d)L’élève a additionné les nombres $3$ et $5$ et les exposants, comme si les règles des produits s’appliquaient à une somme : il n’existe aucune règle pour une somme. On calcule : $3\times {10}^4+5\times {10}^3=30000+5000=35000=3,5\times {10}^4$. (1)

Repère — Même base d’abord : 25 = 5², 125 = 5³. Les règles des puissances valent pour les produits et les quotients, jamais pour les sommes.

1. a)Décimaux : $4,2\times 5=21$ ; puissances de 10 : ${10}^{-5}\times {10}^{12}={10}^7$. Donc le produit vaut $21\times {10}^7=2,1\times {10}^1\times {10}^7=2,1\times {10}^8$. (1)
2. b)${\displaystyle \frac{1,2}{8}}\times {\displaystyle \frac{{10}^{-3}}{{10}^{-9}}}=0,15\times {10}^{-3+9}=0,15\times {10}^6$. Comme $0,15=1,5\times {10}^{-1}$, le quotient vaut $1,5\times {10}^5$. (1)
3. c)Décimaux : ${\displaystyle \frac{3\times 7}{1,2}}={\displaystyle \frac{21}{1,2}}=17,5$ ; puissances de 10 : ${\displaystyle \frac{{10}^7\times {10}^{-2}}{{10}^3}}={10}^{5-3}={10}^2$. Le résultat vaut $17,5\times {10}^2=1,75\times {10}^3$. À deux chiffres significatifs, on garde $1$ et $7$ ; le suivant est $5$, donc $7$ devient $8$ : $1,8\times {10}^3$. (1)
4. d)$0,0406$ : les zéros de tête ne comptent pas ; $4$, $0$ et $6$ donnent $3$ chiffres significatifs. $3,70\times {10}^3$ : on compte les chiffres de $3,70$, zéro final compris, soit $3$ chiffres significatifs. (1)

Repère — On réajuste toujours à la fin : 1 ≤ a < 10. Et un zéro placé après le premier chiffre non nul compte.

1. a)On cherche un exposant commun : $2^{40}=(2^8{)}^5={256}^5$ et $3^{25}=(3^5{)}^5={243}^5$ (puissance d’une puissance). Comme $0<243<256$, la propriété admise donne ${243}^5<{256}^5$. Conclusion : $3^{25}<2^{40}$. (1)
2. b)La somme compte quatre termes égaux : $4^5+4^5+4^5+4^5=4\times 4^5=4^1\times 4^5=4^{1+5}=4^6$ (produit de puissances de même base). (1)
3. c)$2^7=128$ et ${10}^2=100$, donc $0<{10}^2<2^7$. Deux nombres positifs sont rangés dans l’ordre inverse de leurs inverses : ${\displaystyle \frac{1}{2^7}}<{\displaystyle \frac{1}{{10}^2}}$, c’est-à-dire $2^{-7}<{10}^{-2}$. L’élève a tort. (1)

Repère — Pour comparer deux puissances de bases différentes, on fabrique un exposant commun ; passer aux inverses renverse l’ordre.

1. a)$0,08$ mm $=8\times {10}^{-2}$ mm et $1$ mm $={10}^{-3}$ m, donc le diamètre vaut $8\times {10}^{-2}\times {10}^{-3}$ m $=8\times {10}^{-5}$ m. (1)
2. b)${\displaystyle \frac{8\times {10}^{-5}}{7,5\times {10}^{-6}}}={\displaystyle \frac{8}{7,5}}\times {10}^1={\displaystyle \frac{80}{7,5}}$. Or $7,5\times 10=75⩽80$ et $7,5\times 11=82,5>80$ : on peut aligner $10$ globules rouges entiers. (1)
3. c)$5,2$ L $=5,2\times {10}^6$ mm³. Nombre de globules : $5,2\times {10}^6\times 4,6\times {10}^6=23,92\times {10}^{12}=2,392\times {10}^{13}$. Les données ont $2$ chiffres significatifs : environ $2,4\times {10}^{13}$ globules ; comme $2,4<5$, l’ordre de grandeur est ${10}^{13}$. (1)
4. d)$L=2,392\times {10}^{13}\times 7,5\times {10}^{-6}=17,94\times {10}^7$ m $=1,794\times {10}^8$ m. En kilomètres ($1$ km $={10}^3$ m) : $1,794\times {10}^5$ km, soit environ $1,8\times {10}^5$ km. (1)
5. e)${\displaystyle \frac{1,794\times {10}^5}{4\times {10}^4}}={\displaystyle \frac{1,794}{4}}\times {10}^1=0,4485\times 10=4,485$ : la file ferait environ $4,5$ fois le tour de la Terre. (1)

Repère — Convertir avant de calculer (mm → m, L → mm³), garder la valeur non arrondie, arrondir à la fin.