Comment simplifier une racine carrée ?

On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine, puis on utilise √(k²×b) = k√b. Par exemple, √72 = √(36×2) = 6√2. La simplification est terminée quand le nombre restant sous la racine n'a plus de facteur carré autre que 1.

Pourquoi √(a+b) n'est-il pas égal à √a + √b ?

La racine carrée est compatible avec le produit et le quotient, mais pas avec la somme. Par exemple, √9 + √16 = 3 + 4 = 7 alors que √(9+16) = √25 = 5. Pour a et b strictement positifs, on a même toujours √(a+b) < √a + √b.

Comment enlever une racine carrée au dénominateur ?

Si le dénominateur est de la forme √b, on multiplie le numérateur et le dénominateur par √b. S'il est de la forme p + √q ou √p − √q, on multiplie en haut et en bas par l'expression conjuguée (on change le signe du milieu), ce qui fait disparaître la racine grâce à (x+y)(x−y) = x² − y².

Pourquoi √(x²) = |x| et pas x ?

Une racine carrée est toujours positive ou nulle, alors que x peut être négatif. Par exemple, √((−5)²) = √25 = 5, et non −5. On écrit donc √(x²) = |x|, la valeur absolue de x, qui vaut x si x ≥ 0 et −x si x < 0.

Comment comparer deux nombres écrits avec des racines carrées ?

Si les deux nombres sont positifs, il suffit de comparer leurs carrés, car deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. Par exemple, (6√2)² = 72 et (5√3)² = 75, donc 6√2 < 5√3.

Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Ressources · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques

Racines carrées

Q: Comment enlever une racine carrée au dénominateur ?

Si le dénominateur est de la forme √b, on multiplie le numérateur et le dénominateur par √b. S'il est de la forme p + √q ou √p − √q, on multiplie en haut et en bas par l'expression conjuguée (on change le signe du milieu), ce qui fait disparaître la racine grâce à (x+y)(x−y) = x² − y².

Q: Pourquoi √(x²) = |x| et pas x ?

Une racine carrée est toujours positive ou nulle, alors que x peut être négatif. Par exemple, √((−5)²) = √25 = 5, et non −5. On écrit donc √(x²) = |x|, la valeur absolue de x, qui vaut x si x ≥ 0 et −x si x < 0.

Q: Comment comparer deux nombres écrits avec des racines carrées ?

Si les deux nombres sont positifs, il suffit de comparer leurs carrés, car deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. Par exemple, (6√2)² = 72 et (5√3)² = 75, donc 6√2 < 5√3.

Définition de √a, propriétés √(ab) et √(a/b), simplification, somme de racines, rendre rationnel un dénominateur, comparaison et encadrement, √(a²) = |a|

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en seconde sur « Racines carrées » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Produit et quotient de racines carrées, Simplifier et additionner des racines, Rendre rationnel un dénominateur. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.

L'essentiel

Définition. Soit

a

un réel positif ou nul. La racine carrée de

a

, notée

\sqrt{a}

, est l'unique nombre positif ou nul dont le carré est égal à

a

Exemples.

\sqrt{36} = 6

car

6^{2} = 36

6 \geq 0

;

\sqrt{0, 25} = 0, 5

;

\sqrt{0} = 0

;

\sqrt{1} = 1

. En revanche,

\sqrt{- 9}

n'existe pas : aucun carré de réel n'est négatif.

Propriétés immédiates.
• Pour tout réel

a \geq 0

\sqrt{a} \geq 0

(\sqrt{a})^{2} = a

.
• Pour tout réel

a

, positif ou négatif :

\sqrt{a^{2}} = | a |

, où

| a |

est la valeur absolue de

a

, c'est-à-dire sa distance à

0

| a | = a

a \geq 0

| a | = - a

a < 0

Exemple.

\sqrt{(- 5)^{2}} = \sqrt{25} = 5 = | - 5 |

, et non

- 5

Les carrés parfaits à connaître :

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$n^{2}$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144

\sqrt{2}

\sqrt{3}

\sqrt{5}

… ne sont pas des nombres décimaux (

\sqrt{2}

est même irrationnel) : on garde la valeur exacte dans les calculs et l'on n'arrondit qu'à la toute fin.

Produit et quotient de racines carrées

Propriétés.
• Pour

a \geq 0

b \geq 0

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}

.
• Pour

a \geq 0

b > 0

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Exemples.

\sqrt{3} \times \sqrt{27} = \sqrt{81} = 9

;

\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5

;

\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}

Démonstration exigible (

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}

pour

a \geq 0

b \geq 0

).
Le nombre

\sqrt{a} \times \sqrt{b}

est positif ou nul, comme produit de deux nombres positifs ou nuls.
Son carré vaut

(\sqrt{a} \times \sqrt{b})^{2} = (\sqrt{a})^{2} \times (\sqrt{b})^{2} = a \times b

.
Ainsi

\sqrt{a} \times \sqrt{b}

est un nombre positif dont le carré est

a b

: par définition, c'est

\sqrt{a b}

Conditions.

\sqrt{(- 4) \times (- 9)} = \sqrt{36} = 6

, mais on ne peut pas écrire

\sqrt{- 4} \times \sqrt{- 9}

: ces nombres n'existent pas. La propriété exige

a \geq 0

b \geq 0

Simplifier et additionner des racines

Forme simplifiée. Écrire

\sqrt{n}

sous la forme

k \sqrt{b}

, avec

b

entier le plus petit possible, c'est faire sortir de la racine le plus grand carré parfait qui divise

n

\sqrt{k^{2} \times b} = k \sqrt{b}

(pour

k \geq 0

Exemple.

\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6 \sqrt{2}

Sommes. On ne peut regrouper que des termes ayant la même racine, comme des termes semblables :

a \sqrt{b} + c \sqrt{b} = (a + c) \sqrt{b}

Exemple.

\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} = 5 \sqrt{5}

Propriété. Pour

a > 0

b > 0

\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}

.
Démonstration exigible. Les deux nombres

\sqrt{a + b}

\sqrt{a} + \sqrt{b}

sont positifs. On compare leurs carrés :

(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2} = a + 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + b = a + b + 2 \sqrt{a b}

(\sqrt{a + b})^{2} = a + b

.
Comme

\sqrt{a b} > 0

, on a

(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2} > (\sqrt{a + b})^{2}

.
Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés, donc

\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}

Exemple.

\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7

alors que

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Rendre rationnel un dénominateur

Dénominateur $\sqrt{b}$ . On multiplie numérateur et dénominateur par

\sqrt{b}

, car

\sqrt{b} \times \sqrt{b} = b

Exemple.

\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}

Dénominateur $p + \sqrt{q}$ ou $\sqrt{p} + \sqrt{q}$ . On multiplie en haut et en bas par l'expression conjuguée (même expression, signe du milieu changé). En développant,

(x + y) (x - y) = x^{2} - x y + x y - y^{2} = x^{2} - y^{2}

: les racines disparaissent.

Exemple.

\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{2 (\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7})^{2} - (\sqrt{5})^{2}} = \frac{2 (\sqrt{7} - \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} - \sqrt{5}

Comparer et encadrer

Propriété. Pour

a \geq 0

b \geq 0

a < b

équivaut à

\sqrt{a} < \sqrt{b}

(la fonction racine carrée est strictement croissante sur

[0; + \infty [

). De même, deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

Comparer.

(3 \sqrt{2})^{2} = 18

(2 \sqrt{3})^{2} = 12

; comme

18 > 12

et que les deux nombres sont positifs,

3 \sqrt{2} > 2 \sqrt{3}

Encadrer.

25 < 30 < 36

donc

5 < \sqrt{30} < 6

. Plus finement,

5, 4^{2} = 29, 16

5, 5^{2} = 30, 25

, donc

5, 4 < \sqrt{30} < 5, 5

Position de $a$ , $a^{2}$ et $\sqrt{a}$ .
• Si

0 < a < 1

a^{2} < a < \sqrt{a}

.
• Si

a > 1

\sqrt{a} < a < a^{2}

Exemples. Pour

a = 0, 64

0, 4096 < 0, 64 < 0, 8

. Pour

a = 4

2 < 4 < 16

Méthodes

Méthode 1 — Simplifier une racine carrée

Chercher le plus grand carré parfait $k^{2}$ qui divise $n$ (tester 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…).
Écrire $n = k^{2} \times b$ puis $\sqrt{n} = k \sqrt{b}$ .
Vérifier que $b$ n'a plus de facteur carré.

Exemple rédigé.

200 = 100 \times 2

100 = 10^{2}

, donc

\sqrt{200} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10 \sqrt{2}

Méthode 2 — Réduire une somme de racines

Simplifier chaque racine.
Regrouper les termes ayant la même racine.
Laisser séparés les termes de racines différentes.

Exemple rédigé.

\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2 \sqrt{6}

\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3 \sqrt{6}

, donc

\sqrt{24} + \sqrt{54} = 5 \sqrt{6}

Méthode 3 — Supprimer une racine au dénominateur

Repérer la forme du dénominateur : $\sqrt{b}$ ou somme/différence avec une racine.
Multiplier numérateur et dénominateur par $\sqrt{b}$ ou par l'expression conjuguée.
Calculer le dénominateur avec $x^{2} - y^{2}$ , puis simplifier.

Exemple rédigé.

\frac{4}{3 - \sqrt{5}} = \frac{4 (3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5}) (3 + \sqrt{5})} = \frac{4 (3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = 3 + \sqrt{5}

Méthode 4 — Comparer deux nombres positifs avec racines

Vérifier que les deux nombres sont positifs.
Calculer leurs carrés.
Conclure : ils sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

Exemple rédigé.

(6 \sqrt{2})^{2} = 36 \times 2 = 72

(5 \sqrt{3})^{2} = 25 \times 3 = 75

. Les deux nombres sont positifs et

72 < 75

, donc

6 \sqrt{2} < 5 \sqrt{3}

Pièges et erreurs classiques

Somme.

\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}

en général :

\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1, 41

alors que

\sqrt{1} + \sqrt{1} = 2

Carré sous la racine.

\sqrt{a^{2}} = | a |

et non

a

: si

a

est négatif, le résultat est

- a

Racine d'un négatif.

\sqrt{a}

n'existe que pour

a \geq 0

; en revanche

- \sqrt{a}

(avec

a \geq 0

) existe et est négatif.

Coefficient.

2 \sqrt{3}

n'est pas

\sqrt{6}

2 \sqrt{3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = \sqrt{12}

. De même,

3 + \sqrt{2}

n'est pas

3 \sqrt{2}

Valeur exacte. Quand on demande une valeur exacte,

1, 414

ne remplace pas

\sqrt{2}

En bref

$\sqrt{a}$ ( $a \geq 0$ ) est le nombre positif dont le carré vaut $a$ ; $(\sqrt{a})^{2} = a$ et $\sqrt{a^{2}} = | a |$ .
$\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ et $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ , mais $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$ pour $a, b > 0$ .
Simplifier : sortir le plus grand carré parfait ; additionner seulement des racines identiques.
Dénominateur : multiplier par $\sqrt{b}$ ou par le conjugué.
Comparer deux nombres positifs : comparer leurs carrés.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs