Puissances et notation scientifique

Q: Que vaut un nombre à une puissance négative ?

Pour a non nul, a⁻ⁿ = 1/aⁿ : c’est l’inverse de aⁿ. Par exemple 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il donne un nombre plus petit que 1 quand la base est plus grande que 1.

Q: Quand additionne-t-on ou multiplie-t-on les exposants ?

On additionne les exposants pour un produit de puissances de même base (aⁿ × aᵖ = aⁿ⁺ᵖ), on les soustrait pour un quotient, on les multiplie pour une puissance de puissance ((aⁿ)ᵖ = aⁿᵖ). Pour une somme comme aⁿ + aᵖ, il n’existe aucune règle : on calcule ou on factorise.

Q: Comment écrire un nombre en notation scientifique ?

On l’écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif. On place la virgule après le premier chiffre non nul ; si on l’a déplacée de k rangs vers la gauche, n = k ; vers la droite, n = −k. Exemple : 0,000 42 = 4,2 × 10⁻⁴.

Q: Comment compter les chiffres significatifs d’un nombre ?

On compte tous les chiffres à partir du premier chiffre non nul, en lisant de gauche à droite : les zéros placés devant ne comptent pas, ceux placés après comptent. 0,030 2 a trois chiffres significatifs ; en notation scientifique, ce sont les chiffres de a.

Q: Comment trouver l’ordre de grandeur d’un nombre ?

On l’écrit a × 10ⁿ en notation scientifique. Avec la convention de ce cours, l’ordre de grandeur est 10ⁿ si a < 5 et 10ⁿ⁺¹ si a ≥ 5. Pour un calcul, on arrondit chaque nombre à un chiffre significatif et on calcule de tête.

Puissances d’exposant entier relatif et règles de calcul, puissances de 10 et notation scientifique, chiffres significatifs et arrondis, ordres de grandeur et comparaisons.

À propos de cette page

Ce cours de maths de seconde sur les puissances et la notation scientifique suit cinq parties : définition d’une puissance (exposant négatif, signe, parenthèses), règles de calcul, puissances de 10 et notation scientifique avec les préfixes et les conversions d’aires et de volumes, chiffres significatifs et arrondis, ordres de grandeur et comparaisons. On y trouve aussi la fonction Python qui cherche la première puissance dépassant une valeur.

Définition d’une puissance

Ce qu’il faut savoir

Exposant entier naturel. Pour tout réel $a$ et tout entier $n ⩾ 2$ : $a^{n} = a \times a \times \dots \times a$ ( $n$ facteurs égaux à $a$ ). On pose $a^{1} = a$ et, pour $a \neq 0$ , $a^{0} = 1$ . Dans $a^{n}$ , $a$ est la base et $n$ l’exposant.

Exposant négatif. Pour tout réel $a \neq 0$ et tout entier $n ⩾ 1$ : $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ . En particulier, $a^{- 1} = \frac{1}{a}$ est l’inverse de $a$ .

Puissance d’une fraction. Pour $a$ et $b$ non nuls et $n$ entier : ${(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}$ . L’exposant négatif renverse la fraction.

Signe. Si $a > 0$ , alors $a^{n} > 0$ pour tout entier $n$ . Si $a < 0$ : $a^{n}$ est positif quand $n$ est pair, négatif quand $n$ est impair.

Priorité. L’exposant porte seulement sur ce qui est écrit juste avant lui : $- a^{n} = - (a^{n})$ , alors que dans $(- a)^{n}$ c’est $- a$ qui est élevé à la puissance $n$ .

Exemples

Exposant positif ou nul. $3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ ; $(- 5)^{3} = (- 5) \times (- 5) \times (- 5) = - 125$ ; $7^{0} = 1$ .

Exposant négatif. $4^{- 2} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16} = 0, 0625$ ; ${(\frac{5}{4})}^{- 1} = \frac{4}{5}$ ; ${(\frac{1}{10})}^{- 3} = 10^{3} = 1 000$ .

Signe et parenthèses. $(- 2)^{6} = 64$ (exposant pair) ; $(- 2)^{5} = - 32$ (exposant impair) ; mais $- 2^{6} = - (2^{6}) = - 64$ .

Pourquoi $a^{0} = 1$ ? Pour $a \neq 0$ , $\frac{a^{3}}{a^{3}} = 1$ . Pour que la règle « on soustrait les exposants » (partie suivante) reste vraie, il faut $a^{3 - 3} = a^{0} = 1$ . C’est une convention, choisie pour que les règles de calcul marchent toujours.

Réflexe — Devant $a^{- n}$ , j’écris d’abord $\frac{1}{a^{n}}$ , puis je calcule $a^{n}$ . Devant un signe moins, je cherche les parenthèses : avec, la base est négative et la parité de l’exposant donne le signe ; sans, je calcule la puissance puis je prends l’opposé.

Attention — Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : $5^{- 2} = \frac{1}{25} = 0, 04$ , et non $- 25$ ni $- 10$ . Une puissance d’exposant nul ou négatif exige une base non nulle : $0^{- 2}$ reviendrait à diviser par $0$ . À la calculatrice, je tape les parenthèses : sans elles, $- 3^{2}$ donne $- 9$ .

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Règles de calcul sur les puissances

Ce qu’il faut savoir

Règles de calcul. Pour tous réels $a$ et $b$ non nuls et tous entiers relatifs $n$ et $p$ :

Règle	Formule	Exemple
Produit, même base	$a^{n} \times a^{p} = a^{n + p}$	$2^{4} \times 2^{- 9} = 2^{- 5}$
Quotient, même base	$\frac{a^{n}}{a^{p}} = a^{n - p}$	$\frac{10^{2}}{10^{- 6}} = 10^{8}$
Puissance d’une puissance	$(a^{n})^{p} = a^{n \times p}$	$(3^{- 2})^{4} = 3^{- 8}$
Produit, même exposant	$(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}$	$(2 x)^{3} = 8 x^{3}$
Quotient, même exposant	${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$	${(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16}$

D’où vient la première règle ? Pour des exposants positifs, on compte les facteurs : $a^{3} \times a^{2} = (a \times a \times a) \times (a \times a)$ contient cinq facteurs $a$ , donc $a^{3} \times a^{2} = a^{5} = a^{3 + 2}$ . Les définitions de $a^{0}$ et de $a^{- n}$ sont choisies pour que la règle reste vraie avec tous les entiers relatifs.

Aucune règle pour une somme. $2^{3} + 2^{4} = 8 + 16 = 24$ , alors que $2^{7} = 128$ . On peut seulement calculer, ou factoriser : $a^{n} + a^{n} = 2 \times a^{n}$ .

Exemples

Ramener à une même base. $A = \frac{8^{3} \times 2^{- 5}}{4^{- 2}}$ . On écrit $8 = 2^{3}$ et $4 = 2^{2}$ : $A = \frac{(2^{3})^{3} \times 2^{- 5}}{(2^{2})^{- 2}}$ , soit $A = \frac{2^{9} \times 2^{- 5}}{2^{- 4}} = \frac{2^{4}}{2^{- 4}}$ . Enfin $A = 2^{4 - (- 4)} = 2^{8}$ , donc $A = 256$ .

Même exposant. $0, 5^{7} \times 2^{7} = (0, 5 \times 2)^{7} = 1^{7} = 1$ .

Avec une lettre ( $x \neq 0$ ). $\frac{6 x^{4}}{2 x^{- 1}} = \frac{6}{2} \times x^{4 - (- 1)} = 3 x^{5}$ .

Réflexe — J’écris toutes les bases comme puissances d’une même base ( $4 = 2^{2}$ , $8 = 2^{3}$ , $9 = 3^{2}$ , $25 = 5^{2}$ , $27 = 3^{3}$ …). Je fais disparaître les parenthèses avec $(a^{n})^{p} = a^{n p}$ , je regroupe le numérateur avec $a^{n} \times a^{p} = a^{n + p}$ , puis je divise avec $\frac{a^{n}}{a^{p}} = a^{n - p}$ .

Attention — On additionne les exposants d’un produit, on ne les multiplie pas : $10^{3} \times 10^{4} = 10^{7}$ , et non $10^{12}$ ; on les multiplie seulement pour une puissance de puissance, $(10^{3})^{4} = 10^{12}$ . On ne multiplie pas les bases : $3^{2} \times 3^{5} = 3^{7}$ , et non $9^{7}$ . Et $3^{2} + 3^{2} = 2 \times 3^{2} = 18$ : ce n’est ni $3^{4} = 81$ ni $6^{2} = 36$ .

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Puissances de 10 et notation scientifique

Ce qu’il faut savoir

Puissances de 10. Pour tout entier $n ⩾ 1$ : $10^{n}$ s’écrit « 1 » suivi de $n$ zéros, et $10^{- n} = \frac{1}{10^{n}}$ s’écrit avec le chiffre 1 au $n$ -ième rang après la virgule. Multiplier par $10^{n}$ décale la virgule de $n$ rangs vers la droite ; multiplier par $10^{- n}$ la décale de $n$ rangs vers la gauche.

Préfixe	Facteur	Préfixe	Facteur
giga (G)	$10^{9}$	milli (m)	$10^{- 3}$
méga (M)	$10^{6}$	micro (µ)	$10^{- 6}$
kilo (k)	$10^{3}$	nano (n)	$10^{- 9}$

Aires et volumes. $1$ cm $= 10^{- 2}$ m, donc $1$ cm² $= (10^{- 2})^{2}$ m² $= 10^{- 4}$ m² et $1$ cm³ $= (10^{- 2})^{3}$ m³ $= 10^{- 6}$ m³.

Notation scientifique. Tout nombre décimal positif non nul s’écrit de manière unique $a \times 10^{n}$ , avec $1 ⩽ a < 10$ et $n$ entier relatif. Un nombre négatif s’écrit $- a \times 10^{n}$ , avec le même $a$ que pour son opposé.

Exemples

Puissances de 10. $10^{5} = 100 000$ ; $10^{- 4} = 0, 000 1$ .

Passer en notation scientifique. $57 300 = 5, 73 \times 10^{4}$ (virgule déplacée de 4 rangs vers la gauche) ; $0, 000 806 = 8, 06 \times 10^{- 4}$ (virgule déplacée de 4 rangs vers la droite) ; $- 0, 019 = - 1, 9 \times 10^{- 2}$ .

Calculer en notation scientifique. $B = \frac{6, 3 \times 10^{5} \times 4 \times 10^{- 9}}{1, 8 \times 10^{- 2}}$ . On sépare les décimaux et les puissances de 10 : $B = \frac{6, 3 \times 4}{1, 8} \times \frac{10^{5} \times 10^{- 9}}{10^{- 2}}$ , soit $B = \frac{25, 2}{1, 8} \times 10^{- 4 + 2} = 14 \times 10^{- 2}$ . Or $14 = 1, 4 \times 10^{1}$ , donc $B = 1, 4 \times 10^{1 - 2} = 1, 4 \times 10^{- 1}$ .

Réflexe — Pour un calcul, je regroupe les décimaux d’un côté et les puissances de 10 de l’autre, je calcule chaque partie, puis je réajuste pour que le nombre devant la puissance de 10 soit entre 1 (inclus) et 10 (exclu). Contrôle : un nombre supérieur ou égal à 10 a un exposant positif, un nombre entre 0 et 1 un exposant négatif, un nombre entre 1 et 10 l’exposant 0.

Attention — $25 \times 10^{3}$ et $0, 25 \times 10^{5}$ valent bien $25 000$ , mais ne sont pas des notations scientifiques : on écrit $2, 5 \times 10^{4}$ . Décaler la virgule de $a$ de $k$ rangs vers la gauche augmente l’exposant de $k$ . Et $1$ cm² ne vaut pas $10^{- 2}$ m² : on élève au carré le facteur de conversion.

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Chiffres significatifs et arrondis

Ce qu’il faut savoir

Chiffres significatifs. Dans l’écriture décimale d’un nombre, les chiffres significatifs sont tous les chiffres à partir du premier chiffre non nul, en lisant de gauche à droite. Les zéros placés avant ce premier chiffre ne comptent pas ; les zéros placés après comptent.

En notation scientifique $a \times 10^{n}$ , les chiffres significatifs sont exactement ceux de $a$ : la puissance de 10 ne donne que la place de la virgule.

Arrondir à $k$ chiffres significatifs. On garde les $k$ premiers chiffres significatifs et on regarde le chiffre suivant : s’il vaut $0$ , $1$ , $2$ , $3$ ou $4$ , on ne change rien ; s’il vaut $5$ , $6$ , $7$ , $8$ ou $9$ , on augmente de $1$ le dernier chiffre gardé. Les chiffres de la partie entière qui ne sont pas gardés deviennent des zéros ; la notation scientifique évite toute ambiguïté.

Dans un problème (règle pratique, la même qu’en physique-chimie) : on calcule avec les valeurs non arrondies et on n’arrondit qu’à la fin. Le résultat d’un produit ou d’un quotient se donne avec autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.

Exemples

Compter. $0, 004 07$ a $3$ chiffres significatifs ( $4$ , $0$ et $7$ ) ; $2, 50$ en a $3$ ; $12, 030$ en a $5$ ; $6, 02 \times 10^{23}$ en a $3$ .

Arrondir. $0, 006 472 8$ arrondi à $2$ chiffres significatifs : on garde $6$ et $4$ ; le chiffre suivant est $7$ , donc on obtient $0, 006 5$ . $48 763$ arrondi à $3$ chiffres significatifs : $48 800$ , c’est-à-dire $4, 88 \times 10^{4}$ .

Une retenue. $9, 97$ arrondi à $2$ chiffres significatifs : le $9$ des dixièmes passe à $10$ , d’où $10$ , que l’on écrit $1, 0 \times 10^{1}$ pour montrer les $2$ chiffres significatifs.

Dans un problème. Un chariot parcourt $42, 7$ m en $6, 1$ s. Sa vitesse moyenne vaut $42, 7 \div 6, 1 = 7$ m/s. La durée n’a que $2$ chiffres significatifs : on écrit $v = 7, 0$ m/s, et non $7$ m/s (un seul chiffre significatif) ni $7, 000$ m/s.

Réflexe — Je repère le premier chiffre non nul et je compte à partir de lui. Pour arrondir, je regarde le chiffre juste après le dernier gardé. En fin de problème, je donne autant de chiffres significatifs que la donnée la moins précise, de préférence en notation scientifique.

Attention — Arrondir trop tôt fausse le résultat : on garde la valeur de la calculatrice dans les calculs intermédiaires. Un zéro final compte : $0, 50$ a $2$ chiffres significatifs, $0, 5$ n’en a qu’un. Pour un entier comme $4 500$ , l’écriture ne dit pas si les zéros sont significatifs : $4, 5 \times 10^{3}$ ( $2$ chiffres) ou $4, 50 \times 10^{3}$ ( $3$ chiffres) lève le doute.

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Ordres de grandeur et comparaisons

Ce qu’il faut savoir

Ordre de grandeur d’un nombre. Soit un nombre positif écrit $a \times 10^{n}$ en notation scientifique. Avec la convention de ce cours (il en existe d’autres, par exemple en physique-chimie), son ordre de grandeur est $10^{n}$ si $a < 5$ , et $10^{n + 1}$ si $a ⩾ 5$ . Un ordre de grandeur est toujours une puissance de 10.

Ordre de grandeur d’un calcul. On remplace chaque nombre par une valeur approchée à un chiffre significatif, puis on calcule de tête, chiffres d’un côté, puissances de 10 de l’autre. C’est le contrôle de vraisemblance d’un résultat de calculatrice.

Comparer deux nombres positifs en notation scientifique. Le plus grand est celui qui a le plus grand exposant ; à exposant égal, on compare les nombres $a$ . « Combien de fois plus grand » se calcule par un quotient.

Comparer deux puissances (propriété admise) : si $0 < u < v$ , alors $u^{n} < v^{n}$ pour tout entier $n ⩾ 1$ . On cherche donc un exposant commun.

Algorithme. Pour $a > 1$ et $M > 0$ , cette fonction Python renvoie le plus petit entier $n$ tel que $a^{n} > M$ :

def premiere_puissance(a, M):
    n = 0
    p = 1
    while p <= M:
        n = n + 1
        p = p * a
    return n

Pour $0 < a < 1$ , la condition while p >= M: donne de même le plus petit entier $n$ tel que $a^{n} < M$ .

Exemples

Ordre de grandeur. La masse de la Terre vaut $5, 97 \times 10^{24}$ kg ; comme $5, 97 ⩾ 5$ , son ordre de grandeur est $10^{25}$ kg. Le nombre $2, 4 \times 10^{- 5}$ a pour ordre de grandeur $10^{- 5}$ , car $2, 4 < 5$ .

Estimer un calcul. $\frac{487 \times 0, 0213}{1, 96} \approx \frac{500 \times 0, 02}{2} = 5$ (la calculatrice donne environ $5, 29$ ).

Estimer une situation. Battements d’un cœur en 80 ans, à 70 battements par minute : $70 \times 60 \times 24 \times 365 \times 80$ . On a $70 \times 60 = 4 200 \approx 4 \times 10^{3}$ , $24 \times 365 = 8 760 \approx 9 \times 10^{3}$ et $80 = 8 \times 10$ . D’où environ $4 \times 9 \times 8 \times 10^{7} = 288 \times 10^{7}$ , soit $2, 9 \times 10^{9}$ environ : l’ordre de grandeur est $10^{9}$ battements (valeur exacte : $2 943 360 000$ ).

Comparer. $9, 8 \times 10^{- 4} < 4, 1 \times 10^{- 3}$ , car $- 4 < - 3$ : quand les exposants diffèrent, on ne compare pas $9, 8$ et $4, 1$ . Un millimètre vaut $10^{- 3}$ m et un nanomètre $10^{- 9}$ m : $\frac{10^{- 3}}{10^{- 9}} = 10^{6}$ , donc un millimètre est un million de fois plus long qu’un nanomètre.

Exposant commun. $5^{20} = (5^{2})^{10} = 25^{10}$ et $3^{30} = (3^{3})^{10} = 27^{10}$ . Comme $0 < 25 < 27$ , on a $25^{10} < 27^{10}$ , donc $5^{20} < 3^{30}$ .

Python. premiere_puissance(3, 10**6) renvoie $13$ : $3^{12} = 531 441 ⩽ 10^{6}$ et $3^{13} = 1 594 323 > 10^{6}$ .

Réflexe — J’écris le nombre en notation scientifique et je regarde le nombre devant la puissance de 10 : moins de 5, je garde l’exposant ; 5 ou plus, j’ajoute 1. Pour comparer deux puissances de bases différentes, je cherche un exposant commun.

Attention — L’ordre de grandeur de $6, 3 \times 10^{8}$ est $10^{9}$ , et non $10^{8}$ : il faut regarder le nombre devant la puissance de 10. Un ordre de grandeur n’est pas une valeur approchée : « $3 \times 10^{6}$ » n’en est pas un. Pour une somme, on calcule d’abord la somme, puis on cherche son ordre de grandeur.

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Pour aller plus loin

Racines carrées. Les règles $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ et $\sqrt{a^{2}} = | a |$ , la simplification et l’encadrement d’une racine sont traités dans le chapitre Racines carrées.

Calcul littéral. Développer, factoriser, utiliser les identités remarquables et isoler une variable dans une formule comme $V = π r^{2} h$ : chapitre Calcul littéral et expressions fractionnaires.

Comparer par différence ou par quotient. La comparaison additive (signe de $a - b$ ) et la comparaison multiplicative (rapport $\frac{a}{b}$ de deux nombres positifs) sont reprises avec les inégalités dans le chapitre Inégalités et inéquations.

Boucles en Python. Les boucles while et for et l’écriture de fonctions sont détaillées dans le chapitre Algorithmique et programmation.

À retenir

$a^{0} = 1$ et $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ pour $a \neq 0$ ; un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif ; $- a^{n} \neq (- a)^{n}$ .
$a^{n} \times a^{p} = a^{n + p}$ , $\frac{a^{n}}{a^{p}} = a^{n - p}$ , $(a^{n})^{p} = a^{n p}$ , $(a b)^{n} = a^{n} b^{n}$ ; aucune règle pour une somme.
Notation scientifique : $a \times 10^{n}$ avec $1 ⩽ a < 10$ ; $1$ cm² $= 10^{- 4}$ m², $1$ cm³ $= 10^{- 6}$ m³.
Chiffres significatifs : à partir du premier chiffre non nul ; on arrondit à la fin, avec autant de chiffres que la donnée la moins précise.
Ordre de grandeur de $a \times 10^{n}$ : $10^{n}$ si $a < 5$ , $10^{n + 1}$ si $a ⩾ 5$ ; « combien de fois » = un quotient.

Questions fréquentes

Que vaut un nombre à une puissance négative ?

Pour a non nul, a⁻ⁿ = 1/aⁿ : c’est l’inverse de aⁿ. Par exemple 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il donne un nombre plus petit que 1 quand la base est plus grande que 1.

Quand additionne-t-on ou multiplie-t-on les exposants ?

On additionne les exposants pour un produit de puissances de même base (aⁿ × aᵖ = aⁿ⁺ᵖ), on les soustrait pour un quotient, on les multiplie pour une puissance de puissance ((aⁿ)ᵖ = aⁿᵖ). Pour une somme comme aⁿ + aᵖ, il n’existe aucune règle : on calcule ou on factorise.

Comment écrire un nombre en notation scientifique ?

On l’écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif. On place la virgule après le premier chiffre non nul ; si on l’a déplacée de k rangs vers la gauche, n = k ; vers la droite, n = −k. Exemple : 0,000 42 = 4,2 × 10⁻⁴.

Comment compter les chiffres significatifs d’un nombre ?

On compte tous les chiffres à partir du premier chiffre non nul, en lisant de gauche à droite : les zéros placés devant ne comptent pas, ceux placés après comptent. 0,030 2 a trois chiffres significatifs ; en notation scientifique, ce sont les chiffres de a.

Comment trouver l’ordre de grandeur d’un nombre ?

On l’écrit a × 10ⁿ en notation scientifique. Avec la convention de ce cours, l’ordre de grandeur est 10ⁿ si a < 5 et 10ⁿ⁺¹ si a ≥ 5. Pour un calcul, on arrondit chaque nombre à un chiffre significatif et on calcule de tête.

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