Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques
Calcul numérique (puissances, racines carrées)
Maîtriser les puissances entières et les racines carrées pour simplifier et calculer efficacement — programme de 2nde générale
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en seconde sur « Calcul numérique (puissances, racines carrées) » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Puissances entières positives, Puissances de 10 et notation scientifique, Puissances d'exposant négatif ou nul, Règles de calcul sur les puissances. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.
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Puissances entières positives
Pour tout réel a et tout entier n ≥ 1, la puissance n-ième de $a$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ :
Définition. $a^{n} = a \times a \times … \times a$ ($n$ fois), avec $a⁰ = 1$ (pour $a$ ≠ 0) et $a¹ = a$.
Vocabulaire : $a$ est la base, $n$ est l'exposant.
Exemple. $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ ; $(-3)^{2} = (-3) \times (-3) = 9$ ; $(-3)^{3} = -27$.
Attention ! $(-a)^{2}$ et $-a^{2}$ sont différents :
(-3)² = 9 mais −3² = −9 (le signe « − » n'est pas dans la base).
(-3)² = 9 mais −3² = −9 (le signe « − » n'est pas dans la base).
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Puissances de 10 et notation scientifique
Les puissances de 10 permettent d'exprimer des nombres très grands ou très petits.
| Puissance | Valeur | Préfixe SI |
|---|---|---|
| 10³ | 1 000 | kilo (k) |
| 10⁶ | 1 000 000 | méga (M) |
| 10⁻³ | 0,001 | milli (m) |
| 10⁻⁶ | 0,000 001 | micro (µ) |
Notation scientifique. Tout nombre peut s'écrire sous la forme $a \times 10^{n}$ avec $1 \leq |a| \lt 10$ et $n$ entier relatif.
Exemple. La distance Terre-Soleil est environ 1,496 × 10⁸ km. Le diamètre d'un globule rouge est environ 8 × 10⁻⁶ m.
Astuce. Pour passer à la notation scientifique, décale la virgule jusqu'à avoir un chiffre non nul avant elle, puis ajuste l'exposant de 10 en conséquence.
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Puissances d'exposant négatif ou nul
Définition. Pour tout réel a ≠ 0 et tout entier n ≥ 0 :
$a⁰ = 1$ ; $a⁻^{n} = 1 / a^{n}$.
$a⁰ = 1$ ; $a⁻^{n} = 1 / a^{n}$.
Exemples.
- $5⁰ = 1$, $(-7)⁰ = 1$, $\pi ⁰ = 1$
- $2⁻^{3} = 1/2^{3} = 1/8 = 0,125$
- $10⁻^{2} = 1/100 = 0,01$
Attention ! $0⁰$ est une forme indéterminée : elle n'est pas définie au lycée.
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Règles de calcul sur les puissances
Ces règles s'appliquent pour tout réel $a$ ≠ 0 et tous entiers relatifs $m$, $n$.
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit de même base | $a^{n} \times aᵐ = a^{n}⁺ᵐ$ | 3² × 3⁴ = 3⁶ = 729 |
| Quotient de même base | $a^{n} / aᵐ = a^{n}⁻ᵐ$ | 5⁵ / 5² = 5³ = 125 |
| Puissance d'une puissance | $(a^{n})ᵐ = a^{n}ˣᵐ$ | (2³)⁴ = 2¹² = 4096 |
| Produit (exposant commun) | $(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}$ | (2 × 5)³ = 8 × 125 = 1000 |
| Quotient (exposant commun) | $(a / b)^{n} = a^{n} / b^{n}$ | (3/2)² = 9/4 |
Attention ! Ces règles ne s'appliquent PAS à des sommes ou différences :
$(a + b)^{n} \neq a^{n} + b^{n}$ en général. Par exemple (2+3)² = 25 ≠ 4 + 9 = 13.
$(a + b)^{n} \neq a^{n} + b^{n}$ en général. Par exemple (2+3)² = 25 ≠ 4 + 9 = 13.
Exemple résolu. Simplifier $(3^{2} \times 3⁻^{5}) / 3⁻¹$.
Numérateur : 3² × 3⁻⁵ = 3²⁺⁽⁻⁵⁾ = 3⁻³.
Résultat : 3⁻³ / 3⁻¹ = 3⁻³⁻⁽⁻¹⁾ = 3⁻² = 1/9.
Numérateur : 3² × 3⁻⁵ = 3²⁺⁽⁻⁵⁾ = 3⁻³.
Résultat : 3⁻³ / 3⁻¹ = 3⁻³⁻⁽⁻¹⁾ = 3⁻² = 1/9.
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Racine carrée : définition et propriétés
Définition. Pour tout réel a ≥ 0, la racine carrée de $a$, notée $\sqrta$, est l'unique réel positif ou nul tel que $(\sqrta)^{2} = a$.
Attention : la racine carrée n'est définie que pour les réels positifs ou nuls.
Exemples.
- √9 = 3 (car 3² = 9 et 3 ≥ 0)
- √0 = 0
- √2 ≈ 1,4142 (irrationnel)
- √(0,25) = 0,5 (car 0,5² = 0,25)
Propriété fondamentale. Pour tout réel $a$, $(\sqrta)^{2} = a$ dès que a ≥ 0, et $\sqrt(a^{2}) = |a|$ pour tout réel $a$.
Attention ! $\sqrt(a^{2}) = |a|$ et non $a$ en général. Par exemple : √((-3)²) = √9 = 3 = |-3|, pas -3.
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Règles de calcul sur les racines carrées
Pour tous réels a ≥ 0 et b ≥ 0 :
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit | $\sqrt(a \times b) = \sqrta \times \sqrtb$ | √12 = √(4 × 3) = 2√3 |
| Quotient | $\sqrt(a / b) = \sqrta / \sqrtb$ (b > 0) | √(9/16) = 3/4 |
| Puissance | $\sqrt(a^{2}) = |a|$ | √25 = √(5²) = 5 |
Attention ! $\sqrt(a + b) \neq \sqrta + \sqrtb$ en général. Par exemple : √(9+16) = √25 = 5, mais √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
Exemple résolu. Simplifier $\sqrt75$.
75 = 25 × 3, donc √75 = √(25 × 3) = √25 × √3 = 5√3.
75 = 25 × 3, donc √75 = √(25 × 3) = √25 × √3 = 5√3.
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Simplification et mise sous forme canonique
L'objectif est d'écrire une expression sous sa forme la plus simple, en faisant sortir les facteurs carrés parfaits du radical et en réduisant les expressions comportant des puissances.
Méthode pour simplifier √n (n entier).
- 1. Décomposer $n$ en facteurs premiers.
- 2. Faire sortir les puissances paires : √(p²ᵏ × r) = pᵏ × √r.
Exemples.
- √180 = √(36 × 5) = 6√5
- √(48 / 3) = √16 = 4
Pour les puissances, il faut mettre une même base et comparer les exposants :
Exemple. Comparer 2⁹ et 3⁶.
2⁹ = 512 ; 3⁶ = 729 ; donc 2⁹ < 3⁶.
2⁹ = 512 ; 3⁶ = 729 ; donc 2⁹ < 3⁶.
Astuce pour rationaliser. Pour éliminer un radical au dénominateur : multiplier par √a / √a.
Exemple : 1/√2 = √2/2.
Exemple : 1/√2 = √2/2.
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Ordre de grandeur et estimations
Un ordre de grandeur est une puissance de 10 permettant d'encadrer un nombre.
Méthode. Pour trouver l'ordre de grandeur de $x$, on cherche la puissance de 10 la plus proche. Si $x$ est plus proche de 10ⁿ que de 10ⁿ⁺¹, l'ordre de grandeur est 10ⁿ.
Exemple. La population mondiale est environ 8,1 × 10⁹ ≈ 10¹⁰. L'ordre de grandeur est 10¹⁰.
Calcul approché. Pour estimer rapidement un produit ou quotient, remplacer chaque facteur par son ordre de grandeur puis calculer. Exemple : 38 600 × 0,0052 ≈ 4 × 10⁴ × 5 × 10⁻³ = 20 × 10¹ = 200.
Attention ! L'ordre de grandeur n'est qu'une estimation : ne pas l'utiliser pour des calculs exacts.
À retenir
- Puissances : aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ ; aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ ; (aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ ; a⁰ = 1 ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
- Racines : √(ab) = √a × √b ; √(a/b) = √a/√b ; √(a²) = |a|.
- Pièges : (a+b)ⁿ ≠ aⁿ+bⁿ ; √(a+b) ≠ √a+√b ; √(a²) = |a| (pas a).
- Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10.
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