Puissances et notation scientifique

Calculer sans calculatrice. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5), sous forme irréductible.

1. $6^3=$
   $6^3=6\times 6\times 6=36\times 6=216$.
2. $(-4{)}^3=$
   $(-4{)}^3=(-4)\times (-4)\times (-4)=16\times (-4)=-64$. La base est négative et l’exposant impair : le résultat est négatif.
3. $-5^4=$
   Sans parenthèses, l’exposant ne porte que sur $5$ : $-5^4=-(5\times 5\times 5\times 5)=-625$.
4. $9^{-2}=$
   Par définition d’un exposant négatif : $9^{-2}={\displaystyle \frac{1}{9^2}}={\displaystyle \frac{1}{81}}$.
5. ${\left({\displaystyle \frac{3}{7}}\right)}^{-2}=$
   L’exposant négatif renverse la fraction : ${\left({\displaystyle \frac{3}{7}}\right)}^{-2}={\left({\displaystyle \frac{7}{3}}\right)}^2={\displaystyle \frac{7^2}{3^2}}={\displaystyle \frac{49}{9}}$.

Donner l’écriture décimale de chaque nombre.

1. $2^{-5}=$
   $2^{-5}={\displaystyle \frac{1}{2^5}}={\displaystyle \frac{1}{32}}=0,03125$.
2. $(-0,2{)}^3=$
   $(-0,2{)}^3=(-0,2)\times (-0,2)\times (-0,2)=0,04\times (-0,2)=-0,008$ (exposant impair : négatif).
3. $0,5^{-2}=$
   $0,5^{-2}={\displaystyle \frac{1}{0,5^2}}={\displaystyle \frac{1}{0,25}}=4$. Avec une base entre $0$ et $1$, l’exposant négatif donne un nombre plus grand que $1$.
4. $(-1{)}^{15}=$
   $(-1{)}^{15}$ : quinze facteurs $-1$, nombre impair de signes moins, donc $(-1{)}^{15}=-1$.
5. ${11}^0=$
   Pour toute base non nulle, $a^0=1$ : ${11}^0=1$.

Attention aux signes et aux parenthèses. Donner le résultat sous forme d’un entier ou d’un décimal.

1. $-(-2{)}^4=$
   $(-2{)}^4=16$ (exposant pair), puis on prend l’opposé : $-(-2{)}^4=-16$.
2. $(-1{)}^7\times 3^2=$
   $(-1{)}^7=-1$ (exposant impair) et $3^2=9$, donc le produit vaut $-1\times 9=-9$.
3. $-4^{-1}=$
   L’exposant porte sur $4$ seulement : $-4^{-1}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}=-0,25$.
4. ${\displaystyle \frac{(-3{)}^3}{-3^2}}=$
   Numérateur : $(-3{)}^3=-27$. Dénominateur : $-3^2=-(3^2)=-9$. Donc le quotient vaut ${\displaystyle \frac{-27}{-9}}=3$.

Exposant négatif et base négative. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Démontrer que, pour tout réel $a\ne 0$, $(-a{)}^{-3}=-a^{-3}$. Application : $(-2{)}^{-3}=$
   Rédaction attendue. Soit $a$ un réel non nul. On a $(-a{)}^3=(-a)\times (-a)\times (-a)=-(a\times a\times a)=-a^3$, car le produit de trois signes moins est négatif. Par définition d’un exposant négatif, $(-a{)}^{-3}={\displaystyle \frac{1}{(-a{)}^3}}={\displaystyle \frac{1}{-a^3}}=-{\displaystyle \frac{1}{a^3}}=-a^{-3}$. Application avec $a=2$ : $(-2{)}^{-3}=-2^{-3}=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$, soit $-0,125$.
2. L’entier $n$ tel que $5^n={\displaystyle \frac{1}{125}}$ est $n=$
   $125=5^3$, donc ${\displaystyle \frac{1}{125}}={\displaystyle \frac{1}{5^3}}=5^{-3}$ : $n=-3$.
3. L’entier $n$ tel que ${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n={\displaystyle \frac{9}{4}}$ est $n=$
   ${\displaystyle \frac{9}{4}}={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2$, et renverser la fraction revient à changer le signe de l’exposant : ${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{-2}$. Donc $n=-2$.

Écrire chaque nombre sous la forme d’une seule puissance, puis compléter.

1. $7^4\times 7^{-9}=7^n$ avec $n=$
   Produit de puissances de même base : on additionne les exposants. $7^4\times 7^{-9}=7^{4+(-9)}=7^{-5}$.
2. ${\displaystyle \frac{{13}^2}{{13}^{-6}}}={13}^n$ avec $n=$
   Quotient de même base : on soustrait les exposants. ${\displaystyle \frac{{13}^2}{{13}^{-6}}}={13}^{2-(-6)}={13}^{2+6}={13}^8$.
3. $(6^{-3}{)}^{-4}=6^n$ avec $n=$
   Puissance d’une puissance : on multiplie les exposants. $(6^{-3}{)}^{-4}=6^{(-3)\times (-4)}=6^{12}$.
4. $4^6\times 2,5^6=b^6$ avec $b=$
   Même exposant : $a^n\times b^n=(a\times b{)}^n$. $4^6\times 2,5^6=(4\times 2,5{)}^6={10}^6$.

Écrire chaque nombre comme une puissance d’un entier, puis donner sa valeur.

1. $A={\displaystyle \frac{3^7\times 3^{-2}}{3^4}}=$
   Numérateur : $3^7\times 3^{-2}=3^{7-2}=3^5$. Puis $A={\displaystyle \frac{3^5}{3^4}}=3^{5-4}=3^1=3$.
2. $B={\displaystyle \frac{(5^2{)}^{-3}\times 5^9}{5^{-1}}}=$
   $(5^2{)}^{-3}=5^{2\times (-3)}=5^{-6}$, puis $5^{-6}\times 5^9=5^3$. Ainsi $B={\displaystyle \frac{5^3}{5^{-1}}}=5^{3-(-1)}=5^4=625$.
3. $C={\displaystyle \frac{{27}^2\times 9^{-3}}{3^{-2}}}=$
   Tout en base 3 : ${27}^2=(3^3{)}^2=3^6$ et $9^{-3}=(3^2{)}^{-3}=3^{-6}$. Le numérateur vaut $3^6\times 3^{-6}=3^0=1$. Donc $C={\displaystyle \frac{3^0}{3^{-2}}}=3^{0-(-2)}=3^2=9$.
4. Démontrer que $D={\displaystyle \frac{{16}^3\times 8^{-2}}{32}}$ est un nombre entier : $D=$
   Rédaction attendue. On écrit tout en base 2 : $16=2^4$, $8=2^3$ et $32=2^5$. Donc ${16}^3=(2^4{)}^3=2^{12}$ et $8^{-2}=(2^3{)}^{-2}=2^{-6}$ (puissance d’une puissance). Le numérateur vaut $2^{12}\times 2^{-6}=2^{12-6}=2^6$ (produit de même base). Enfin $D={\displaystyle \frac{2^6}{2^5}}=2^{6-5}=2^1=2$ (quotient de même base). $D=2$ est bien un nombre entier.

Les lettres $a$, $b$, $x$ et $y$ désignent des réels non nuls. Simplifier, puis compléter.

1. $(2x^3{)}^4=k{x}^p$ : $k=$ et $p=$
   Puissance d’un produit : $(2x^3{)}^4=2^4\times (x^3{)}^4=16\times x^{12}=16x^{12}$.
2. ${\displaystyle \frac{x^5\times x^{-8}}{x^{-2}}}=x^p$ : $p=$
   Numérateur : $x^5\times x^{-8}=x^{-3}$. Puis ${\displaystyle \frac{x^{-3}}{x^{-2}}}=x^{-3-(-2)}=x^{-1}$, c’est-à-dire ${\displaystyle \frac{1}{x}}$.
3. $(3a^{-2}b{)}^2\times a^5=k{a}^p{b}^q$ : $k=$ , $p=$ et $q=$
   $(3a^{-2}b{)}^2=3^2\times (a^{-2}{)}^2\times b^2=9a^{-4}{b}^2$. On multiplie par $a^5$ : $9a^{-4+5}{b}^2=9a^1{b}^2=9a{b}^2$.
4. ${\displaystyle \frac{(x{y}^2{)}^3}{x^{4}y}}=x^p{y}^q$ : $p=$ et $q=$
   $(x{y}^2{)}^3=x^3\times (y^2{)}^3=x^3{y}^6$. Donc ${\displaystyle \frac{x^3{y}^6}{x^4{y}^1}}=x^{3-4}{y}^{6-1}=x^{-1}{y}^5$, soit ${\displaystyle \frac{y^5}{x}}$.

Dans une copie, ces quatre égalités sont fausses. Expliquer l’erreur commise, puis donner le résultat correct.

1. $5^3\times 5^4={25}^7$ est faux. Valeur correcte : $5^3\times 5^4=$
   L’élève a multiplié les bases ($5\times 5=25$). Pour un produit de même base, on garde la base et on additionne les exposants : $5^3\times 5^4=5^7=78125$.
2. $({10}^{-2}{)}^3={10}^1$ est faux : $({10}^{-2}{)}^3={10}^n$ avec $n=$
   L’élève a additionné les exposants ($-2+3=1$). Pour une puissance de puissance, on les multiplie : $({10}^{-2}{)}^3={10}^{(-2)\times 3}={10}^{-6}$.
3. $4^{-1}=-4$ est faux. Écriture décimale correcte : $4^{-1}=$
   Confusion entre exposant négatif et nombre négatif : $4^{-1}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ est l’inverse de $4$, soit $0,25$, un nombre positif.
4. Justifier que $2^{10}+2^{10}=2^{20}$ est faux, puis compléter : $2^{10}+2^{10}=2^n$ avec $n=$
   Rédaction attendue. Il n’existe aucune règle qui additionne les exposants d’une somme. On factorise : $2^{10}+2^{10}=2\times 2^{10}=2^1\times 2^{10}=2^{1+10}=2^{11}$ (produit de même base). Or $2^{11}=2048$, alors que $2^{20}=1048576$ : les deux nombres sont différents, l’égalité de la copie est fausse.

Donner la notation scientifique $a\times {10}^n$ de chaque nombre.

1. $38400000$ : $a=$ et $n=$
   On place la virgule après le premier chiffre : $3,84$. Elle a été déplacée de 7 rangs vers la gauche : $38400000=3,84\times {10}^7$.
2. $0,0000517$ : $a=$ et $n=$
   Le premier chiffre non nul, $5$, est au 5e rang après la virgule. On déplace la virgule de 5 rangs vers la droite : $0,0000517=5,17\times {10}^{-5}$.
3. $642\times {10}^{-8}$ : $a=$ et $n=$
   $642=6,42\times {10}^2$, donc $642\times {10}^{-8}=6,42\times {10}^2\times {10}^{-8}=6,42\times {10}^{2-8}=6,42\times {10}^{-6}$.
4. $0,093\times {10}^5$ : $a=$ et $n=$
   $0,093=9,3\times {10}^{-2}$, donc $0,093\times {10}^5=9,3\times {10}^{-2+5}=9,3\times {10}^3$.

Convertir dans l’unité demandée, en notation scientifique : compléter l’exposant.

1. $3,5$ µm $=3,5\times {10}^n$ m avec $n=$
   Le préfixe micro vaut ${10}^{-6}$ : $3,5$ µm $=3,5\times {10}^{-6}$ m.
2. $450$ nm $=4,5\times {10}^n$ m avec $n=$
   $450$ nm $=450\times {10}^{-9}$ m $=4,5\times {10}^2\times {10}^{-9}$ m $=4,5\times {10}^{-7}$ m.
3. $2,4$ GW $=2,4\times {10}^n$ W avec $n=$
   Le préfixe giga vaut ${10}^9$ : $2,4$ GW $=2,4\times {10}^9$ W.
4. $25$ cm³ $=2,5\times {10}^n$ m³ avec $n=$
   $1$ cm³ $=({10}^{-2}{)}^3$ m³ $={10}^{-6}$ m³, donc $25$ cm³ $=25\times {10}^{-6}$ m³ $=2,5\times {10}^1\times {10}^{-6}$ m³ $=2,5\times {10}^{-5}$ m³.
5. $7$ mm² $=7\times {10}^n$ m² avec $n=$
   $1$ mm $={10}^{-3}$ m, donc $1$ mm² $=({10}^{-3}{)}^2$ m² $={10}^{-6}$ m² : $7$ mm² $=7\times {10}^{-6}$ m².

Calculer sans calculatrice et donner chaque résultat en notation scientifique $a\times {10}^n$.

1. $E=3,5\times {10}^6\times 8\times {10}^{-11}$ : $a=$ et $n=$
   $E=(3,5\times 8)\times ({10}^6\times {10}^{-11})=28\times {10}^{-5}$. Or $28=2,8\times {10}^1$, donc $E=2,8\times {10}^{1-5}=2,8\times {10}^{-4}$.
2. $F={\displaystyle \frac{7,2\times {10}^{-3}}{9\times {10}^4}}$ : $a=$ et $n=$
   $F={\displaystyle \frac{7,2}{9}}\times {\displaystyle \frac{{10}^{-3}}{{10}^4}}=0,8\times {10}^{-3-4}=0,8\times {10}^{-7}$. Comme $0,8=8\times {10}^{-1}$ n’est pas entre 1 et 10, on réajuste : $F=8\times {10}^{-1-7}=8\times {10}^{-8}$.
3. $G={\displaystyle \frac{2,4\times {10}^8\times 1,5\times {10}^{-3}}{4,5\times {10}^{-6}}}$ : $a=$ et $n=$
   Décimaux : ${\displaystyle \frac{2,4\times 1,5}{4,5}}={\displaystyle \frac{3,6}{4,5}}=0,8$. Puissances de 10 : ${\displaystyle \frac{{10}^8\times {10}^{-3}}{{10}^{-6}}}={\displaystyle \frac{{10}^5}{{10}^{-6}}}={10}^{5+6}={10}^{11}$. Donc $G=0,8\times {10}^{11}=8\times {10}^{-1}\times {10}^{11}=8\times {10}^{10}$.

On pose $N=2^{15}\times 5^{18}$ et $M=4^{11}\times {25}^9$.

1. Démontrer que $N=125\times {10}^{15}$, puis compléter sa notation scientifique : $N=1,25\times {10}^n$ avec $n=$
   Rédaction attendue. On fait apparaître des produits $2\times 5=10$. On écrit $5^{18}=5^{15}\times 5^3$ (produit de même base). Donc $N=2^{15}\times 5^{15}\times 5^3=(2\times 5{)}^{15}\times 125=125\times {10}^{15}$ (produit de même exposant). Comme $125=1,25\times {10}^2$, $N=1,25\times {10}^{2+15}=1,25\times {10}^{17}$.
2. Nombre de chiffres de l’écriture décimale de $N$ :
   $N=125\times {10}^{15}$ s’écrit « 125 » suivi de 15 zéros, soit $3+15=18$ chiffres.
3. Notation scientifique de $M$ : $M=1,6\times {10}^n$ avec $n=$
   $4^{11}=(2^2{)}^{11}=2^{22}$ et ${25}^9=(5^2{)}^9=5^{18}$. Donc $M=2^{22}\times 5^{18}=2^4\times 2^{18}\times 5^{18}=16\times {10}^{18}=1,6\times {10}^{19}$.
4. Nombre de chiffres de l’écriture décimale de $M$ : ; somme de ces chiffres :
   $M=16\times {10}^{18}$ s’écrit « 16 » suivi de 18 zéros : $2+18=20$ chiffres. Seuls $1$ et $6$ sont non nuls, donc la somme des chiffres vaut $1+6=7$.

Combien de chiffres significatifs chaque nombre a-t-il ?

1. $0,00308$ :
   Les zéros de tête ne comptent pas. On compte à partir du $3$ : $3$, $0$, $8$, soit $3$ chiffres significatifs.
2. $7,50$ :
   $7$, $5$ et le zéro final, qui compte : $3$ chiffres significatifs.
3. $120,4$ :
   Tous les chiffres comptent à partir du premier non nul, y compris le $0$ du milieu : $1$, $2$, $0$, $4$, soit $4$.
4. $6,0\times {10}^5$ :
   En notation scientifique, on compte les chiffres de $a=6,0$ : $2$ chiffres significatifs.
5. $0,0009$ :
   Seul le $9$ est significatif : $1$ chiffre significatif.

Arrondir au nombre de chiffres significatifs demandé. Écris tous les chiffres significatifs, zéros compris.

1. $0,07249$ à 2 chiffres significatifs :
   Premier chiffre non nul : $7$. On garde $7$ et $2$ ; le suivant est $4$, on ne change rien : $0,072$.
2. $12,965$ à 3 chiffres significatifs :
   On garde $1$, $2$ et $9$ ; le suivant est $6$, donc le $9$ augmente de $1$ : $12,9$ devient $13,0$. Le zéro final est écrit : il montre les $3$ chiffres significatifs.
3. $0,6048$ à 2 chiffres significatifs :
   On garde $6$ et $0$ ; le suivant est $4$ : $0,60$. Écrire $0,6$ ne garderait qu’un seul chiffre significatif.
4. $31572$ à 2 chiffres significatifs, en notation scientifique $a\times {10}^n$ : $a=$ et $n=$
   On garde $3$ et $1$ ; le suivant est $5$, donc $1$ devient $2$ : $32000$, c’est-à-dire $3,2\times {10}^4$.

Arrondir, puis écrire le résultat demandé. Écris tous les chiffres significatifs, zéros compris.

1. $1÷7\approx 0,142857$ arrondi à 3 chiffres significatifs :
   On garde $1$, $4$ et $2$ ; le suivant est $8$, donc $2$ devient $3$ : $0,143$.
2. $0,0009996$ arrondi à 3 chiffres significatifs, en notation scientifique : $a=$ et $n=$
   On garde $9$, $9$, $9$ ; le suivant est $6$ : la retenue se propage et donne $0,00100$. En notation scientifique : $1,00\times {10}^{-3}$ (les deux zéros de $1,00$ sont significatifs).
3. $47382$ arrondi à 2 chiffres significatifs, en notation scientifique : $a=$ et $n=$
   On garde $4$ et $7$ ; le suivant est $3$ : $47000=4,7\times {10}^4$.

Choisir le nombre de chiffres significatifs adapté. Les données sont écrites avec tous leurs chiffres significatifs.

1. Un terrain rectangulaire mesure $12,5$ m sur $3,2$ m. Justifier le nombre de chiffres significatifs du résultat, puis écrire son aire en notation scientifique (en m²) : $a=$ et $n=$
   Rédaction attendue. L’aire vaut $12,5\times 3,2=40$ m². C’est un produit : on donne autant de chiffres significatifs que la donnée la moins précise. $12,5$ en a $3$ et $3,2$ en a $2$ : le résultat en a donc $2$. Écrire « $40$ » ne montre pas si le zéro est significatif ; en notation scientifique, l’aire vaut $4,0\times {10}^1$ m².
2. Un coureur parcourt $4,00\times {10}^2$ m en $52,7$ s. Sa vitesse moyenne, avec le nombre de chiffres significatifs adapté : m/s
   $v={\displaystyle \frac{400}{52,7}}\approx 7,590$ m/s. Les deux données ont $3$ chiffres significatifs : $v\approx 7,59$ m/s.
3. Le volume d’un cube d’arête $2,36$ cm, avec le nombre de chiffres significatifs adapté : cm³
   $V=2,{36}^3=13,144256$ cm³, arrondi à $3$ chiffres significatifs : $13,1$ cm³. Si l’on arrondissait d’abord l’arête à $2,4$ cm, on trouverait $2,4^3=13,824$, soit $13,8$ cm³ : arrondir trop tôt fausse le résultat.

L’ordre de grandeur de chaque nombre s’écrit ${10}^n$ : compléter $n$.

1. $7,4\times {10}^{-8}$ : $n=$
   Comme $7,4⩾5$, l’ordre de grandeur est ${10}^{-8+1}={10}^{-7}$.
2. $0,00023$ : $n=$
   $0,00023=2,3\times {10}^{-4}$ et $2,3<5$ : ordre de grandeur ${10}^{-4}$.
3. $61800$ : $n=$
   $61800=6,18\times {10}^4$ et $6,18⩾5$ : ordre de grandeur ${10}^5$.

On donne $A=4,5\times {10}^{-3}$, $B=0,0381$, $C=52\times {10}^{-4}$ et $D=3,9\times {10}^{-2}$.

1. Les quatre lettres rangées dans l’ordre croissant des nombres (exemple d’écriture : B D A C) :
   En écriture décimale : $A=0,0045$ ; $C=0,0052$ ; $B=0,0381$ ; $D=0,039$. Donc $A<C<B<D$. Attention : $52\times {10}^{-4}$ n’est pas une notation scientifique, il vaut $5,2\times {10}^{-3}$.
2. Sans calculatrice, l’ordre de grandeur de ${\displaystyle \frac{3980\times 0,0512}{0,0197}}$ est ${10}^n$ avec $n=$
   On arrondit chaque nombre à un chiffre significatif : $3980\approx 4\times {10}^3$, $0,0512\approx 5\times {10}^{-2}$, $0,0197\approx 2\times {10}^{-2}$. Alors ${\displaystyle \frac{4\times {10}^3\times 5\times {10}^{-2}}{2\times {10}^{-2}}}={\displaystyle \frac{20}{2}}\times {10}^{3-2+2}=10\times {10}^3={10}^4$ (la calculatrice donne environ $10344$).

Comparer par un quotient ; chercher une première puissance. La calculatrice est permise.

1. Une bactérie mesure $3\times {10}^{-6}$ m et un virus $1,2\times {10}^{-7}$ m. La bactérie est fois plus longue que le virus.
   On calcule le quotient : ${\displaystyle \frac{3\times {10}^{-6}}{1,2\times {10}^{-7}}}={\displaystyle \frac{3}{1,2}}\times {10}^{-6+7}=2,5\times {10}^1=25$.
2. Avec la fonction premiere_puissance du cours, premiere_puissance(1.5, 100) renvoie
   La fonction renvoie le plus petit $n$ tel que $1,5^n>100$. Or $1,5^{11}\approx 86,5⩽100$ et $1,5^{12}\approx 129,7>100$ : elle renvoie $12$.
3. Le plus petit entier $n$ tel que $0,9^n<0,5$ est $n=$
   Les puissances de $0,9$ diminuent : $0,9^6\approx 0,531⩾0,5$ et $0,9^7\approx 0,478<0,5$. Donc $n=7$.

On admet que si $0<u<v$, alors $u^n<v^n$ pour tout entier $n⩾1$. Répondre sans calculatrice, en justifiant.

1. Démontrer que $2^{50}>{10}^{15}$. Valeur de $2^{10}$ utilisée :
   Rédaction attendue. On a $2^{10}=1024$ et ${10}^3=1000$, donc $0<{10}^3<2^{10}$. D’après la propriété admise avec $n=5$ : $({10}^3{)}^5<(2^{10}{)}^5$. Par la règle de la puissance d’une puissance, $({10}^3{)}^5={10}^{15}$ et $(2^{10}{)}^5=2^{50}$. Conclusion : $2^{50}>{10}^{15}$.
2. Comparer $3^{40}$ et $4^{30}$ avec l’exposant commun $10$ : $3^{40}=b^{10}$ avec $b=$ et $4^{30}=c^{10}$ avec $c=$
   $3^{40}=(3^4{)}^{10}={81}^{10}$ et $4^{30}=(4^3{)}^{10}={64}^{10}$. Comme $0<64<81$, ${64}^{10}<{81}^{10}$ : $3^{40}>4^{30}$, bien que la base $3$ soit plus petite que $4$.
3. Montrer que $5^{-9}>2^{-21}$ avec l’exposant commun $3$ : $5^9=b^3$ avec $b=$ et $2^{21}=c^3$ avec $c=$
   Rédaction attendue. $5^9=(5^3{)}^3={125}^3$ et $2^{21}=(2^7{)}^3={128}^3$. Comme $0<125<128$, la propriété admise donne ${125}^3<{128}^3$, c’est-à-dire $0<5^9<2^{21}$. Deux nombres positifs sont rangés dans l’ordre inverse de leurs inverses : ${\displaystyle \frac{1}{5^9}}>{\displaystyle \frac{1}{2^{21}}}$. Par définition des exposants négatifs, $5^{-9}>2^{-21}$.