Racines carrées

Définition de √a, propriétés √(ab) et √(a/b), simplification, somme de racines, rendre rationnel un dénominateur, comparaison et encadrement, √(a²) = |a|

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Ces problèmes corrigés sur « Racines carrées » en seconde permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de seconde et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, Produit et quotient de racines carrées, Simplifier et additionner des racines, Rendre rationnel un dénominateur. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en seconde.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Le format A4 et le nombre $\sqrt{2}$

Moyen

Les feuilles de format A (A3, A4, A5…) sont des rectangles dont le rapport longueur sur largeur vaut $\sqrt{2}$ : coupée en deux, une feuille donne deux feuilles du format suivant, de même forme. Une feuille A4 mesure $21$ cm sur $29, 7$ cm.

1. a) Calculer $1, 414^{2}$ et $1, 415^{2}$ . En déduire un encadrement de $\sqrt{2}$ d'amplitude $0, 001$ .
1. b) Le rapport $\frac{29, 7}{21}$ appartient-il à cet encadrement ?
2. Un rectangle a pour largeur $ℓ > 0$ et pour longueur $L = ℓ \sqrt{2}$ . On le coupe en deux parallèlement à sa largeur. Montrer que chaque moitié a encore un rapport longueur sur largeur égal à $\sqrt{2}$ .
3. Un rectangle de ce type a pour largeur $12 \sqrt{2}$ cm. Calculer sa longueur exacte et son aire exacte.
4. Montrer que la diagonale d'un rectangle de largeur $ℓ$ et de longueur $ℓ \sqrt{2}$ mesure $ℓ \sqrt{3}$ . En déduire la diagonale exacte du rectangle de la question 3, puis une valeur approchée au millimètre.

1. a) $1, 414^{2} = 1, 999 396$ et $1, 415^{2} = 2, 002 225$ . Comme $1, 999 396 < 2 < 2, 002 225$ et que la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ : $1, 414 < \sqrt{2} < 1, 415$ .

1. b) $\frac{29, 7}{21} = 1, 414 285 \dots$ , qui est bien compris entre $1, 414$ et $1, 415$ . Le format A4 respecte le rapport $\sqrt{2}$ au millième près.

2. La coupe partage la longueur : chaque moitié mesure $ℓ$ et $\frac{L}{2} = \frac{ℓ \sqrt{2}}{2}$ . Comme $\frac{\sqrt{2}}{2} < 1$ (car $\sqrt{2} < 2$ ), le plus grand côté est désormais $ℓ$ .
Rapport : $\frac{ℓ}{ℓ \sqrt{2} / 2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ .
Chaque moitié a encore un rapport égal à $\sqrt{2}$ : c'est pourquoi le format A5 a la même forme que le format A4.

3. $L = 12 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 12 \times 2 =$ $24$ cm.
Aire : $12 \sqrt{2} \times 24 =$ $288 \sqrt{2}$ cm² $\approx 407, 3$ cm².

4. Le rectangle a des angles droits ; d'après le théorème de Pythagore, $d^{2} = ℓ^{2} + (ℓ \sqrt{2})^{2} = ℓ^{2} + 2 ℓ^{2} = 3 ℓ^{2}$ .
Comme $d > 0$ , $d = \sqrt{3 ℓ^{2}} = \sqrt{3} \times \sqrt{ℓ^{2}} = \sqrt{3} \times | ℓ | = ℓ \sqrt{3}$ puisque $ℓ > 0$ .
Pour $ℓ = 12 \sqrt{2}$ : $d = 12 \sqrt{2} \times \sqrt{3} =$ $12 \sqrt{6}$ cm $\approx 29, 4$ cm (soit $294$ mm).

Problème 2 — La spirale de Théodore

Moyen

On construit une suite de triangles rectangles. Le triangle $O A_{1} A_{2}$ est rectangle en $A_{1}$ avec $O A_{1} = A_{1} A_{2} = 1$ cm. Puis, pour tout entier $n \geq 2$ , le triangle $O A_{n} A_{n + 1}$ est rectangle en $A_{n}$ avec $A_{n} A_{n + 1} = 1$ cm. Les points $A_{1}, A_{2}, A_{3} \dots$ dessinent une spirale.

1. Calculer les valeurs exactes de $O A_{2}$ et de $O A_{3}$ .
2. On suppose que $O A_{n} = \sqrt{n}$ pour un certain entier $n \geq 1$ . Montrer que $O A_{n + 1} = \sqrt{n + 1}$ . On admet ensuite que $O A_{n} = \sqrt{n}$ pour tout $n \geq 1$ .
3. Écrire $O A_{18}$ et $O A_{40}$ sous la forme $a \sqrt{b}$ , avec $b$ entier le plus petit possible.
4. Montrer que $O A_{2} + O A_{8} = O A_{18}$ .
5. Un élève affirme : « $O A_{2} + O A_{3} = O A_{5}$ ». Expliquer son erreur.
6. Parmi les segments $[O A_{n}]$ , lequel a la longueur la plus proche de $6, 5$ cm ? Justifier.

1. Dans le triangle $O A_{1} A_{2}$ rectangle en $A_{1}$ , le théorème de Pythagore donne $O A_{2}^{2} = O A_{1}^{2} + A_{1} A_{2}^{2} = 1 + 1 = 2$ . Une longueur est positive, donc $O A_{2} = \sqrt{2}$ cm.
Dans $O A_{2} A_{3}$ rectangle en $A_{2}$ : $O A_{3}^{2} = O A_{2}^{2} + 1 = 2 + 1 = 3$ , donc $O A_{3} = \sqrt{3}$ cm.

2. Le triangle $O A_{n} A_{n + 1}$ est rectangle en $A_{n}$ , donc $O A_{n + 1}^{2} = O A_{n}^{2} + A_{n} A_{n + 1}^{2} = (\sqrt{n})^{2} + 1^{2} = n + 1$ .
Comme $O A_{n + 1} > 0$ , $O A_{n + 1} = \sqrt{n + 1}$ .

3. $O A_{18} = \sqrt{9 \times 2} =$ $3 \sqrt{2}$ et $O A_{40} = \sqrt{4 \times 10} =$ $2 \sqrt{10}$ ( $10$ n'a pas de facteur carré).

4. $O A_{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2 \sqrt{2}$ , donc $O A_{2} + O A_{8} = \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} = O A_{18}$ . L'égalité est démontrée.

5. L'élève a écrit $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{2 + 3}$ . Or, pour $a > 0$ et $b > 0$ , $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . On a donc $O A_{5} < O A_{2} + O A_{3}$ (numériquement $\sqrt{5} \approx 2, 24$ alors que $\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3, 15$ ).

6. $6, 5^{2} = 42, 25$ , donc $\sqrt{42} < 6, 5 < \sqrt{43}$ et seuls $O A_{42}$ et $O A_{43}$ sont candidats (les autres sont plus éloignés, la racine étant croissante).
$6, 48^{2} = 41, 990 4$ et $6, 49^{2} = 42, 120 1$ , donc $6, 48 < \sqrt{42} < 6, 49$ et $0, 01 < 6, 5 - \sqrt{42} < 0, 02$ .
$6, 55^{2} = 42, 902 5$ et $6, 56^{2} = 43, 033 6$ , donc $6, 55 < \sqrt{43} < 6, 56$ et $0, 05 < \sqrt{43} - 6, 5 < 0, 06$ .
Le segment $[O A_{42}]$ est le plus proche de $6, 5$ cm.

Problème 3 — Durée de chute d'un objet

Difficile

En négligeant les frottements de l'air, un objet lâché sans vitesse d'une hauteur $h$ (en m) touche le sol au bout d'une durée $t$ (en s) donnée par $t = \sqrt{\frac{h}{4, 9}}$ . On note $t (h)$ cette durée.

1. Calculer la durée de chute depuis une hauteur de $19, 6$ m.
2. Montrer que si la hauteur est multipliée par $4$ , la durée de chute est multipliée par $2$ .
3. Un élève affirme : « si l'on double la hauteur, la durée de chute double ». Expliquer son erreur et donner le vrai coefficient multiplicateur, exact puis arrondi au centième.
4. Montrer que $t (45) = \frac{15 \sqrt{2}}{7}$ puis en donner une valeur approchée au centième.
5. Montrer que $t (60) = \frac{10 \sqrt{6}}{7}$ , puis démontrer sans calculatrice que $t (60) < 3, 5$ .
6. Justifier, sans aucune valeur approchée, que $t (15) + t (45) > t (60)$ .

1. $\frac{19, 6}{4, 9} = 4$ , donc $t = \sqrt{4} =$ $2$ s.

2. Pour une hauteur $4 h$ : $t (4 h) = \sqrt{\frac{4 h}{4, 9}} = \sqrt{4} \times \sqrt{\frac{h}{4, 9}} = 2 t (h)$ , par la propriété $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ (nombres positifs). La durée est bien multipliée par $2$ .

3. De même $t (2 h) = \sqrt{2} \times t (h)$ . La durée n'est pas proportionnelle à la hauteur mais à sa racine carrée : doubler $h$ multiplie $t$ par $\sqrt{2} \approx 1, 41$ , et non par $2$ . L'élève a confondu $\sqrt{2 h}$ et $2 \sqrt{h}$ .

4. $\frac{45}{4, 9} = \frac{450}{49}$ , donc $t (45) = \frac{\sqrt{450}}{\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{225 \times 2}}{7} =$ $\frac{15 \sqrt{2}}{7}$ s $\approx 3, 03$ s.

5. $\frac{60}{4, 9} = \frac{600}{49}$ et $\sqrt{600} = \sqrt{100 \times 6} = 10 \sqrt{6}$ , donc $t (60) = \frac{10 \sqrt{6}}{7}$ .
Comparons avec $3, 5 = \frac{24, 5}{7}$ : il suffit de comparer $10 \sqrt{6}$ et $24, 5$ , deux nombres positifs.
$(10 \sqrt{6})^{2} = 600$ et $24, 5^{2} = 600, 25$ . Comme $600 < 600, 25$ , $10 \sqrt{6} < 24, 5$ , donc $t (60) < 3, 5$ s. (L'écart est minuscule : $t (60) \approx 3, 499$ s, d'où l'intérêt d'une preuve exacte.)

6. Posons $a = \frac{15}{4, 9}$ et $b = \frac{45}{4, 9}$ , strictement positifs. Alors $a + b = \frac{60}{4, 9}$ , donc $t (60) = \sqrt{a + b}$ , $t (15) = \sqrt{a}$ et $t (45) = \sqrt{b}$ .
D'après la propriété du cours, $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$ , d'où $t (60) < t (15) + t (45)$ : tomber de $60$ m d'un coup est plus rapide que tomber de $15$ m puis, en repartant de l'arrêt, de $45$ m.

Problème 4 — Un rectangle aux côtés irrationnels

Difficile

Un rectangle $A B C D$ a pour longueur $L = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ cm et pour largeur $ℓ = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ cm. On admet que $1, 732 < \sqrt{3} < 1, 733$ .

1. Justifier que $ℓ > 0$ , puis que $L > ℓ$ .
2. Montrer que l'aire du rectangle vaut $4$ cm².
3. Calculer le périmètre exact du rectangle et le comparer, sans calculatrice, au périmètre d'un carré de même aire.
4. Calculer $L^{2}$ et $ℓ^{2}$ , puis montrer que la diagonale mesure exactement $4$ cm.
5. Écrire le rapport $\frac{L}{ℓ}$ sans racine au dénominateur et montrer qu'il vaut $2 + \sqrt{3}$ .
6. Montrer que $3, 86 < L < 3, 87$ .

1. $6 > 2$ et la racine carrée est strictement croissante, donc $\sqrt{6} > \sqrt{2}$ : $ℓ > 0$ . Puis $L - ℓ = 2 \sqrt{2} > 0$ , donc $L > ℓ$ .

2. $L \times ℓ = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 6 - \sqrt{12} + \sqrt{12} - 2 =$ $4$ cm².

3. $P = 2 (L + ℓ) = 2 \times 2 \sqrt{6} =$ $4 \sqrt{6}$ cm.
Un carré d'aire $4$ cm² a pour côté $\sqrt{4} = 2$ cm, donc pour périmètre $8$ cm.
Les deux nombres sont positifs : $(4 \sqrt{6})^{2} = 96$ et $8^{2} = 64$ . Comme $96 > 64$ , $4 \sqrt{6} > 8$ : le rectangle a un périmètre plus grand que le carré de même aire.

4. $L^{2} = 6 + 2 \sqrt{12} + 2 = 8 + 2 \times 2 \sqrt{3} = 8 + 4 \sqrt{3}$ et, de même, $ℓ^{2} = 8 - 4 \sqrt{3}$ .
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $A B C$ rectangle en $B$ : $A C^{2} = L^{2} + ℓ^{2} = 16$ . Comme $A C > 0$ , $A C = 4$ cm.

5. On multiplie par le conjugué $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ :
$\frac{L}{ℓ} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^{2}}{(\sqrt{6})^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{4} =$ $2 + \sqrt{3}$ .

6. De $1, 732 < \sqrt{3} < 1, 733$ on tire $8 + 4 \times 1, 732 < L^{2} < 8 + 4 \times 1, 733$ , soit $14, 928 < L^{2} < 14, 932$ .
Or $3, 86^{2} = 14, 899 6$ et $3, 87^{2} = 14, 976 9$ , donc $3, 86^{2} < L^{2} < 3, 87^{2}$ .
Tous ces nombres sont positifs, ils sont rangés comme leurs carrés : $3, 86 < L < 3, 87$ .

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