Racines carrées

Définition de √a, propriétés √(ab) et √(a/b), simplification, somme de racines, rendre rationnel un dénominateur, comparaison et encadrement, √(a²) = |a|

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Racines carrées » en seconde permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de seconde et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Produit et quotient de racines carrées, Simplifier et additionner des racines, Rendre rationnel un dénominateur. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser mathématiques en seconde.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Racines carrées de référence

Facile

Calculer sans calculatrice, en justifiant chaque résultat.

a) $\sqrt{121}$
b) $\sqrt{0, 09}$
c) $(\sqrt{13})^{2}$
d) $\sqrt{(- 8)^{2}}$
e) Expliquer pourquoi $\sqrt{- 16}$ n'existe pas.

a) $11^{2} = 121$ et $11 \geq 0$ , donc $\sqrt{121} = 11$ .

b) $0, 3^{2} = 0, 09$ et $0, 3 \geq 0$ , donc $\sqrt{0, 09} = 0, 3$ .

c) $13 \geq 0$ , donc par définition $(\sqrt{13})^{2} = 13$ .

d) $\sqrt{a^{2}} = | a |$ pour tout réel $a$ : $\sqrt{(- 8)^{2}} = | - 8 |$ , soit $8$ . On peut aussi calculer $(- 8)^{2} = 64$ puis $\sqrt{64} = 8$ .

e) Le carré d'un réel est toujours positif ou nul : aucun réel n'a pour carré $- 16$ . $\sqrt{- 16}$ n'est donc pas défini.

Exercice 2 — Produits et quotients

Facile

Calculer et donner le résultat sous forme d'un entier ou d'une fraction irréductible.

a) $\sqrt{5} \times \sqrt{20}$
b) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$
c) $\sqrt{\frac{64}{81}}$
d) $\sqrt{8} \times \sqrt{32}$

a) $5 \geq 0$ et $20 \geq 0$ , donc $\sqrt{5} \times \sqrt{20} = \sqrt{5 \times 20} = \sqrt{100} =$ $10$ .

b) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{98}{2}} = \sqrt{49} =$ $7$ .

c) $\sqrt{\frac{64}{81}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{81}} =$ $\frac{8}{9}$ .

d) $\sqrt{8} \times \sqrt{32} = \sqrt{256} =$ $16$ , car $16^{2} = 256$ .

Exercice 3 — Forme $a \sqrt{b}$

Facile

Écrire chaque nombre sous la forme $a \sqrt{b}$ , où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ est le plus petit possible.

a) $\sqrt{12}$
b) $\sqrt{75}$
c) $\sqrt{128}$
d) $\sqrt{63}$

On fait apparaître le plus grand carré parfait facteur, puis on utilise $\sqrt{k^{2} b} = k \sqrt{b}$ .

a) $12 = 4 \times 3$ , donc $\sqrt{12} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} =$ $2 \sqrt{3}$ .

b) $75 = 25 \times 3$ , donc $\sqrt{75} =$ $5 \sqrt{3}$ .

c) $128 = 64 \times 2$ , donc $\sqrt{128} =$ $8 \sqrt{2}$ . (Écrire $\sqrt{4 \times 32} = 2 \sqrt{32}$ n'est pas terminé : $32$ contient encore le carré $16$ .)

d) $63 = 9 \times 7$ , donc $\sqrt{63} =$ $3 \sqrt{7}$ .

Exercice 4 — Réduire des sommes de racines

Moyen

On pose $A = \sqrt{48} - 2 \sqrt{27} + \sqrt{300}$ , $B = 3 \sqrt{28} - \sqrt{112} + \sqrt{7}$ et $C = \sqrt{2} \times \sqrt{40} - 3 \sqrt{5}$ .

a) Écrire $A$ sous la forme $a \sqrt{3}$ .
b) Écrire $B$ sous la forme $b \sqrt{7}$ .
c) Écrire $C$ sous la forme $c \sqrt{5}$ .

a) $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4 \sqrt{3}$ ; $2 \sqrt{27} = 2 \sqrt{9 \times 3} = 2 \times 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$ ; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10 \sqrt{3}$ .
Donc $A = 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 10 \sqrt{3} = (4 - 6 + 10) \sqrt{3}$ , soit $A = 8 \sqrt{3}$ .

b) $3 \sqrt{28} = 3 \sqrt{4 \times 7} = 6 \sqrt{7}$ ; $\sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = 4 \sqrt{7}$ .
Donc $B = 6 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 1 \sqrt{7}$ , soit $B = 3 \sqrt{7}$ .

c) $\sqrt{2} \times \sqrt{40} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4 \sqrt{5}$ .
Donc $C = 4 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5}$ , soit $C = \sqrt{5}$ (ici $c = 1$ ).

Exercice 5 — Dénominateurs sans racine

Moyen

Écrire chaque nombre sans racine carrée au dénominateur, sous la forme la plus simple.

a) $\frac{14}{\sqrt{7}}$
b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$
c) $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{6}}$
d) $\frac{3}{\sqrt{7} - 2}$

a) $\frac{14}{\sqrt{7}} = \frac{14 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{14 \sqrt{7}}{7} =$ $2 \sqrt{7}$ .

b) $\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10 \sqrt{5}}{5} =$ $2 \sqrt{5}$ .

c) On simplifie d'abord : $\sqrt{6} = \sqrt{3} \times \sqrt{2}$ , donc $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ .
Puis $\frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \times 2} =$ $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

d) On multiplie par le conjugué $\sqrt{7} + 2$ :
$\frac{3}{\sqrt{7} - 2} = \frac{3 (\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2) (\sqrt{7} + 2)} = \frac{3 (\sqrt{7} + 2)}{7 - 4} = \frac{3 (\sqrt{7} + 2)}{3} =$ $\sqrt{7} + 2$ .

Exercice 6 — Développer et réduire

Moyen

Développer puis réduire chaque expression.

a) $(4 + \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$
b) $(\sqrt{6} - 1) (\sqrt{6} + 1)$
c) $(2 \sqrt{5} + 1)^{2}$
d) $\sqrt{11} (\sqrt{44} - \sqrt{99})$

a) Par double distributivité : $4 \times 1 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4 - 3 \sqrt{2} - 2$ , soit $2 - 3 \sqrt{2}$ .

b) $(\sqrt{6})^{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - 1 = 6 - 1 =$ $5$ .

c) $(2 \sqrt{5} + 1) (2 \sqrt{5} + 1) = (2 \sqrt{5})^{2} + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + 1$ . Or $(2 \sqrt{5})^{2} = 4 \times 5 = 20$ , donc le résultat est $21 + 4 \sqrt{5}$ .

d) $\sqrt{11} \times \sqrt{44} = \sqrt{484} = 22$ et $\sqrt{11} \times \sqrt{99} = \sqrt{1089} = 33$ , donc l'expression vaut $22 - 33 =$ $- 11$ .

Exercice 7 — Comparer et encadrer

Moyen

Répondre sans calculatrice.

a) Encadrer $\sqrt{53}$ entre deux entiers consécutifs, puis entre deux décimaux consécutifs à un chiffre après la virgule.
b) Comparer $2 \sqrt{13}$ et $5 \sqrt{2}$ .
c) Ranger dans l'ordre croissant $0, 6$ ; $0, 6^{2}$ ; $\sqrt{0, 6}$ .
d) Montrer que $3 < \sqrt{10} < 3, 2$ .

a) $49 < 53 < 64$ et la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ , donc $7 < \sqrt{53} < 8$ .
$7, 2^{2} = 51, 84$ et $7, 3^{2} = 53, 29$ ; comme $51, 84 < 53 < 53, 29$ , on obtient $7, 2 < \sqrt{53} < 7, 3$ .

b) Les deux nombres sont positifs. $(2 \sqrt{13})^{2} = 4 \times 13 = 52$ et $(5 \sqrt{2})^{2} = 25 \times 2 = 50$ . Comme $52 > 50$ , $2 \sqrt{13} > 5 \sqrt{2}$ .

c) $a = 0, 6$ vérifie $0 < a < 1$ . En multipliant $a < 1$ par $a > 0$ : $a^{2} < a$ . De plus $\sqrt{a} < 1$ et $a = \sqrt{a} \times \sqrt{a} < \sqrt{a} \times 1$ . D'où $0, 6^{2} < 0, 6 < \sqrt{0, 6}$ , c'est-à-dire $0, 36 < 0, 6 < \sqrt{0, 6}$ .

d) $3^{2} = 9$ et $3, 2^{2} = 10, 24$ . On a $9 < 10 < 10, 24$ et la racine carrée est croissante, donc $3 < \sqrt{10} < 3, 2$ .

Exercice 8 — Racine d'un carré et valeur absolue

Difficile

Écrire chaque nombre sans racine carrée portant sur un carré.

a) $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^{2}}$
b) $\sqrt{(π - 4)^{2}}$
c) $\sqrt{(2 \sqrt{2} - 3)^{2}}$
d) Un élève écrit $\sqrt{(- 7)^{2}} = - 7$ . Expliquer son erreur.
e) Pour un réel $x \leq 1$ , simplifier $\sqrt{(x - 1)^{2}}$ .

Pour tout réel $a$ , $\sqrt{a^{2}} = | a |$ : il faut donc étudier le signe de $a$ .

a) $3 < 4$ donc $\sqrt{3} < 2$ : $\sqrt{3} - 2 < 0$ . Ainsi $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^{2}} = | \sqrt{3} - 2 | =$ $2 - \sqrt{3}$ .

b) $π \approx 3, 14 < 4$ , donc $π - 4 < 0$ et $\sqrt{(π - 4)^{2}} =$ $4 - π$ .

c) $(2 \sqrt{2})^{2} = 8 < 9 = 3^{2}$ et les nombres sont positifs, donc $2 \sqrt{2} < 3$ : $2 \sqrt{2} - 3 < 0$ . D'où $3 - 2 \sqrt{2}$ .

d) Une racine carrée est toujours positive ou nulle, elle ne peut pas valoir $- 7$ . En réalité $\sqrt{(- 7)^{2}} = \sqrt{49} = | - 7 | =$ $7$ . L'élève a « simplifié » la racine et le carré comme si $\sqrt{a^{2}} = a$ , ce qui n'est vrai que pour $a \geq 0$ .

e) Si $x \leq 1$ , alors $x - 1 \leq 0$ , donc $| x - 1 | = - (x - 1)$ et $\sqrt{(x - 1)^{2}} = 1 - x$ .

Exercice 9 — Démontrer des égalités

Difficile

a) Montrer que $\sqrt{11 + 6 \sqrt{2}} = 3 + \sqrt{2}$ .
b) Montrer que $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 1$ .
c) Montrer que le nombre $x = 2 - \sqrt{3}$ vérifie $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

a) Le nombre $3 + \sqrt{2}$ est positif. Son carré vaut $(3 + \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2}) = 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 2 = 11 + 6 \sqrt{2}$ .
Ainsi $3 + \sqrt{2}$ est un nombre positif dont le carré est $11 + 6 \sqrt{2}$ : par définition de la racine carrée, $\sqrt{11 + 6 \sqrt{2}} = 3 + \sqrt{2}$ . (Les deux conditions, positivité et carré, sont indispensables.)

b) On rend chaque dénominateur rationnel grâce au conjugué :
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$ ;
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ;
$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$ .
La somme vaut $\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 - \sqrt{3} = - 1 + 2$ , soit $1$ .

c) $x^{2} = (2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3 = 7 - 4 \sqrt{3}$ et $- 4 x = - 8 + 4 \sqrt{3}$ .
Donc $x^{2} - 4 x + 1 = 7 - 4 \sqrt{3} - 8 + 4 \sqrt{3} + 1 =$ $0$ .

Exercice 10 — Justifier et comparer finement

Difficile

Aucune valeur approchée n'est acceptée comme justification.

a) Un élève affirme : « pour tout réel $x$ , $\sqrt{x^{2} + 64} = x + 8$ ». Montrer qu'il a tort.
b) Comparer $\sqrt{11} + \sqrt{13}$ et $2 \sqrt{12}$ .
c) Comparer $\sqrt{15} - \sqrt{14}$ et $\sqrt{14} - \sqrt{13}$ .

a) Un contre-exemple suffit. Pour $x = 6$ : $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ alors que $6 + 8 = 14$ . L'affirmation est fausse. L'élève a appliqué à une somme une règle qui n'existe que pour les produits ( $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ).

b) Les deux nombres sont positifs ; on compare leurs carrés.
$(\sqrt{11} + \sqrt{13})^{2} = 11 + 2 \sqrt{11} \sqrt{13} + 13 = 24 + 2 \sqrt{143}$ .
$(2 \sqrt{12})^{2} = 48 = 24 + 24 = 24 + 2 \sqrt{144}$ .
Comme $143 < 144$ , $\sqrt{143} < \sqrt{144}$ , donc $(\sqrt{11} + \sqrt{13})^{2} < (2 \sqrt{12})^{2}$ et $\sqrt{11} + \sqrt{13} < 2 \sqrt{12}$ .

c) $(\sqrt{15} - \sqrt{14}) (\sqrt{15} + \sqrt{14}) = 15 - 14 = 1$ , donc $\sqrt{15} - \sqrt{14} = \frac{1}{\sqrt{15} + \sqrt{14}}$ . De même $\sqrt{14} - \sqrt{13} = \frac{1}{\sqrt{14} + \sqrt{13}}$ .
Or $\sqrt{15} > \sqrt{13}$ , donc $\sqrt{15} + \sqrt{14} > \sqrt{14} + \sqrt{13} > 0$ . Deux nombres positifs sont rangés dans l'ordre inverse de leurs inverses, d'où $\sqrt{15} - \sqrt{14} < \sqrt{14} - \sqrt{13}$ .

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Racines carrées

Exercice 1 — Racines carrées de référence

Exercice 2 — Produits et quotients

Exercice 3 — Forme ab

Exercice 4 — Réduire des sommes de racines

Exercice 5 — Dénominateurs sans racine

Exercice 6 — Développer et réduire

Exercice 7 — Comparer et encadrer

Exercice 8 — Racine d'un carré et valeur absolue

Exercice 9 — Démontrer des égalités

Exercice 10 — Justifier et comparer finement

Exercice 3 — Forme $a \sqrt{b}$