Racines carrées

Définition de √a, propriétés √(ab) et √(a/b), simplification, somme de racines, rendre rationnel un dénominateur, comparaison et encadrement, √(a²) = |a|

À propos de cette page

Ce QCM sur « Racines carrées » en seconde teste tes connaissances en mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de seconde. Au programme : L'essentiel, Produit et quotient de racines carrées, Simplifier et additionner des racines, Rendre rationnel un dénominateur. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en seconde.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

Que vaut $\sqrt{169}$ ?
- A. $13$
- B. $- 13$
- C. $84, 5$
- D. $\pm 13$
Réponse
A. $13$ — $13^{2} = 169$ et $13 \geq 0$ . Une racine carrée n'est jamais négative, donc ni $- 13$ ni « $\pm 13$ ».
Pour quels réels $a$ le nombre $\sqrt{a}$ est-il défini ?
- A. $a > 0$ uniquement
- B. $a \neq 0$
- C. $a \geq 0$
- D. tout réel $a$
Réponse
C. $a \geq 0$ — $\sqrt{a}$ existe pour $a$ positif ou nul, y compris $a = 0$ : $\sqrt{0} = 0$ .
Que vaut $(\sqrt{11})^{2}$ ?
- A. $\sqrt{11}$
- B. $11$
- C. $22$
- D. $121$
Réponse
B. $11$ — Pour $a \geq 0$ , $(\sqrt{a})^{2} = a$ : c'est la définition même de la racine carrée.
À quoi est égal $\sqrt{3} \times \sqrt{5}$ ?
- A. $\sqrt{8}$
- B. $8$
- C. $15$
- D. $\sqrt{15}$
Réponse
D. $\sqrt{15}$ — Pour $a, b \geq 0$ , $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a b}$ , donc $\sqrt{15}$ .
Que vaut $\sqrt{(- 6)^{2}}$ ?
- A. $- 6$
- B. n'existe pas
- C. $36$
- D. $6$
Réponse
D. $6$ — $(- 6)^{2} = 36$ est positif, et $\sqrt{36} = 6$ . Plus généralement $\sqrt{a^{2}} = | a |$ .
Quel nombre est égal à $\sqrt{0, 16}$ ?
- A. $0, 4$
- B. $0, 04$
- C. $0, 08$
- D. $4$
Réponse
A. $0, 4$ — $0, 4^{2} = 0, 16$ . Attention : $0, 04^{2} = 0, 0016$ .
Que vaut $\sqrt{\frac{49}{400}}$ ?
- A. $\frac{7}{200}$
- B. $\frac{49}{20}$
- C. $\frac{7}{20}$
- D. $\frac{7}{40}$
Réponse
C. $\frac{7}{20}$ — $\sqrt{\frac{49}{400}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{400}} = \frac{7}{20}$ : on prend la racine du numérateur et du dénominateur.
Pour $a \geq 0$ , le nombre $\sqrt{a}$ est :
- A. le nombre dont le double vaut $a$
- B. le nombre positif dont le carré vaut $a$
- C. tout nombre dont le carré vaut $a$
- D. l'unique nombre négatif dont le carré vaut $a$
Réponse
B. le nombre positif dont le carré vaut $a$ — Deux nombres ont pour carré $a$ (si $a > 0$ ) ; $\sqrt{a}$ désigne le positif des deux.

Niveau moyen — 8 questions

Forme simplifiée de $\sqrt{175}$ :
- A. $7 \sqrt{5}$
- B. $5 \sqrt{7}$
- C. $25 \sqrt{7}$
- D. $35 \sqrt{5}$
Réponse
B. $5 \sqrt{7}$ — $175 = 25 \times 7$ , donc $\sqrt{175} = \sqrt{25} \times \sqrt{7} = 5 \sqrt{7}$ .
Que vaut $\sqrt{150} - \sqrt{96}$ ?
- A. $\sqrt{54}$
- B. $9 \sqrt{6}$
- C. $3 \sqrt{6}$
- D. $\sqrt{6}$
Réponse
D. $\sqrt{6}$ — $\sqrt{150} = 5 \sqrt{6}$ et $\sqrt{96} = 4 \sqrt{6}$ , donc la différence vaut $\sqrt{6}$ . On ne soustrait pas sous la racine.
Écrire $\frac{9}{\sqrt{3}}$ sans racine au dénominateur :
- A. $3 \sqrt{3}$
- B. $9 \sqrt{3}$
- C. $\sqrt{3}$
- D. $3$
Réponse
A. $3 \sqrt{3}$ — $\frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9 \sqrt{3}}{3} = 3 \sqrt{3}$ .
Que vaut $(\sqrt{11} + \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})$ ?
- A. $13$
- B. $9 - 2 \sqrt{22}$
- C. $9$
- D. $\sqrt{13}$
Réponse
C. $9$ — En développant, les termes $\pm \sqrt{22}$ s'annulent : il reste $11 - 2 = 9$ .
Quel encadrement est juste ?
- A. $8 < \sqrt{90} < 9$
- B. $44 < \sqrt{90} < 45$
- C. $9 < \sqrt{90} < 10$
- D. $10 < \sqrt{90} < 11$
Réponse
C. $9 < \sqrt{90} < 10$ — $81 < 90 < 100$ et la racine carrée est croissante, donc $9 < \sqrt{90} < 10$ .
Que vaut $\sqrt{2} \times \sqrt{22}$ ?
- A. $\sqrt{24}$
- B. $2 \sqrt{11}$
- C. $11 \sqrt{2}$
- D. $4 \sqrt{11}$
Réponse
B. $2 \sqrt{11}$ — $\sqrt{2} \times \sqrt{22} = \sqrt{44} = \sqrt{4 \times 11} = 2 \sqrt{11}$ .
Que vaut $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{13}}$ ?
- A. $4$
- B. $\sqrt{39}$
- C. $\frac{2}{13}$
- D. $2$
Réponse
D. $2$ — $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{13}} = \sqrt{\frac{52}{13}} = \sqrt{4} = 2$ .
Développer $(1 + \sqrt{3})^{2}$ :
- A. $4 + 2 \sqrt{3}$
- B. $4$
- C. $2 + 2 \sqrt{3}$
- D. $4 + \sqrt{3}$
Réponse
A. $4 + 2 \sqrt{3}$ — $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3 = 4 + 2 \sqrt{3}$ .

Niveau difficile — 8 questions

Pour tout réel $x$ , $\sqrt{x^{2}}$ est égal à :
- A. $x$
- B. $- x$
- C. $\pm x$
- D. $| x |$
Réponse
D. $| x |$ — Si $x < 0$ , $\sqrt{x^{2}} = - x$ ; si $x \geq 0$ , $\sqrt{x^{2}} = x$ . Dans tous les cas, c'est $| x |$ .
Soit $a > 0$ et $b > 0$ . Quelle affirmation est toujours vraie ?
- A. $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$
- B. $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
- C. $\sqrt{a + b} > \sqrt{a} + \sqrt{b}$
- D. $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
Réponse
A. $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$ — $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2} = a + b + 2 \sqrt{a b} > a + b$ : c'est la démonstration du cours.
Si $0 < a < 1$ , alors :
- A. $\sqrt{a} < a < a^{2}$
- B. $a < a^{2} < \sqrt{a}$
- C. $a^{2} < a < \sqrt{a}$
- D. $a < \sqrt{a} < a^{2}$
Réponse
C. $a^{2} < a < \sqrt{a}$ — Entre 0 et 1, élever au carré fait diminuer et prendre la racine fait augmenter (ex. $0, 01 < 0, 1 < 0, 316 \dots$ ).
Que vaut $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^{2}}$ ?
- A. $2 - \sqrt{7}$
- B. $\sqrt{7} - 2$
- C. $\pm (2 - \sqrt{7})$
- D. $\sqrt{3}$
Réponse
B. $\sqrt{7} - 2$ — $\sqrt{7} > 2$ , donc $2 - \sqrt{7} < 0$ et sa valeur absolue vaut $\sqrt{7} - 2$ .
Lequel de ces nombres est le plus grand ?
- A. $2 \sqrt{7}$
- B. $3 \sqrt{3}$
- C. $\sqrt{26}$
- D. $5$
Réponse
A. $2 \sqrt{7}$ — Leurs carrés valent $28$ , $27$ , $26$ et $25$ : tous positifs, le plus grand est $2 \sqrt{7}$ .
L'égalité $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est valable :
- A. pour tous réels $a$ et $b$
- B. dès que $a b \geq 0$
- C. pour $a$ et $b$ non nuls
- D. si $a \geq 0$ et $b \geq 0$
Réponse
D. si $a \geq 0$ et $b \geq 0$ — Avec $a = b = - 1$ , $a b \geq 0$ mais $\sqrt{- 1}$ n'existe pas : il faut $a$ et $b$ positifs.
Un élève écrit $\sqrt{9 + x^{2}} = 3 + x$ . Cette égalité est vraie :
- A. pour tout réel $x$
- B. seulement si $x = 0$
- C. pour tout $x \geq 0$
- D. pour aucun réel $x$
Réponse
B. seulement si $x = 0$ — En élevant au carré : $9 + x^{2} = 9 + 6 x + x^{2}$ , soit $x = 0$ ; et pour $x = 0$ on a bien $\sqrt{9} = 3$ .
Que vaut $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$ ?
- A. $\sqrt{6} - \sqrt{5}$
- B. $\sqrt{11}$
- C. $\sqrt{6} + \sqrt{5}$
- D. $\frac{1}{\sqrt{11}}$
Réponse
C. $\sqrt{6} + \sqrt{5}$ — En multipliant par le conjugué : $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{6 - 5} = \sqrt{6} + \sqrt{5}$ .

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