Racines carrées

1. a)${14}^2=196$ et $14\ge 0$, donc $\sqrt{196}=14$. (1)
2. b)$0,{06}^2=0,0036$, donc $\sqrt{0,0036}=0,06$. (1)
3. c)$\sqrt{(-11{)}^2}=|-11|=11$. (1)
4. d)$(6\sqrt{3}{)}^2=36\times 3=108$. (1)

Erreur fréquente — $\sqrt{(-11{)}^2}$ vaut $11$ et non $-11$ : une racine carrée n'est jamais négative.

1. a)$\sqrt{10\times 90}=\sqrt{900}=30$. (1)
2. b)$\sqrt{\frac{375}{15}}=\sqrt{25}=5$. (1)
3. c)$208=16\times 13$, donc $\sqrt{208}=4\sqrt{13}$. (1)
4. d)$\frac{27}{75}=\frac{9}{25}$, donc $\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$. (1)

À retenir — Simplifier d'abord la fraction sous la racine rend souvent le calcul immédiat.

1. a)$\sqrt{68}=2\sqrt{17}$ et $\sqrt{153}=3\sqrt{17}$, donc la somme vaut $5\sqrt{17}$. (1)
2. b)$\sqrt{176}=4\sqrt{11}$ et $\sqrt{275}=5\sqrt{11}$, d'où $(4-5+1)\sqrt{11}=0$. (1)
3. c)$\sqrt{60}=2\sqrt{15}$ et $\sqrt{135}=3\sqrt{15}$, donc le résultat est $-\sqrt{15}$. (1)
4. d)$\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$ : on a $\sqrt{9}+\sqrt{7}=3+\sqrt{7}$ (environ $5,65$, pas $4$). (1)

Le point clé — On regroupe seulement des termes ayant la même racine, après avoir simplifié chacune.

1. a)$\frac{21\sqrt{7}}{7}=3\sqrt{7}$. (1)
2. b)$\frac{5\sqrt{10}}{2\times 10}=\frac{\sqrt{10}}{4}$. (1)
3. c)$\frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{11-7}=\sqrt{11}+\sqrt{7}$. (1)
4. d)$\frac{(\sqrt{13}+3{)}^2}{13-9}=\frac{22+6\sqrt{13}}{4}=\frac{11+3\sqrt{13}}{2}$. (1)

Astuce — Le conjugué change seulement le signe du milieu : le produit donne alors une différence de deux carrés, sans racine.

1. a)$8,4^2=70,56<71<72,25=8,5^2$, donc $8,4<\sqrt{71}<8,5$. (1)
2. b)Nombres positifs : $(3\sqrt{7}{)}^2=63>60=(2\sqrt{15}{)}^2$, donc $3\sqrt{7}>2\sqrt{15}$. (1)
3. c)$13>9$ donc $\sqrt{13}>3$ : $3-\sqrt{13}<0$, et le résultat est $\sqrt{13}-3$. (1)
4. d)$(\sqrt{23}+\sqrt{2}{)}^2=25+2\sqrt{46}>25$ ; nombres positifs, donc $\sqrt{23}+\sqrt{2}>5$. (1)

Attention — Comparer des carrés n'est permis que si les deux nombres sont positifs : vérifiez-le avant de conclure.