Devoir surveillé : Suites numériques, arithmétiques et géométriques

1. a)$u_0=3\times 0^2-2\times 0=0$ ; $u_4=3\times 16-2\times 4=48-8=40$ ; $u_{10}=3\times 100-20=280$. (1 pt) (1)
2. b)$a_1=3\times 1-4=-1$ ; $a_2=3\times (-1)-4=-7$ ; $a_3=3\times (-7)-4=-25$. Chaque terme se calcule à partir du précédent. (1 pt) (1)
3. c)Pour une suite arithmétique, $v_n=v_0+nr$, donc $v_n=7-4n$. Alors $v_{15}=7-4\times 15=7-60=-53$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Pour une suite géométrique, $w_n=w_0\times q^n$, donc $w_n=5\times 3^n$. Alors $w_4=5\times 81=405$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
5. e)$S$ est la somme des 7 premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $3$ : $S={\displaystyle \frac{1-3^7}{1-3}}={\displaystyle \frac{1-2187}{-2}}={\displaystyle \frac{-2186}{-2}}=1093$. Vérification : $1+3+9+27+81+243+729=1093$. (1 pt) (1)

Méthode — Avant tout calcul, identifier le mode de définition : forme explicite (on remplace $n$), récurrence (on calcule de proche en proche), suite arithmétique ou géométrique (on utilise la formule du terme général).

1. a)$u_{n+1}-u_n=5-2(n+1)-(5-2n)=5-2n-2-5+2n=-2$. La différence est constante : $(u_n)$ est arithmétique de raison $-2$ et de premier terme $u_0=5$. (1 pt) (1)
2. b)$v_{n+1}={\displaystyle \frac{3^{n+2}}{2}}={\displaystyle \frac{3\times 3^{n+1}}{2}}=3\times v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $3$ et de premier terme $v_0={\displaystyle \frac{3^1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$. (1 pt) (1)
3. c)$w_0=1$, $w_1=2$, $w_2=5$. On a $w_1-w_0=1$ et $w_2-w_1=3$ : les écarts ne sont pas égaux, donc $(w_n)$ n'est pas arithmétique. On a ${\displaystyle \frac{w_1}{w_0}}=2$ et ${\displaystyle \frac{w_2}{w_1}}=2,5$ : les quotients ne sont pas égaux, donc $(w_n)$ n'est pas géométrique. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$u_{20}=5-40=-35$. La somme compte $21$ termes consécutifs d'une suite arithmétique : $u_0+\dots +u_{20}=21\times {\displaystyle \frac{u_0+u_{20}}{2}}=21\times {\displaystyle \frac{5+(-35)}{2}}=21\times (-15)=-315$. (0,5 pt pour le nombre de termes, 0,5 pt pour le résultat) (1)

Piège — Pour prouver qu'une suite n'est pas arithmétique (ou géométrique), trois termes explicites suffisent ; pour prouver qu'elle l'est, il faut un calcul valable pour tout entier $n$.

1. a)$u_0={\displaystyle \frac{2}{1}}=2$ ; $u_1={\displaystyle \frac{3}{2}}$ ; $u_2={\displaystyle \frac{4}{3}}$. (0,5 pt) (1)
2. b)$u_{n+1}={\displaystyle \frac{n+3}{n+2}}$, donc $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{(n+3)(n+1)-(n+2{)}^2}{(n+1)(n+2)}}={\displaystyle \frac{n^2+4n+3-n^2-4n-4}{(n+1)(n+2)}}={\displaystyle \frac{-1}{(n+1)(n+2)}}$. Pour $n\in \mathbb{N}$, $(n+1)(n+2)>0$, donc $u_{n+1}-u_n<0$ : la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. (1 pt pour le calcul, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
3. c)$v_{n+1}-v_n=4\times 0,8^n\times (0,8-1)=-0,8\times 0,8^n<0$ : $(v_n)$ est strictement décroissante (premier terme positif, raison entre $0$ et $1$). $w_{n+1}-w_n=-3\times 2^n\times (2-1)=-3\times 2^n<0$ : $(w_n)$ est strictement décroissante (premier terme négatif, raison supérieure à $1$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$u_{99}={\displaystyle \frac{101}{100}}=1,01$ et $v_{30}=4\times 0,8^{30}\approx 0,005$. Les termes de $(u_n)$ se rapprochent de $1$ (en effet $u_n=1+{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$) : on conjecture que $(u_n)$ tend vers $1$. Ceux de $(v_n)$ se rapprochent de $0$ : on conjecture que $(v_n)$ tend vers $0$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — Réécrire $u_n=1+{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ éclaire tout : le terme ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ diminue et se rapproche de $0$, donc $u_n$ décroît en se rapprochant de $1$ sans jamais l'atteindre.

1. a)$A_1=2000+150=2150$ ; $B_1=2000\times 1,05=2100$ ; $B_2=2100\times 1,05=2205$. (1 pt) (1,16667)
2. b)Chaque année, on ajoute 150 : $A_{n+1}=A_n+150$. La suite $(A_n)$ est arithmétique de raison $150$ et de premier terme $2000$, donc $A_n=2000+150n$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1,16667)
3. c)Augmenter de 5 %, c'est multiplier par $1+{\displaystyle \frac{5}{100}}=1,05$ : $B_{n+1}=1,05B_n$. La suite $(B_n)$ est géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $2000$, donc $B_n=2000\times 1,{05}^n$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1,16667)
4. d)$A_{10}=2000+1500=3500$ ; $B_{10}=2000\times 1,{05}^{10}\approx 3257,79$. Au bout de 10 ans, le placement A est le plus avantageux. (0,5 pt + 0,5 pt) (1,16667)
5. e)On répète tant que $B_n⩽A_n$ :

   def rang():
       n = 0
       a = 2000
       b = 2000
       while b <= a :
           n = n + 1
           a = a + 150
           b = b * 1.05
       return n

   (0,5 pt par ligne complétée) (1,16667)
6. f)À la calculatrice : $A_{16}=4400$ et $B_{16}\approx 4365,75$, donc $B_{16}⩽A_{16}$ ; $A_{17}=4550$ et $B_{17}\approx 4584,04$, donc $B_{17}>A_{17}$. La fonction renvoie $17$ : c'est au bout de 17 ans, donc au 1er janvier 2043, que le placement B devient plus avantageux que le placement A. (1 pt pour les valeurs, 0,5 pt pour l'interprétation) (1,16667)

Erreur fréquente — Écrire dans le while la condition d'arrêt au lieu de la condition de poursuite : avec « while b > a », la boucle ne tourne jamais (car $2000>2000$ est faux) et la fonction renvoie $0$.

1. a)$u_{10}=u_3+7r$, donc $7r=-10-11=-21$ et $r=-3$. Puis $u_0=u_3-3r=11+9=20$, d'où $u_n=20-3n$ (contrôle : $u_{10}=20-30=-10$). (0,5 pt + 0,5 pt) (0,75)
2. b)$v_4=v_2\times q^2$, donc $q^2={\displaystyle \frac{108}{12}}=9$ ; comme $q>0$, $q=3$. Puis $v_2=v_0\times q^2$ donne $v_0={\displaystyle \frac{12}{9}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (0,75)
3. c)Le coefficient multiplicateur global est $0,{85}^3=0,614125$. La baisse globale est donc de $1-0,614125=0,385875$, soit environ $38,6$ % (et non $45$ %). (0,5 pt) (0,75)
4. d)$S$ est la somme de 10 termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme $5$ et de raison $1,2$ : $S=5\times {\displaystyle \frac{1,2^{10}-1}{1,2-1}}=25\times (1,2^{10}-1)\approx 25\times 5,191736\approx 129,79$. (0,5 pt) (0,75)

Astuce — Entre deux termes d'une suite arithmétique, l'écart est un multiple de la raison : $u_p-u_k=(p-k)r$ ; entre deux termes d'une suite géométrique, c'est le quotient qui est une puissance de la raison : $v_p=v_k{q}^{p-k}$.

1. a)$u_1=0,6\times 1+4=4,6$ ; $u_2=0,6\times 4,6+4=2,76+4=6,76$. (0,5 pt) (0,833333)
2. b)$v_{n+1}=u_{n+1}-10=0,6u_n+4-10=0,6u_n-6=0,6(u_n-10)=0,6v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0,6$ et de premier terme $v_0=u_0-10=-9$. (1 pt pour le calcul, 0,5 pt pour la raison et le premier terme) (0,833333)
3. c)$v_n=-9\times 0,6^n$, et $u_n=v_n+10=10-9\times 0,6^n$. (0,5 pt) (0,833333)
4. d)$u_{n+1}-u_n=-9\times 0,6^{n+1}+9\times 0,6^n=9\times 0,6^n\times (1-0,6)=3,6\times 0,6^n$. Ce nombre est strictement positif, donc $(u_n)$ est strictement croissante. (1 pt) (0,833333)
5. e)Comme $0<0,6<1$, $0,6^n$ se rapproche de $0$ quand $n$ devient grand ; donc $9\times 0,6^n$ aussi, et $u_n$ se rapproche de $10$ (par valeurs inférieures). On conjecture que $(u_n)$ tend vers $10$. (0,5 pt) (0,833333)
6. f)$u_0+\dots +u_9=(10+\dots +10)-9(1+0,6+\dots +0,6^9)=10\times 10-9\times {\displaystyle \frac{1-0,6^{10}}{1-0,6}}=100-22,5(1-0,6^{10})\approx 77,64$. (0,5 pt pour la décomposition, 0,5 pt pour le résultat) (0,833333)

Méthode — Pour une suite du type $u_{n+1}=a{u}_n+b$, on étudie $v_n=u_n-\ell$, où $\ell$ est la solution de $\ell =a\ell +b$ : cette suite auxiliaire est géométrique de raison $a$ (ici $\ell =0,6\ell +4$ donne $\ell =10$).

1. a)Faux. $u_{n+1}-u_n=2(n+1{)}^2+3-2n^2-3=4n+2$ : l'écart dépend de $n$ (il vaut $2$ puis $6$ : $u_0=3$, $u_1=5$, $u_2=11$). La suite est croissante, mais pas arithmétique. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour la justification) (1)
2. b)Vrai. Ses premiers termes sont $1$, $-2$, $4$ : $u_1<u_0$ donc elle n'est pas croissante, et $u_2>u_1$ donc elle n'est pas décroissante. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Vrai. $u_{n+1}=u_n+3$, donc $v_{n+1}=2^{u_n+3}=2^3\times 2^{u_n}=8v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $8$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Faux. $6-4=2$ mais $9-6=3$ : les écarts diffèrent. En revanche ${\displaystyle \frac{6}{4}}={\displaystyle \frac{9}{6}}=1,5$ : ce sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $1,5$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — Des écarts positifs prouvent la croissance, pas le caractère arithmétique : une suite arithmétique exige un écart constant, indépendant de $n$.

1. a)$h_1=0,8\times 3=2,4$ m ; $h_2=0,8\times 2,4=1,92$ m. (0,5 pt) (1)
2. b)$h_{n+1}=0,8h_n$ : $(h_n)$ est géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $3$, donc $h_n=3\times 0,8^n$. Premier terme positif et raison comprise entre $0$ et $1$ : la suite est strictement décroissante. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)

   def seuil():
       n = 0
       h = 3
       while h >= 0.1 :
           n = n + 1
           h = 0.8 * h
       return n

   $h_{15}=3\times 0,8^{15}\approx 0,1056⩾0,1$ et $h_{16}=3\times 0,8^{16}\approx 0,0844<0,1$ ; comme la suite décroît, la fonction renvoie $16$. (1 pt pour la fonction, 0,5 pt pour la valeur) (1)
4. d)La balle tombe d'abord de 3 m (premier impact) ; puis, pour chaque rebond $k$ de $1$ à $n$, elle monte de $h_k$ et redescend de $h_k$ avant l'impact suivant : $d_n=3+2(h_1+\dots +h_n)$. Or $h_1+\dots +h_n=2,4\times {\displaystyle \frac{1-0,8^n}{1-0,8}}=12(1-0,8^n)$. Donc $d_n=3+24(1-0,8^n)=27-24\times 0,8^n$ (contrôle : $d_1=3+4,8=7,8=27-19,2$). (0,5 pt pour la justification, 1 pt pour le calcul) (1)
5. e)Comme $0<0,8<1$, $0,8^n$ se rapproche de $0$ : on conjecture que $d_n$ tend vers $27$. De plus $d_n=27-24\times 0,8^n<27$ pour tout $n$ : la balle ne parcourt jamais 30 m selon ce modèle. (0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — Chaque rebond compte deux fois (montée et descente), mais la chute initiale une seule fois : l'oublier fausse la distance totale de 3 m.

1. a)$(a_n)$ est arithmétique de raison $250$ et de premier terme $a_1=5000$ : $a_n=5000+250(n-1)=4750+250n$. $(b_n)$ est géométrique de raison $1,06$ et de premier terme $b_1=3000$ : $b_n=3000\times 1,{06}^{n-1}$. (0,5 pt pour les deux expressions) (0,75)
2. b)$a_{12}=4750+3000=7750$. Somme de 12 termes : $12\times {\displaystyle \frac{a_1+a_{12}}{2}}=12\times {\displaystyle \frac{5000+7750}{2}}=12\times 6375=76500$ pièces. (0,5 pt) (0,75)
3. c)$b_1+\dots +b_{12}=3000\times {\displaystyle \frac{1,{06}^{12}-1}{1,06-1}}=50000(1,{06}^{12}-1)\approx 50610$ pièces. (0,5 pt pour la formule, 0,5 pt pour le résultat) (0,75)
4. d)À la calculatrice : $a_{22}=10250$ et $b_{22}=3000\times 1,{06}^{21}\approx 10199$, donc $b_{22}<a_{22}$ ; $a_{23}=10500$ et $b_{23}=3000\times 1,{06}^{22}\approx 10811$, donc $b_{23}>a_{23}$. Le tableau de valeurs montre que $b_n<a_n$ pour tout $n⩽22$. C'est donc à partir du 23e mois, novembre 2028, que B produit plus que A. (0,5 pt pour les valeurs, 0,5 pt pour la conclusion) (0,75)

Astuce — Une croissance à taux constant (raison $q>1$) finit toujours par dépasser une croissance à accroissement constant, même en partant de plus bas : seule la date du dépassement demande un calcul.

1. a)$qS=q+q^2+\dots +q^{n+1}$. Dans la différence, tous les termes de $q$ à $q^n$ s'éliminent : $S-qS=1-q^{n+1}$, soit $(1-q)S=1-q^{n+1}$. Comme $q\ne 1$, on divise par $1-q$ : $S={\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}$. (1 pt) (1)
2. b)Pour tout $k$, $u_k=u_0+kr$. Donc $u_0+\dots +u_n=(n+1)u_0+r(0+1+\dots +n)=(n+1)u_0+r{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}={\displaystyle \frac{n+1}{2}}(2u_0+nr)$. Or $2u_0+nr=u_0+(u_0+nr)=u_0+u_n$, d'où $u_0+\dots +u_n=(n+1)\times {\displaystyle \frac{u_0+u_n}{2}}$. (1 pt pour la décomposition, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
3. c)$v_n=q{v}_{n-1}$ et $v_{n+1}=q^2{v}_{n-1}$, donc $v_{n-1}\times v_{n+1}=q^2{v}_{n-1}^2=(q{v}_{n-1}{)}^2=v_n^2$. (0,5 pt) (1)
4. d)D'après c), il faut $(x+2{)}^2=(x-1)(x+8)$, soit $x^2+4x+4=x^2+7x-8$, d'où $3x=12$ et $x=4$. Réciproquement, pour $x=4$ on obtient $3$, $6$ et $12$ : ${\displaystyle \frac{6}{3}}={\displaystyle \frac{12}{6}}=2$, ce sont bien trois termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $2$. (0,5 pt pour la condition, 0,5 pt pour la vérification) (1)

Méthode — La somme d'une suite arithmétique vaut « nombre de termes × moyenne du premier et du dernier » : de $u_0$ à $u_n$, il y a $n+1$ termes, et ce décompte est la première chose à vérifier.

1. a)Faux. Contre-exemple : $u_n=2^n$ (raison $2$) et $v_n=1$ (raison $1$). La suite $w_n=2^n+1$ commence par $2$, $3$, $5$, et ${\displaystyle \frac{3}{2}}\ne {\displaystyle \frac{5}{3}}$ : elle n'est pas géométrique. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour le contre-exemple) (1)
2. b)Vrai. Si $u_{n+1}=q{u}_n$ et $v_{n+1}=q^{\prime }{v}_n$, alors $u_{n+1}{v}_{n+1}=(q{q}^{\prime })u_n{v}_n$ : la suite produit est géométrique de raison $q{q}^{\prime }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Vrai. Soit $(u_n)$ arithmétique de raison $r$ et géométrique. D'après la propriété de l'exercice précédent, $u_1^2=u_0{u}_2$, soit $(u_0+r{)}^2=u_0(u_0+2r)$, c'est-à-dire $u_0^2+2r{u}_0+r^2=u_0^2+2r{u}_0$, d'où $r^2=0$ et $r=0$. La suite est donc constante. (0,5 pt pour l'égalité utilisée, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)Vrai. $u_0=0<2$. Pour $n⩾1$, en additionnant les écarts successifs, $u_n=u_0+(u_1-u_0)+\dots +(u_n-u_{n-1})=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\dots +{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}={\displaystyle \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{1-\frac{1}{2}}}=2-{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}$. Comme ${\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}>0$, on a $u_n<2$. (0,5 pt pour l'expression de $u_n$, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Astuce — Une suite constante non nulle est géométrique de raison $1$ et arithmétique de raison $0$ : c'est souvent elle qui fournit le contre-exemple le plus simple.

1. a)Augmenter de 10 % revient à multiplier par $1,1$, puis on retranche 300 : $p_{n+1}=1,1p_n-300$. $p_1=2200-300=1900$ ; $p_2=2090-300=1790$. (0,5 pt) (1)
2. b)On cherche $\ell$ tel que $\ell =1,1\ell -300$, soit $\ell =3000$. Avec $q_n=p_n-3000$ : $q_{n+1}=1,1p_n-3300=1,1(p_n-3000)=1,1q_n$. La suite $(q_n)$ est géométrique de raison $1,1$ et de premier terme $q_0=-1000$, donc $p_n=3000-1000\times 1,1^n$. (1 pt pour la suite géométrique, 0,5 pt pour $p_n$) (1)
3. c)$p_{n+1}-p_n=-1000\times 1,1^n\times (1,1-1)=-100\times 1,1^n<0$ : la suite $(p_n)$ est strictement décroissante. (1 pt) (1)
4. d)$p_n⩽0⟺1,1^n⩾3$. Or $1,1^{11}\approx 2,853$ et $1,1^{12}\approx 3,138$ : $p_{11}\approx 147$ et $p_{12}<0$. Au 1er janvier 2038, il ne reste qu'environ 147 poissons, soit environ 162 après la croissance annuelle : le prélèvement de 300 poissons est impossible au cours de l'année 2038. (0,5 pt pour les valeurs, 0,5 pt pour l'interprétation) (1)
5. e)$p_{n+1}=1,1p_n-c$ ; le même raisonnement avec $\ell =10c$ donne $p_n=10c+(2000-10c)\times 1,1^n$, d'où $p_{n+1}-p_n=0,1(2000-10c)\times 1,1^n=(200-c)\times 1,1^n$. Si $c<200$, la population augmente ; si $c=200$, elle reste égale à 2 000 ; si $c>200$, elle diminue et, comme $1,1^n$ devient aussi grand que l'on veut, $p_n$ finit par devenir négatif : le lac se vide. Le prélèvement maximal est donc de 200 poissons par an. (0,5 pt pour $p_{n+1}-p_n$, 0,5 pt pour la discussion) (1)

Erreur fréquente — Écrire $p_n=2000\times 1,1^n-300n$ : chaque poisson pêché aurait aussi contribué à la croissance des années suivantes, c'est pourquoi on passe par la suite auxiliaire $p_n-\ell$.

1. a)À l'issue de l'étape $k$, chaque carré plein a été remplacé par 8 carrés pleins de côté trois fois plus petit : il y a $8^k$ carrés pleins de côté ${\displaystyle \frac{1}{3^k}}$. À l'étape $n$, on retire le centre de chacun des $8^{n-1}$ carrés pleins de l'étape $n-1$, soit $8^{n-1}$ carrés de côté ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{3^{n-1}}}={\displaystyle \frac{1}{3^n}}$. (0,5 pt) (1)
2. b)$N_n=1+8+8^2+\dots +8^{n-1}={\displaystyle \frac{8^n-1}{8-1}}={\displaystyle \frac{8^n-1}{7}}$. $N_5={\displaystyle \frac{32768-1}{7}}=4681$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)L'aire retirée à l'étape $k$ vaut $8^{k-1}\times {\displaystyle \frac{1}{9^k}}={\displaystyle \frac{1}{9}}{\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^{k-1}$. L'aire totale retirée vaut donc ${\displaystyle \frac{1}{9}}\times {\displaystyle \frac{1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^n}{1-\frac{8}{9}}}=1-{\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^n$, d'où $R_n=1-(1-{\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^n)={\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^n$. (Autre méthode : chaque étape conserve ${\displaystyle \frac{8}{9}}$ de l'aire, donc $R_{n+1}={\displaystyle \frac{8}{9}}{R}_n$ avec $R_0=1$.) (1 pt) (1)
4. d)$(R_n)$ est décroissante (raison comprise entre $0$ et $1$). À la calculatrice, $R_{39}\approx 0,0101⩾0,01$ et $R_{40}\approx 0,0090<0,01$ : c'est à partir de l'étape 40. Comme $0<{\displaystyle \frac{8}{9}}<1$, on conjecture que $R_n$ tend vers $0$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
5. e)Un trou créé à l'étape $k$ a pour périmètre ${\displaystyle \frac{4}{3^k}}$ ; il y en a $8^{k-1}$, d'où une contribution $8^{k-1}\times {\displaystyle \frac{4}{3^k}}={\displaystyle \frac{4}{3}}{\left({\displaystyle \frac{8}{3}}\right)}^{k-1}$. Donc $L_n={\displaystyle \frac{4}{3}}\times {\displaystyle \frac{{\left(\frac{8}{3}\right)}^n-1}{\frac{8}{3}-1}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{5}}({\left({\displaystyle \frac{8}{3}}\right)}^n-1)={\displaystyle \frac{4}{5}}({\left({\displaystyle \frac{8}{3}}\right)}^n-1)$ (contrôle : $L_1={\displaystyle \frac{4}{3}}$). Comme ${\displaystyle \frac{8}{3}}>1$, ${\left({\displaystyle \frac{8}{3}}\right)}^n$ devient aussi grand que l'on veut : on conjecture que $L_n$ tend vers $+\infty$. L'aire restante tend vers $0$ alors que la longueur des bords des trous devient infinie. (1 pt pour le calcul, 0,5 pt pour la limite et le commentaire) (1)

Piège — À l'étape $n$, on retire $8^{n-1}$ carrés et non $8^n$ : on perce un trou dans chaque carré plein de l'étape précédente, et un décalage d'indice fausse ensuite toutes les sommes.

1. a)$S_1=1$ ; $S_2=1+4=5$ ; $S_3=5+12=17$ ; $S_4=17+32=49$. (0,5 pt) (0,666667)
2. b)$2S_n=1\times 2+2\times 2^2+\dots +(n-1)\times 2^{n-1}+n\times 2^n$. On soustrait $S_n$ en regroupant les termes de même puissance de $2$ : pour chaque $k$ de $1$ à $n-1$, le terme en $2^k$ vaut $k\times 2^k-(k+1)\times 2^k=-2^k$. Il reste $2S_n-S_n=n\times 2^n-1-2-2^2-\dots -2^{n-1}=n\times 2^n-(2^n-1)$, car $1+2+\dots +2^{n-1}={\displaystyle \frac{2^n-1}{2-1}}$. Donc $S_n=(n-1)\times 2^n+1$ (contrôle : $S_4=3\times 16+1=49$). (0,5 pt pour le regroupement, 0,5 pt pour la conclusion) (0,666667)
3. c)$(S_n)$ est croissante (on ajoute des termes positifs). $S_{16}=15\times 65536+1=983041⩽{10}^6$ et $S_{17}=16\times 131072+1=2097153>{10}^6$ : le plus petit entier cherché est $n=17$. (0,5 pt) (0,666667)

Méthode — Face à une somme « terme arithmétique × terme géométrique », on multiplie par la raison, on soustrait en alignant les puissances égales, et il ne reste qu'une somme géométrique connue.