Comment savoir si une suite est arithmétique ?

On calcule la différence u(n+1) − u(n) pour un entier n quelconque. Si le résultat est une constante r qui ne dépend pas de n, la suite est arithmétique de raison r. Constater que les trois premières différences sont égales ne suffit pas : il faut un calcul valable pour tout n.

Quelle est la formule du terme général d'une suite arithmétique ?

Si la suite commence à u(0) et a pour raison r, alors u(n) = u(0) + nr pour tout entier n. Si elle commence à u(1), on écrit u(n) = u(1) + (n − 1)r. Plus généralement, u(n) = u(p) + (n − p)r pour tous entiers n et p.

Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ?

La somme de termes consécutifs vaut : nombre de termes × (premier terme + dernier terme) / 2. De u(p) à u(q), il y a q − p + 1 termes. Cas particulier à connaître : 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.

À quoi reconnaît-on une situation modélisée par une suite arithmétique ?

Une grandeur qui augmente ou diminue chaque fois de la même quantité (par exemple + 40 € par mois ou − 35 L par jour) se modélise par une suite arithmétique : c'est une variation linéaire. Une évolution en pourcentage constant, elle, n'est pas arithmétique.

Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

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Suites arithmétiques

Q: Comment trouver le sens de variation d'une suite arithmétique ?

Il suffit de regarder le signe de la raison r, puisque u(n+1) − u(n) = r pour tout n. Si r > 0, la suite est strictement croissante ; si r < 0, elle est strictement décroissante ; si r = 0, elle est constante.

Définition par récurrence, raison, terme général u(n) = u(0) + nr, sens de variation selon le signe de r, représentation (points alignés), somme 1 + 2 + … + n et somme de termes consécutifs, modélisation d'évolutions à accroissement constant

À propos de cette page

Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Suites arithmétiques » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Terme général d'une suite arithmétique, Sens de variation et représentation graphique, Somme de termes consécutifs. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.

L'essentiel

Définition. Une suite

(u_{n})

est arithmétique s'il existe un réel

r

, indépendant de

n

, tel que pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = u_{n} + r .

Le réel

r

s'appelle la raison de la suite. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

Exemple.

u_{0} = 5

u_{n + 1} = u_{n} + 3

donne

5

;

8

;

11

;

14

; … : suite arithmétique de premier terme

5

et de raison

3

Caractérisation.

(u_{n})

est arithmétique si et seulement si la différence

u_{n + 1} - u_{n}

est une constante (elle ne dépend pas de

n

). Cette constante est la raison

r

Notion	Formule
Récurrence	$u_{n + 1} = u_{n} + r$
Terme général	$u_{n} = u_{0} + n r$ ; $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$
Variations	signe de $r$
Somme	$nombre de termes \times \frac{premier + dernier}{2}$

Terme général d'une suite arithmétique

Propriété. Si

(u_{n})

est arithmétique de raison

r

, alors pour tous entiers naturels

n

p

u_{n} = u_{0} + n r et plus généralement u_{n} = u_{p} + (n - p) r .

Si la suite commence au rang 1 :

u_{n} = u_{1} + (n - 1) r

Justification. Pour aller de $u_{0}$ à $u_{n}$ , on ajoute $r$ à chaque passage d'un rang au suivant ; il y a $n$ passages, donc on a ajouté $n$ fois $r$ . De même, de $u_{p}$ à $u_{n}$ , il y a $n - p$ passages.

Exemples. •

u_{0} = 5

r = 3

u_{n} = 5 + 3 n

, donc

u_{20} = 5 + 60 = 65

.
•

a_{1} = 2

r = - 1, 5

a_{n} = 2 - 1, 5 (n - 1) = 3, 5 - 1, 5 n

, donc

a_{11} = 3, 5 - 16, 5 = - 13

Lien avec les fonctions affines.

u_{n} = u_{0} + n r

s'écrit

u_{n} = f (n)

avec

f (x) = r x + u_{0}

, fonction affine. Réciproquement, une suite de la forme

u_{n} = a n + b

est arithmétique de raison

a

et de premier terme

u_{0} = b

, car

u_{n + 1} - u_{n} = a (n + 1) + b - a n - b = a

Sens de variation et représentation graphique

Propriété. Soit

(u_{n})

arithmétique de raison

r

. Comme

u_{n + 1} - u_{n} = r

pour tout

n

:
• si

r > 0

, la suite est strictement croissante ;
• si

r < 0

, la suite est strictement décroissante ;
• si

r = 0

, la suite est constante.

Représentation. Les points de coordonnées

(n; u_{n})

sont alignés sur la droite d'équation

y = r x + u_{0}

, de coefficient directeur

r

. On parle de variation linéaire. Réciproquement, si tous les points

(n; u_{n})

sont sur une même droite non verticale, la suite est arithmétique.

Exemple.

v_{n} = 12 - 2, 5 n

: raison

- 2, 5 < 0

, la suite est strictement décroissante. Ses points

(0; 12)

(1; 9, 5)

(2; 7)

, … sont sur la droite

y = 12 - 2, 5 x

tracée ci-dessous ; seuls les points d'abscisse entière représentent la suite.

Astuce. Sur un graphique, la raison se lit comme un coefficient directeur : quand

n

augmente de 1,

u_{n}

varie de

r

Somme de termes consécutifs

Propriété (démonstration exigible). Pour tout entier

n ⩾ 1

1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2} .

Démonstration. Notons $S = 1 + 2 + \dots + (n - 1) + n$ . On l'écrit aussi dans l'ordre inverse : $S = n + (n - 1) + \dots + 2 + 1$ . En additionnant terme à terme les deux écritures, chaque colonne vaut $n + 1$ : $1 + n$ , $2 + (n - 1)$ , …, $n + 1$ . Il y a $n$ colonnes, donc $2 S = n (n + 1)$ , d'où $S = \frac{n (n + 1)}{2}$ .

Exemple.

1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5 050

Propriété. La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut

nombre de termes \times \frac{premier terme + dernier terme}{2} .

u_{p}

u_{q}

(

p ⩽ q

) il y a

q - p + 1

termes. En particulier :

u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = (n + 1) \frac{u_{0} + u_{n}}{2}

Exemple.

7 + 11 + 15 + \dots + 83

: termes d'une suite arithmétique de raison

4

avec

u_{0} = 7

83 = 7 + 4 k

donne

k = 19

: la somme va de

u_{0}

u_{19}

, soit

20

termes. Somme

= 20 \times \frac{7 + 83}{2} = 900

Modéliser une évolution à accroissement constant

Modèle. Une grandeur qui augmente (ou diminue) de la même quantité à chaque étape se modélise par une suite arithmétique : l'accroissement constant est la raison. « + 40 € par mois » : arithmétique. « + 3 % par an » : pas arithmétique, car la quantité ajoutée change à chaque étape.

Exemple. Un livret contient 250 € ; on y verse 40 € chaque mois. Le montant après

n

mois est

u_{n} = 250 + 40 n

. Après un an :

u_{12} = 250 + 480 = 730

€.

Algorithme de seuil. Pour trouver le premier mois où le montant atteint une somme $S$ , on ajoute la raison tant que le seuil n'est pas atteint :

def mois(S):
    n = 0
    u = 250
    while u < S:
        n = n + 1
        u = u + 40
    return n

$m o i s (1000)$ renvoie $19$ : $u_{18} = 970 < 1 000$ et $u_{19} = 1 010 ⩾ 1 000$ .

Méthodes

Méthode 1 — Démontrer qu'une suite est arithmétique

Calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ pour un $n$ quelconque (en remplaçant $n$ par $n + 1$ dans la formule).
Simplifier.
Si le résultat ne dépend pas de $n$ , conclure : arithmétique de raison ce résultat. Sinon, donner un contre-exemple chiffré.

Exemple rédigé.

w_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2}

. Pour tout

n

w_{n} = 2 n + 1

, donc

w_{n + 1} - w_{n} = 2 (n + 1) + 1 - (2 n + 1) = 2

. La différence est constante :

(w_{n})

est arithmétique de raison

2

et de premier terme

w_{0} = 1

Méthode 2 — Trouver la raison à partir de deux termes

Écrire $u_{q} = u_{p} + (q - p) r$ .
En déduire $r = \frac{u_{q} - u_{p}}{q - p}$ .
Calculer $u_{0} = u_{p} - p r$ puis écrire $u_{n} = u_{0} + n r$ .

Exemple rédigé.

u_{3} = 19

u_{10} = 47

. Alors

47 = 19 + 7 r

, donc

r = 4

. Puis

u_{0} = 19 - 3 \times 4 = 7

, d'où

u_{n} = 7 + 4 n

Méthode 3 — Calculer une somme de termes consécutifs

Repérer le premier et le dernier terme de la somme.
Compter les termes : de $u_{p}$ à $u_{q}$ , il y en a $q - p + 1$ .
Appliquer : nombre de termes $\times$ (premier + dernier) / 2.

Exemple rédigé.

t_{n} = 1 + 2, 5 n

S = t_{5} + t_{6} + \dots + t_{24}

. On a

t_{5} = 13, 5

t_{24} = 61

24 - 5 + 1 = 20

termes. Donc

S = 20 \times \frac{13, 5 + 61}{2} = 745

Méthode 4 — Résoudre un problème de seuil

Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Traduire la condition par une inéquation d'inconnue $n$ et la résoudre.
Prendre le plus petit entier qui convient (arrondi par excès, pas au plus proche) et vérifier avec deux termes.
Conclure dans le contexte.

Exemple rédigé. Une cuve contient 1 200 L et perd 35 L par jour :

v_{n} = 1 200 - 35 n

. On cherche

v_{n} < 300

35 n > 900

, soit

n > 25, 71 \dots

Donc

n = 26

. Vérification :

v_{25} = 325

v_{26} = 290

. La cuve passe sous 300 L au bout de 26 jours.

Pièges et erreurs classiques

Piège 1 — Le rang de départ. Si la suite commence à

u_{1}

, on écrit

u_{n} = u_{1} + (n - 1) r

, et non

u_{1} + n r

Piège 2 — Le nombre de termes. De

u_{0}

u_{n}

, il y a

n + 1

termes ; de

u_{p}

u_{q}

, il y en a

q - p + 1

, pas

q - p

Piège 3 — Quelques termes ne prouvent rien. Trois différences égales ne démontrent pas qu'une suite est arithmétique : il faut calculer

u_{n + 1} - u_{n}

pour tout

n

. En revanche, deux différences distinctes suffisent à prouver qu'elle ne l'est pas.

Piège 4 — Le seuil. La solution de l'inéquation est un entier :

n > 25, 71

donne

n = 26

. Attention aussi à l'inégalité stricte ou large quand le seuil est atteint exactement.

Piège 5 — Pourcentage et accroissement. Une hausse de 2 % par an n'est pas un accroissement constant : la suite n'est pas arithmétique.

En bref

$(u_{n})$ arithmétique de raison $r$ : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ pour tout $n$ ; on le prouve en montrant que $u_{n + 1} - u_{n}$ est constant.
Terme général : $u_{n} = u_{0} + n r$ , et $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ .
$r > 0$ : croissante ; $r < 0$ : décroissante ; $r = 0$ : constante.
Les points $(n; u_{n})$ sont alignés sur la droite $y = r x + u_{0}$ .
$1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ (démonstration exigible).
Somme de termes consécutifs = nombre de termes × (premier + dernier) / 2 ; de $u_{p}$ à $u_{q}$ : $q - p + 1$ termes.
Accroissement constant ⟹ modèle arithmétique ; seuil : plus petit entier solution de l'inéquation.

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