Suites géométriques

1. a)$u_1=0,3\times 5=1,5$ ; $u_2=1,5\times 5=7,5$. (1)
2. b)$u_n=u_0\times q^n=0,3\times 5^n$. (1)
3. c)$u_6=0,3\times 5^6=0,3\times 15625=4687,5$. (1)
4. d)$u_{n+1}-u_n=u_n(5-1)=1,2\times 5^n>0$ : $(u_n)$ est strictement croissante ($u_0>0$, $q>1$). (1)

Repère — Le sens de variation se lit sur le signe de $u_0(q-1)$ lorsque $q>0$.

1. a)$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5\times 2^{n+1}}{3^{n+2}}\times \frac{3^{n+1}}{5\times 2^n}=\frac{2}{3}$ (termes non nuls) : géométrique de raison $\frac{2}{3}$, premier terme $u_0=\frac{5}{3}$. (1)
2. b)$u_0>0$ et $0<\frac{2}{3}<1$ : $(u_n)$ est strictement décroissante. (1)
3. c)${\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ se rapproche de 0, donc $u_n=\frac{5}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ se rapproche de 0. (1)
4. d)$v_0=0$, $v_1=2$ : si $(v_n)$ était géométrique de raison $q$, on aurait $v_1=q\times v_0=0$. Contradiction : $(v_n)$ n'est pas géométrique. (1)

Attention — Contenir une puissance de $n$ ne suffit pas : il faut que le quotient de deux termes consécutifs soit le même pour tout $n$.

1. a)7 termes, raison 7 : $S_1=\frac{7^7-1}{7-1}=\frac{823542}{6}=137257$. (1)
2. b)Premier terme $1250$, raison $-\frac{1}{5}$, 5 termes : $S_2=1250\times \frac{1-{(-\frac{1}{5})}^5}{1+\frac{1}{5}}=1250\times \frac{3126}{3125}\times \frac{5}{6}=1042$ ; vérification : $1000+50-10+2=1042$. (1)
3. c)Premier terme $2^5=32$, raison 2, $12-5+1=8$ termes : $S_3=32\times \frac{2^8-1}{2-1}=32\times 255=8160$. (1)
4. d)La somme compte 7 termes (de $7^0$ à $7^6$) : l'exposant doit être 7. Son calcul donne $19608$ au lieu de $137257$. (1)

Erreur fréquente — L'exposant de la formule est le nombre de termes, pas le plus grand exposant écrit dans la somme.

1. a)Coefficient $1,035$ : $A_1=39\times 1,035\approx 40,37$ € ; $A_2=39\times 1,{035}^2\approx 41,78$ €. (1)
2. b)Chaque année le prix est multiplié par $1,035$ : géométrique de raison $1,035$, $A_n=39\times 1,{035}^n$. (1)
3. c)2034 correspond à $n=8$ : $A_8=39\times 1,{035}^8\approx 39\times 1,316809\approx 51,36$ €. (1)
4. d)$1,{035}^8\approx 1,3168$ : hausse d'environ 31,7 %. Les hausses portent sur des prix déjà augmentés : les coefficients se multiplient, les taux ne s'additionnent pas ($8\times 3,5=28$ est faux). (1)

Le point clé — Un taux constant sur plusieurs périodes donne un coefficient global égal à une puissance, jamais à une somme de taux.

1. a)Perdre 6 %, c'est multiplier par $0,94$ : $S_{n+1}=0,94S_n$, suite géométrique de raison $0,94$, donc $S_n=2400\times 0,{94}^n$. (1)
2. b)

   def seuil():
       n = 0
       s = 2400
       while s >= 1200:
           s = s * 0.94
           n = n + 1
       return n

   (1)
3. c)$S_{11}\approx 1215,1\ge 1200$ et $S_{12}\approx 1142,2<1200$ ; la suite est décroissante, donc la fonction renvoie 12. (1)
4. d)$0<0,94<1$ : $0,{94}^n$ se rapproche de 0, donc $S_n$ aussi ; $S_n$ finit par passer sous toute valeur positive, en particulier sous 1 ha. (1)

Astuce — Pour justifier un seuil, donner le dernier terme qui ne le franchit pas et le premier qui le franchit, en rappelant la monotonie.