Généralités sur les suites

A. 7 — u₃ = 3² − 2 = 9 − 2 = 7. La valeur 1 correspond à l’erreur (3 − 2)², et 14 est u₄.

B. 7 — v₁ = 2v₀ − 3 = 2 × 5 − 3 = 7 : on applique la relation au terme précédent v₀.

C. on calcule uₙ directement à partir de n — Forme explicite : uₙ = f(n). Le calcul à partir du terme précédent caractérise une relation de récurrence.

D. uₙ₊₁ ≥ uₙ — Croissante : chaque terme est supérieur ou égal au précédent. Il n’est pas nécessaire que l’écart soit au moins 1.

A. un ensemble de points isolés — On place les points (n ; uₙ) pour des entiers n, sans les relier.

B. u₀ = 1 — La suite est définie pour n ∈ ℕ : le premier terme est u₀ = 1/(0 + 1) = 1.

C. (wₙ) semble tendre vers 5 — Les termes se rapprochent de 5 quand n grandit : on conjecture une limite égale à 5 (une conjecture, pas une preuve).

D. 7 — range(3) donne k = 0, 1, 2 : u = 4 + 0 + 1 + 2 = 7. La valeur 10 suppose à tort k = 1, 2, 3.

A. le cinquième terme — Les termes sont u₀, u₁, u₂, u₃, u₄ : le terme de rang 4 est le cinquième. Le rang est l’indice, pas la valeur du terme.

B. strictement croissante — n² + 3 ≥ 3 > 0 pour tout n, donc uₙ₊₁ > uₙ : la suite est strictement croissante.

C. 26 — On remplace n par 5 : 5² + 1 = 26. 25 oublie le « + 1 » et 36 correspond à 6².

D. 10 — De l’indice 0 à l’indice 9, il y a 10 termes : une liste de u₀ à uₙ contient n + 1 éléments.

A. n² − 2n − 3 — uₙ₊₁ = (n + 1)² − 4(n + 1) = n² + 2n + 1 − 4n − 4 = n² − 2n − 3. Le choix n² − 4n + 1 est uₙ + 1.

B. 1 — u₁ = 4 − 3 = 1, u₂ = 1 − 3 = −2, u₃ = (−2)² − 3 = 1. Attention : (−2)² = 4.

C. strictement décroissante — −n² − 1 ≤ −1 < 0 pour tout n, donc uₙ₊₁ < uₙ : la suite est strictement décroissante.

D. 2(n + 1)/n — (n + 1) × 2ⁿ⁺¹ divisé par n × 2ⁿ donne 2(n + 1)/n, qui est supérieur à 1 : la suite est strictement croissante.

A. croissante — uₙ = f(n) avec f(x) = √(3x + 1) : x ↦ 3x + 1 et la racine carrée sont croissantes, donc f est croissante sur [0 ; +∞[ et la suite aussi.

B. 50 — 5/(n + 1) < 0,1 équivaut à n + 1 > 50, soit n ≥ 50. Pour n = 49, u₄₉ = 5,9 exactement, ce qui ne convient pas (inégalité stricte).

C. 12 — k = 0 : u = 2 ; k = 1 : u = 5 ; k = 2 : u = 12. Trois tours seulement ; 27 correspond à un quatrième tour.

D. n’a pas de limite — Les termes valent alternativement 3 et −3 : ils ne se rapprochent d’aucun réel et ne tendent pas vers l’infini.

A. 10 — u₁ = 1 + 0 = 1, u₂ = 1 + 3 = 4, u₃ = 4 + 6 = 10. Pour u₁, on prend n = 0 ; 19 est u₄.

B. la droite d’équation y = x — Un point de la droite y = x a la même abscisse que son ordonnée : il permet de reporter uₙ₊₁ de l’axe des ordonnées vers l’axe des abscisses.

C. 4n + 2 carreaux — 2(n + 1)² − 2n² = 2n² + 4n + 2 − 2n² = 4n + 2. Contrôle : de la figure 1 (2 carreaux) à la figure 2 (8 carreaux), on en ajoute 6.

D. 8 — u₇ ≤ 10 < u₈, et comme la suite est croissante, aucun terme d’indice inférieur à 7 ne dépasse 10 : le seuil est atteint au rang 8.

A. aucune des trois n’est assurée — Contre-exemple : f(x) = x/2 est croissante, mais avec u₀ = 4 on obtient 4, 2, 1 : la suite décroît. Avec u₀ = −4, elle croît. Rien n’est assuré sans autre information.

B. non, trois termes ne suffisent pas — Le sens de variation porte sur tous les termes. Par exemple uₙ = n + 1 − n(n − 1)(n − 2) donne 1, 2, 3 puis u₃ = −2 : quelques termes ne prouvent rien.

C. méthode invalide : termes de signes variables — La comparaison du quotient à 1 ne vaut que pour des termes strictement positifs. Ici 1, −2, 4, −8 : la suite n’est pas monotone.

D. 4 — uₙ₊₁ − uₙ = 2n − 8 ≥ 0 équivaut à n ≥ 4. On a u₄ = u₅ = −20, puis la suite croît : elle est croissante (au sens large) à partir du rang 4, et le rang 3 ne convient pas car u₄ < u₃. 9 est le rang où uₙ redevient nul, pas le début de la croissance.

A. peut avoir une limite finie — Contre-exemple : uₙ = 1 − 1/(n + 1) est croissante, reste inférieure à 1 et semble tendre vers 1.

B. 4 — u prend les valeurs 66,7 ; 22,2 ; 7,4 ; 2,47 : la boucle s’arrête après 4 tours. 2,47 est la dernière valeur de u, pas celle de n.

C. (uₙ) décroît et semble tendre vers 1 — uₙ = 1 + 4/(n + 1) : la fraction décroît et se rapproche de 0, donc (uₙ) décroît et semble tendre vers 1 (u₀ = 5 est le premier terme, pas la limite).

D. f soit décroissante sur [0 ; +∞[ — Si f est décroissante sur [0 ; +∞[, alors n < n + 1 entraîne f(n) ≥ f(n + 1). Comparer deux ou trois termes ne suffit pas.

A. 2 — uₙ₊₁ − uₙ = 2n − 4, positif ou nul dès que n ≥ 2 : u₂ = u₃ = 0,25 puis la suite croît. Le rang 3 convient aussi, mais ce n’est pas le plus petit ; 2,5 est l’abscisse du minimum de la fonction, pas un rang.

B. A = 2 — Pour tout n, uₙ < 2, donc la condition u ≤ 2 reste toujours vraie. Pour A = 1,9 ou A = 1,99, les termes finissent par dépasser A.

C. elle n’est pas monotone — u₁ = 0 + 1 = 1, u₂ = 1 − 1 = 0, u₃ = 1… : les termes valent alternativement 0 et 1. La suite monte puis descend : elle n’est pas monotone, et elle n’a pas de limite.

D. uₙ = 3 − n² — 3 − n² finit par passer sous n’importe quel nombre. (−3)ⁿ et (−1)ⁿ × n changent de signe, et −3 + 1/(n + 1) se rapproche de −3.