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Suites arithmétiques

Définition par récurrence, raison, terme général u(n) = u(0) + nr, sens de variation selon le signe de r, représentation (points alignés), somme 1 + 2 + … + n et somme de termes consécutifs, modélisation d'évolutions à accroissement constant

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Suites arithmétiques » en première permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de première et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Terme général d'une suite arithmétique, Sens de variation et représentation graphique, Somme de termes consécutifs. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser spécialité mathématiques en première.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Premiers termes et terme général

Facile

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = - 6$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = u_{n} + 3, 5$ .

a) Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b) Quelle est la nature de la suite $(u_{n})$ ? Préciser sa raison et son premier terme.
c) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
d) Calculer $u_{40}$ .

a) $u_{1} = u_{0} + 3, 5 = - 6 + 3, 5 = - 2, 5$ ; $u_{2} = - 2, 5 + 3, 5 = 1$ ; $u_{3} = 1 + 3, 5 = 4, 5$ . Donc $u_{1} = - 2, 5$ , $u_{2} = 1$ , $u_{3} = 4, 5$ .

b) Pour tout $n$ , $u_{n + 1} - u_{n} = 3, 5$ : la différence entre deux termes consécutifs est constante. $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r = 3, 5$ et de premier terme $u_{0} = - 6$ .

c) D'après le cours, $u_{n} = u_{0} + n r$ , donc $u_{n} = - 6 + 3, 5 n$ .

d) $u_{40} = - 6 + 3, 5 \times 40 = - 6 + 140$ , donc $u_{40} = 134$ .

Exercice 2 — Suite commençant au rang 1

Facile

La suite $(v_{n})_{n ⩾ 1}$ est arithmétique, de premier terme $v_{1} = 13$ et de raison $- 4$ .

a) Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
b) Calculer $v_{25}$ .
c) Les nombres $- 71$ et $- 50$ sont-ils des termes de la suite ? Si oui, préciser leur rang.
d) Donner le sens de variation de $(v_{n})$ en le justifiant.

a) La suite commence au rang 1, donc $v_{n} = v_{1} + (n - 1) r = 13 - 4 (n - 1) = 13 - 4 n + 4$ , soit $v_{n} = 17 - 4 n$ .

b) $v_{25} = 17 - 4 \times 25 = 17 - 100$ , donc $v_{25} = - 83$ .

c) On résout $17 - 4 n = - 71$ : $4 n = 88$ , $n = 22$ , entier supérieur ou égal à 1. $- 71$ est le terme $v_{22}$ .
On résout $17 - 4 n = - 50$ : $4 n = 67$ , $n = 16, 75$ , qui n'est pas un entier. $- 50$ n'est pas un terme de la suite.

d) Pour tout $n ⩾ 1$ , $v_{n + 1} - v_{n} = - 4 < 0$ . La raison est négative, donc $(v_{n})$ est strictement décroissante.

Exercice 3 — Arithmétique ou non ?

Facile

Pour chacune des suites suivantes, définies pour tout entier naturel $n$ , dire si elle est arithmétique. Si oui, préciser sa raison et son premier terme.

a) $a_{n} = 9 - 0, 8 n$
b) $b_{n} = n^{2} + 1$
c) $c_{n} = \frac{5 n + 2}{3}$
d) $d_{0} = 1$ et $d_{n + 1} = d_{n} + n$

a) $a_{n + 1} - a_{n} = 9 - 0, 8 (n + 1) - (9 - 0, 8 n) = - 0, 8$ , constante. $(a_{n})$ est arithmétique de raison $- 0, 8$ , avec $a_{0} = 9$ .

b) $b_{n + 1} - b_{n} = (n + 1)^{2} + 1 - n^{2} - 1 = 2 n + 1$ , qui dépend de $n$ . Contre-exemple : $b_{0} = 1$ , $b_{1} = 2$ , $b_{2} = 5$ ; $b_{1} - b_{0} = 1$ mais $b_{2} - b_{1} = 3$ . $(b_{n})$ n'est pas arithmétique.

c) $c_{n + 1} - c_{n} = \frac{5 (n + 1) + 2 - (5 n + 2)}{3} = \frac{5}{3}$ , constante. $(c_{n})$ est arithmétique de raison $\frac{5}{3}$ , avec $c_{0} = \frac{2}{3}$ .

d) $d_{1} = d_{0} + 0 = 1$ , $d_{2} = d_{1} + 1 = 2$ , $d_{3} = d_{2} + 2 = 4$ . Les différences $d_{1} - d_{0} = 0$ et $d_{2} - d_{1} = 1$ sont distinctes : $(d_{n})$ n'est pas arithmétique (on ajoute $n$ , qui n'est pas constant).

Exercice 4 — Deux termes connus

Moyen

La suite $(u_{n})$ est arithmétique, avec $u_{5} = 8$ et $u_{17} = - 25$ .

a) Déterminer la raison $r$ de la suite.
b) Calculer $u_{0}$ .
c) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
d) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0$ .

a) Pour une suite arithmétique, $u_{17} = u_{5} + (17 - 5) r$ , soit $- 25 = 8 + 12 r$ . Donc $12 r = - 33$ et $r = - 2, 75$ .

b) $u_{5} = u_{0} + 5 r$ , donc $u_{0} = u_{5} - 5 r = 8 - 5 \times (- 2, 75) = 8 + 13, 75$ , soit $u_{0} = 21, 75$ .

c) $u_{n} = 21, 75 - 2, 75 n$ . Contrôle : $u_{17} = 21, 75 - 46, 75 = - 25$ .

d) $u_{n} < 0 ⟺ 21, 75 < 2, 75 n ⟺ n > \frac{21, 75}{2, 75} \approx 7, 91$ . Le plus petit entier qui convient est $8$ . Vérification : $u_{7} = 21, 75 - 19, 25 = 2, 5 > 0$ et $u_{8} = 21, 75 - 22 = - 0, 25 < 0$ . Le premier terme strictement négatif est $u_{8}$ .

Exercice 5 — Sommes d'entiers consécutifs

Moyen

a) Calculer $1 + 2 + \dots + 60$ .
b) Calculer $21 + 22 + \dots + 60$ .
c) Calculer la somme des nombres pairs de $2$ à $150$ .
d) Déterminer l'entier $n$ tel que $1 + 2 + \dots + n = 435$ .

a) D'après la formule $1 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ : $1 + \dots + 60 = \frac{60 \times 61}{2}$ = $1 830$ .

b) $21 + \dots + 60 = (1 + \dots + 60) - (1 + \dots + 20) = 1 830 - \frac{20 \times 21}{2} = 1 830 - 210$ = $1 620$ .
Contrôle : il y a $60 - 21 + 1 = 40$ termes, et $40 \times \frac{21 + 60}{2} = 40 \times 40, 5 = 1 620$ .

c) $2 + 4 + \dots + 150 = 2 (1 + 2 + \dots + 75) = 2 \times \frac{75 \times 76}{2} = 75 \times 76$ = $5 700$ .

d) On cherche $n$ entier tel que $\frac{n (n + 1)}{2} = 435$ , soit $n^{2} + n - 870 = 0$ . $Δ = 1 + 4 \times 870 = 3 481 = 59^{2}$ . Les racines sont $\frac{- 1 + 59}{2} = 29$ et $\frac{- 1 - 59}{2} = - 30$ (rejetée, car $n ⩾ 1$ ). $n = 29$ . Contrôle : $\frac{29 \times 30}{2} = 435$ .

Exercice 6 — Somme de termes d'une suite arithmétique

Moyen

La suite $(w_{n})$ est arithmétique de premier terme $w_{0} = 4$ et de raison $1, 5$ .

a) Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$ .
b) Calculer $w_{30}$ .
c) Calculer $S = w_{0} + w_{1} + \dots + w_{30}$ .
d) Calculer $T = w_{10} + w_{11} + \dots + w_{30}$ .

a) $w_{n} = w_{0} + n r$ , donc $w_{n} = 4 + 1, 5 n$ .

b) $w_{30} = 4 + 1, 5 \times 30 = 4 + 45$ , donc $w_{30} = 49$ .

c) De $w_{0}$ à $w_{30}$ , il y a $30 - 0 + 1 = 31$ termes. $S = 31 \times \frac{w_{0} + w_{30}}{2} = 31 \times \frac{4 + 49}{2} = 31 \times 26, 5$ , soit $S = 821, 5$ .

d) $w_{10} = 4 + 15 = 19$ . De $w_{10}$ à $w_{30}$ , il y a $30 - 10 + 1 = 21$ termes. $T = 21 \times \frac{19 + 49}{2} = 21 \times 34$ , soit $T = 714$ .
Contrôle : $S - T = w_{0} + \dots + w_{9} = 10 \times \frac{4 + 17, 5}{2} = 107, 5$ et $821, 5 - 714 = 107, 5$ .

Exercice 7 — Points alignés et variations

Moyen

Dans un repère, les points $A_{n} (n; u_{n})$ , pour $n \in ℕ$ , sont tous situés sur la droite $𝒟$ d'équation $y = - 0, 4 x + 6$ .

a) Montrer que la suite $(u_{n})$ est arithmétique ; préciser sa raison et son premier terme.
b) Donner le sens de variation de $(u_{n})$ .
c) Combien de points $A_{n}$ ont une ordonnée positive ou nulle ?
d) Un élève affirme : « $u_{12} = 1, 2$ et $u_{13} = 0, 8$ , donc $u_{13} < u_{12}$ et la suite est décroissante. » Expliquer pourquoi ce raisonnement est insuffisant pour une suite quelconque, puis pourquoi la conclusion est juste ici.

a) $A_{n}$ appartient à $𝒟$ , donc $u_{n} = - 0, 4 n + 6$ pour tout $n$ . Alors $u_{n + 1} - u_{n} = - 0, 4 (n + 1) + 6 - (- 0, 4 n + 6) = - 0, 4$ , constante. $(u_{n})$ est arithmétique de raison $- 0, 4$ et de premier terme $u_{0} = 6$ .

b) La raison est strictement négative : $(u_{n})$ est strictement décroissante.

c) $u_{n} ⩾ 0 ⟺ 6 - 0, 4 n ⩾ 0 ⟺ n ⩽ 15$ . Les entiers concernés sont $0, 1, \dots, 15$ ( $u_{15} = 0$ compte). 16 points ont une ordonnée positive ou nulle.

d) Pour une suite quelconque, comparer deux termes ne renseigne que sur ces deux termes : la suite pourrait croître ensuite (par exemple $1$ ; $3$ ; $2$ ; $5$ ). L'argument de l'élève est donc insuffisant. Ici, la suite est arithmétique : la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ vaut la même raison $r$ pour tout $n$ , et $r = u_{13} - u_{12} = - 0, 4 < 0$ . Une seule différence négative suffit donc, mais seulement parce que la suite est arithmétique.

Exercice 8 — Une différence de carrés

Difficile

On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = (2 n + 3)^{2} - (2 n - 1)^{2}$ .

a) Montrer que $(u_{n})$ est arithmétique ; préciser sa raison et son premier terme.
b) Calculer $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{24}$ .
c) Montrer que, pour tout $n$ , $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = 8 (n + 1)^{2}$ .
d) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} > 10 000$ .

a) On développe : $u_{n} = (4 n^{2} + 12 n + 9) - (4 n^{2} - 4 n + 1) = 16 n + 8$ . Donc $u_{n + 1} - u_{n} = 16 (n + 1) + 8 - (16 n + 8) = 16$ , constante. $(u_{n})$ est arithmétique de raison $16$ et de premier terme $u_{0} = 8$ .

b) $u_{24} = 16 \times 24 + 8 = 392$ ; il y a $25$ termes. Somme $= 25 \times \frac{8 + 392}{2} = 25 \times 200$ = $5 000$ .

c) De $u_{0}$ à $u_{n}$ il y a $n + 1$ termes, donc $u_{0} + \dots + u_{n} = (n + 1) \frac{u_{0} + u_{n}}{2} = (n + 1) \frac{8 + 16 n + 8}{2} = (n + 1) (8 n + 8) = 8 (n + 1)^{2}$ . C'est l'égalité demandée (contrôle : $n = 24$ donne $8 \times 625 = 5 000$ ).

d) $8 (n + 1)^{2} > 10 000 ⟺ (n + 1)^{2} > 1 250 ⟺ n + 1 > \sqrt{1 250} \approx 35, 36$ (car $n + 1 > 0$ ). Donc $n + 1 ⩾ 36$ , soit $n ⩾ 35$ . Vérification : $n = 34$ donne $8 \times 35^{2} = 9 800$ ; $n = 35$ donne $8 \times 36^{2} = 10 368$ . Le plus petit entier est $n = 35$ .

Exercice 9 — Une suite auxiliaire arithmétique

Difficile

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{1 + 3 u_{n}}$ . On admet que $u_{n} > 0$ pour tout $n$ . On pose $v_{n} = \frac{1}{u_{n}}$ .

a) Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
b) Montrer que $(v_{n})$ est arithmétique ; préciser sa raison et son premier terme.
c) Exprimer $v_{n}$ , puis $u_{n}$ , en fonction de $n$ .
d) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0, 001$ .

a) $u_{1} = \frac{2}{1 + 6} = \frac{2}{7}$ ; $u_{2} = \frac{2 / 7}{1 + 6 / 7} = \frac{2 / 7}{13 / 7} = \frac{2}{13}$ . $u_{1} = \frac{2}{7}$ et $u_{2} = \frac{2}{13}$ .

b) Pour tout $n$ ( $u_{n} \neq 0$ ) : $v_{n + 1} = \frac{1}{u_{n + 1}} = \frac{1 + 3 u_{n}}{u_{n}} = \frac{1}{u_{n}} + 3 = v_{n} + 3$ . $(v_{n})$ est arithmétique de raison $3$ et de premier terme $v_{0} = \frac{1}{2}$ .

c) $v_{n} = v_{0} + 3 n = \frac{1}{2} + 3 n = \frac{1 + 6 n}{2}$ . Comme $u_{n} = \frac{1}{v_{n}}$ : $u_{n} = \frac{2}{1 + 6 n}$ . Contrôle : $n = 2$ donne $\frac{2}{13}$ .

d) Les deux membres étant positifs, $\frac{2}{1 + 6 n} < 0, 001 ⟺ 1 + 6 n > 2 000 ⟺ n > \frac{1 999}{6} \approx 333, 17$ . Vérification : $u_{333} = \frac{2}{1 999} > 0, 001$ et $u_{334} = \frac{2}{2 005} < 0, 001$ . Le plus petit entier est $n = 334$ .

Exercice 10 — Trois termes consécutifs

Difficile

a) Soit $a$ , $b$ , $c$ trois termes consécutifs, dans cet ordre, d'une suite arithmétique. Montrer que $2 b = a + c$ .
b) Réciproquement, montrer que si $2 b = a + c$ , alors $a$ , $b$ , $c$ sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique.
c) Déterminer les réels $x$ pour lesquels $3 x - 1$ , $x^{2} + 2$ et $5 x + 5$ sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique. Préciser à chaque fois la raison.
d) Déterminer trois termes consécutifs d'une suite arithmétique dont la somme vaut $27$ et le produit $585$ .

a) Si $r$ est la raison, $b = a + r$ et $c = b + r$ . Donc $a + c = (b - r) + (b + r) = 2 b$ . $2 b = a + c$ : le terme du milieu est la moyenne des deux autres.

b) Si $2 b = a + c$ , alors $b - a = c - b$ . En posant $r = b - a$ , on a $b = a + r$ et $c = b + r$ : $a$ , $b$ , $c$ sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $r$ .

c) D'après a) et b), la condition équivaut à $2 (x^{2} + 2) = (3 x - 1) + (5 x + 5)$ , soit $2 x^{2} + 4 = 8 x + 4$ , soit $2 x (x - 4) = 0$ . Donc $x = 0$ ou $x = 4$ .
• $x = 0$ : $- 1$ ; $2$ ; $5$ , raison $3$ .
• $x = 4$ : $11$ ; $18$ ; $25$ , raison $7$ .

d) Notons $b$ le terme du milieu et $r$ la raison : les termes sont $b - r$ , $b$ , $b + r$ . Leur somme vaut $3 b = 27$ , donc $b = 9$ . Le produit vaut $(9 - r) \times 9 \times (9 + r) = 9 (81 - r^{2}) = 585$ , d'où $81 - r^{2} = 65$ , $r^{2} = 16$ , $r = 4$ ou $r = - 4$ . Les trois termes sont $5$ ; $9$ ; $13$ (ou $13$ ; $9$ ; $5$ si $r = - 4$ ). Contrôle : $5 \times 9 \times 13 = 585$ .

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