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Suites géométriques

Définition par récurrence, raison, terme général u(n) = u(0) × qⁿ, sens de variation selon q (q > 0), somme 1 + q + … + qⁿ et somme de termes consécutifs, comportement de qⁿ (approche intuitive), modélisation d'évolutions à taux constant

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Suites géométriques » en première permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de première et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, Reconnaître une suite géométrique, Terme général et raison, Sens de variation et comportement de qⁿ. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en première.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Placement à intérêts composés

Moyen

Partie A. Le 1er janvier 2026, Inès place 5 000 € sur un compte rémunéré à 2,4 % par an, à intérêts composés : chaque 1er janvier, les intérêts de l'année écoulée s'ajoutent au capital et rapportent à leur tour. On note $C_{n}$ le capital, en euros, au 1er janvier de l'année $2026 + n$ ; ainsi $C_{0} = 5 000$ .
Partie B. Son frère Malo verse 1 000 € sur un compte au même taux le 1er janvier de chaque année, de 2026 à 2035 inclus, sans retrait.

1. Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$ .
2. Montrer que $(C_{n})$ est géométrique, préciser sa raison et exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$ .
3. Calculer le capital d'Inès au 1er janvier 2036, arrondi au centime, puis le pourcentage d'augmentation global sur ces dix ans.
4. a) Écrire une fonction Python $d o u b l e m e n t ()$ qui renvoie le nombre d'années nécessaires pour que le capital d'Inès atteigne au moins 10 000 €.
4. b) Déterminer ce nombre d'années en justifiant par des valeurs de $C_{n}$ .
5. Montrer que le capital de Malo au 1er janvier 2036 (intérêts de 2035 compris) vaut $1 000 \times (1, 024 + 1, 024^{2} + \dots + 1, 024^{10})$ , puis calculer ce montant.
6. Comparer les intérêts gagnés par Inès et par Malo au 1er janvier 2036.

1. Augmenter de 2,4 %, c'est multiplier par $1, 024$ . $C_{1} = 5 000 \times 1, 024 = 5 120$ et $C_{2} = 5 120 \times 1, 024 = 5 242, 88$ . $C_{1} = 5 120$ € ; $C_{2} = 5 242, 88$ €.

2. Chaque année, le capital est multiplié par le même coefficient : $C_{n + 1} = 1, 024 C_{n}$ pour tout $n$ . $(C_{n})$ est géométrique de raison $1, 024$ et de premier terme $5 000$ , donc $C_{n} = 5 000 \times 1, 024^{n}$ .

3. Le 1er janvier 2036 correspond à $n = 10$ . $C_{10} = 5 000 \times 1, 024^{10} \approx 5 000 \times 1, 267 651$ , donc $C_{10} \approx 6 338, 25$ €. Le coefficient global vaut $1, 024^{10} \approx 1, 2677$ : augmentation globale d'environ 26,8 % (et non $10 \times 2, 4 = 24 %$ , car les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts).

4. a)

def doublement():
    n = 0
    c = 5000
    while c < 10000:
        c = c * 1.024
        n = n + 1
    return n

4. b) Comme $1, 024 > 1$ , $1, 024^{n}$ devient aussi grand que l'on veut, donc le seuil sera atteint. À la calculatrice : $C_{29} = 5 000 \times 1, 024^{29} \approx 9 946, 47 < 10 000$ et $C_{30} \approx 10 185, 18 \geq 10 000$ . La suite étant croissante, le capital a doublé au bout de 30 ans, soit au 1er janvier 2056.

5. Le versement du 1er janvier $2026 + k$ ( $0 \leq k \leq 9$ ) reste placé $10 - k$ années jusqu'au 1er janvier 2036 : il vaut alors $1 000 \times 1, 024^{10 - k}$ . Quand $k$ va de $0$ à $9$ , l'exposant $10 - k$ va de $10$ à $1$ , d'où le capital $M = 1 000 \times (1, 024 + 1, 024^{2} + \dots + 1, 024^{10})$ . C'est une somme de 10 termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme $1, 024$ et de raison $1, 024$ : $M = 1 000 \times 1, 024 \times \frac{1 - 1, 024^{10}}{1 - 1, 024} = 1 024 \times \frac{1, 024^{10} - 1}{0, 024} \approx 1 024 \times 11, 152 11$ . $M \approx 11 419, 76$ €.

6. Inès a versé 5 000 € et gagné $6 338, 25 - 5 000 = 1 338, 25$ €. Malo a versé $10 \times 1 000 = 10 000$ € et gagné $11 419, 76 - 10 000 = 1 419, 76$ €. Malo gagne un peu plus d'intérêts, mais en versant deux fois plus : ses premiers versements sont placés longtemps, les derniers très peu.

Problème 2 — Élimination d'un médicament

Moyen

Juste après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang d'un patient est de 8 mg/L. On admet que, chaque heure, cette concentration diminue de 15 %. On note $c_{n}$ la concentration, en mg/L, $n$ heures après l'injection ; ainsi $c_{0} = 8$ . Le médicament n'est plus efficace lorsque la concentration est strictement inférieure à 2 mg/L.

1. Calculer $c_{1}$ et $c_{2}$ .
2. a) Justifier que $(c_{n})$ est une suite géométrique.
2. b) Exprimer $c_{n}$ en fonction de $n$ et donner le sens de variation de $(c_{n})$ .
3. Au bout de combien d'heures entières le médicament cesse-t-il d'être efficace ? Justifier par des valeurs de $c_{n}$ arrondies au centième.
4. Un infirmier affirme : « En deux heures, la concentration baisse de 30 %. » Expliquer son erreur, puis donner le pourcentage exact de baisse en 2 heures, puis en 4 heures.
5. Décrire le comportement de $c_{n}$ lorsque $n$ devient très grand et l'interpréter. Ce modèle est-il réaliste sur plusieurs jours ?

1. Diminuer de 15 %, c'est multiplier par $0, 85$ . $c_{1} = 8 \times 0, 85 = 6, 8$ et $c_{2} = 6, 8 \times 0, 85 = 5, 78$ . $c_{1} = 6, 8$ mg/L ; $c_{2} = 5, 78$ mg/L.

2. a) Chaque heure, la concentration est multipliée par le même coefficient $0, 85$ : $c_{n + 1} = 0, 85 c_{n}$ pour tout $n$ . $(c_{n})$ est géométrique de raison $0, 85$ et de premier terme $8$ .

2. b) $c_{n} = 8 \times 0, 85^{n}$ . Comme $c_{0} > 0$ et $0 < 0, 85 < 1$ , la suite est strictement décroissante : $c_{n + 1} - c_{n} = - 0, 15 c_{n} < 0$ .

3. On cherche le plus petit $n$ tel que $8 \times 0, 85^{n} < 2$ . À la calculatrice : $c_{8} = 8 \times 0, 85^{8} \approx 2, 18 \geq 2$ et $c_{9} = 8 \times 0, 85^{9} \approx 1, 85 < 2$ . La suite étant décroissante, la concentration reste ensuite sous 2 mg/L. Le médicament cesse d'être efficace au bout de 9 heures.

4. La deuxième baisse de 15 % s'applique à une concentration déjà diminuée : on ne peut pas additionner les taux. Le coefficient sur 2 heures est $0, 85^{2} = 0, 7225$ , soit une baisse de $1 - 0, 7225 = 0, 2775$ : 27,75 % en 2 heures, un peu moins que 30 %. Sur 4 heures : $0, 85^{4} = 0, 522 006 25$ , soit une baisse d'environ 47,8 %.

5. Comme $0 < 0, 85 < 1$ , $0, 85^{n}$ se rapproche de $0$ , donc $c_{n}$ se rapproche de $0$ sans jamais l'atteindre : le médicament est progressivement éliminé. Sur plusieurs jours, le modèle prédit des concentrations infimes mais non nulles, alors qu'en réalité le produit devient indétectable ; de plus, le taux d'élimination dépend du patient. Le modèle est pertinent sur quelques heures, moins au-delà.

Problème 3 — Le flocon de Koch

Difficile

À l'étape 0, on dispose d'un triangle équilatéral de côté 9 cm. Pour passer d'une étape à la suivante, on partage chaque côté de la figure en trois segments de même longueur, on construit vers l'extérieur un triangle équilatéral ayant pour base le segment du milieu, puis on efface ce segment du milieu. Chaque côté est ainsi remplacé par 4 côtés trois fois plus courts. On note, à l'étape $n$ : $N_{n}$ le nombre de côtés, $ℓ_{n}$ la longueur d'un côté (en cm), $P_{n}$ le périmètre (en cm) et $A_{n}$ l'aire (en cm²). On admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté $a$ vaut $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ et on note $A_{0} = \frac{81 \sqrt{3}}{4}$ .

1. Donner $N_{1}$ , $ℓ_{1}$ et $P_{1}$ .
2. Justifier que $(N_{n})$ et $(ℓ_{n})$ sont géométriques et exprimer $N_{n}$ et $ℓ_{n}$ en fonction de $n$ .
3. Montrer que $P_{n} = 27 \times {(\frac{4}{3})}^{n}$ . Décrire le comportement de $P_{n}$ lorsque $n$ devient très grand.
4. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel le périmètre dépasse 1 mètre.
5. a) Montrer que l'aire ajoutée lors du passage de l'étape $k - 1$ à l'étape $k$ ( $k \geq 1$ ) vaut $a_{k} = \frac{A_{0}}{3} \times {(\frac{4}{9})}^{k - 1}$ .
5. b) En déduire que $A_{n} = A_{0} [1 + \frac{3}{5} (1 - {(\frac{4}{9})}^{n})]$ .
6. Montrer que $A_{n} < \frac{8}{5} A_{0}$ pour tout $n$ . Commenter en comparant avec la question 3.

1. Chacun des 3 côtés est remplacé par 4 côtés de longueur $\frac{9}{3} = 3$ cm : $N_{1} = 12$ , $ℓ_{1} = 3$ cm, $P_{1} = 12 \times 3 = 36$ cm.

2. À chaque étape, chaque côté est remplacé par 4 côtés : $N_{n + 1} = 4 N_{n}$ , donc $(N_{n})$ est géométrique de raison $4$ et de premier terme $N_{0} = 3$ : $N_{n} = 3 \times 4^{n}$ . Chaque nouveau côté mesure le tiers de l'ancien : $ℓ_{n + 1} = \frac{1}{3} ℓ_{n}$ , donc $(ℓ_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme $9$ : $ℓ_{n} = 9 \times {(\frac{1}{3})}^{n} = \frac{9}{3^{n}}$ .

3. $P_{n} = N_{n} \times ℓ_{n} = 3 \times 4^{n} \times \frac{9}{3^{n}} = 27 \times \frac{4^{n}}{3^{n}}$ , donc $P_{n} = 27 \times {(\frac{4}{3})}^{n}$ . $(P_{n})$ est géométrique de raison $\frac{4}{3} > 1$ et de premier terme positif : elle est croissante et, comme ${(\frac{4}{3})}^{n}$ devient aussi grand que l'on veut, le périmètre devient aussi grand que l'on veut.

4. On cherche le plus petit $n$ tel que $P_{n} > 100$ . $P_{4} = 27 \times \frac{256}{81} = \frac{256}{3} \approx 85, 33$ et $P_{5} = 27 \times \frac{1 024}{243} = \frac{1 024}{9} \approx 113, 78$ . La suite étant croissante, le périmètre dépasse 1 m à partir de l'étape 5.

5. a) Pour passer de l'étape $k - 1$ à l'étape $k$ , on ajoute un petit triangle sur chacun des $N_{k - 1} = 3 \times 4^{k - 1}$ côtés. Chaque petit triangle a pour côté $ℓ_{k} = \frac{9}{3^{k}}$ , donc pour aire $\frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{81}{9^{k}} = \frac{A_{0}}{9^{k}}$ . Ainsi $a_{k} = 3 \times 4^{k - 1} \times \frac{A_{0}}{9^{k}} = \frac{3 \times 4^{k - 1}}{9 \times 9^{k - 1}} A_{0}$ , soit $a_{k} = \frac{A_{0}}{3} \times {(\frac{4}{9})}^{k - 1}$ . Contrôle : $a_{1} = \frac{A_{0}}{3}$ , ce sont bien 3 triangles d'aire $\frac{A_{0}}{9}$ .

5. b) $A_{n} = A_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ . La somme $a_{1} + \dots + a_{n}$ compte $n$ termes d'une suite géométrique de premier terme $\frac{A_{0}}{3}$ et de raison $\frac{4}{9} \neq 1$ : $a_{1} + \dots + a_{n} = \frac{A_{0}}{3} \times \frac{1 - {(\frac{4}{9})}^{n}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{A_{0}}{3} \times \frac{9}{5} (1 - {(\frac{4}{9})}^{n}) = \frac{3}{5} A_{0} (1 - {(\frac{4}{9})}^{n})$ . D'où $A_{n} = A_{0} [1 + \frac{3}{5} (1 - {(\frac{4}{9})}^{n})]$ .

6. Comme ${(\frac{4}{9})}^{n} > 0$ , on a $1 - {(\frac{4}{9})}^{n} < 1$ , donc $A_{n} < A_{0} (1 + \frac{3}{5}) = \frac{8}{5} A_{0}$ . Pour tout $n$ , $A_{n} < \frac{8}{5} A_{0} \approx 56, 12$ cm², et $A_{n}$ se rapproche de cette valeur car ${(\frac{4}{9})}^{n}$ se rapproche de $0$ . Conclusion : le périmètre devient aussi grand que l'on veut alors que l'aire reste bornée ; la figure tient toujours dans une feuille, mais son contour s'allonge sans limite.

Problème 4 — Deux villes, deux dynamiques

Difficile

Au 1er janvier 2026, la ville de Vallon compte 18 000 habitants et perd 1,5 % de sa population chaque année ; la ville de Ribeyre compte 11 000 habitants et en gagne 2,2 % chaque année. On suppose ces évolutions constantes. On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les populations respectives de Vallon et de Ribeyre au 1er janvier de l'année $2026 + n$ .

1. Calculer $a_{1}$ et $b_{1}$ .
2. Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ et donner le sens de variation de chaque suite.
3. Calculer le pourcentage d'évolution global de Ribeyre sur 10 ans, arrondi à 0,1 %. Expliquer pourquoi il n'est pas égal à 22 %.
4. Écrire une fonction Python $d e p a s s e m e n t ()$ qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $b_{n} > a_{n}$ .
5. Déterminer, en justifiant par des valeurs arrondies à l'unité, l'année où Ribeyre devient plus peuplée que Vallon.
6. On pose $r_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ . Montrer que $(r_{n})$ est géométrique et croissante. En déduire qu'une fois dépassée, Vallon ne repasse plus devant Ribeyre.
7. Selon ce modèle, que devient la population de Vallon à très long terme ? Discuter la pertinence du modèle.

1. Les coefficients multiplicateurs sont $1 - 0, 015 = 0, 985$ et $1 + 0, 022 = 1, 022$ . $a_{1} = 18 000 \times 0, 985 = 17 730$ et $b_{1} = 11 000 \times 1, 022 = 11 242$ . $a_{1} = 17 730$ ; $b_{1} = 11 242$ .

2. Chaque année, $a_{n + 1} = 0, 985 a_{n}$ et $b_{n + 1} = 1, 022 b_{n}$ : ce sont deux suites géométriques. $a_{n} = 18 000 \times 0, 985^{n}$ et $b_{n} = 11 000 \times 1, 022^{n}$ . Premiers termes positifs ; $0 < 0, 985 < 1$ donc $(a_{n})$ est strictement décroissante ; $1, 022 > 1$ donc $(b_{n})$ est strictement croissante.

3. Le coefficient global sur 10 ans est $1, 022^{10} \approx 1, 2431$ : hausse globale d'environ 24,3 %. Ce n'est pas $10 \times 2, 2 = 22 %$ car chaque hausse porte sur une population déjà augmentée : les coefficients se multiplient, les taux ne s'additionnent pas.

def depassement():
    a = 18000
    b = 11000
    n = 0
    while b <= a:
        a = a * 0.985
        b = b * 1.022
        n = n + 1
    return n

5. À la calculatrice : $a_{13} \approx 14 789$ et $b_{13} \approx 14 597$ , donc $b_{13} < a_{13}$ ; $a_{14} \approx 14 567$ et $b_{14} \approx 14 918$ , donc $b_{14} > a_{14}$ . La fonction renvoie $14$ : Ribeyre devient plus peuplée que Vallon en 2040 (au 1er janvier).

6. $r_{n} = \frac{11 000 \times 1, 022^{n}}{18 000 \times 0, 985^{n}} = \frac{11}{18} \times {(\frac{1, 022}{0, 985})}^{n}$ . Donc $r_{n + 1} = \frac{1, 022}{0, 985} r_{n}$ : $(r_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1, 022}{0, 985} \approx 1, 0376$ et de premier terme $\frac{11}{18}$ . Premier terme positif et raison supérieure à 1 : $(r_{n})$ est strictement croissante. Or $b_{n} > a_{n}$ équivaut à $r_{n} > 1$ (car $a_{n} > 0$ ). Dès que $r_{n} > 1$ , tous les termes suivants sont encore plus grands : à partir de 2040, Ribeyre reste toujours plus peuplée que Vallon.

7. Comme $0 < 0, 985 < 1$ , $0, 985^{n}$ se rapproche de $0$ : selon le modèle, la population de Vallon tendrait vers 0 et celle de Ribeyre deviendrait aussi grande que l'on veut. C'est irréaliste à long terme : les taux d'évolution changent (politique du logement, emploi, attractivité). Le modèle à taux constant n'est raisonnable que sur quelques années ou décennies.

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