Généralités sur les suites

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=2n^2-5n+4$.

1. $u_1=$
   On remplace $n$ par $1$ : $u_1=2-5+4=1$. De même $u_0=4$.
2. $u_3=$
   $u_3=2\times 9-15+4=7$.
3. $u_{10}=$
   $u_{10}=2\times 100-50+4=154$. La forme explicite permet ce calcul sans connaître les termes précédents.
4. Démontrer que, pour tout $n$, $u_{n+1}=2n^2-n+c$, et donner $c=$
   Rédaction attendue. On remplace $n$ par $n+1$ partout : $u_{n+1}=2(n+1{)}^2-5(n+1)+4$ $=2n^2+4n+2-5n-5+4$ $=2n^2-n+1$. Donc $c=1$. Contrôle : pour $n=2$, $8-2+1=7$, qui est bien $u_3$.
5. $u_n+1=2n^2-5n+d$, avec $d=$
   $u_n+1=2n^2-5n+4+1=2n^2-5n+5$. Pour $n=0$ : $u_1=1$ alors que $u_0+1=5$. $u_{n+1}$ est le terme suivant, $u_n+1$ est le terme augmenté de $1$.

Calculer les termes demandés de proche en proche.

1. $v_0=-1$ et $v_{n+1}=v_n^2+v_n-3$ : $v_2=$
   $v_1=(-1{)}^2+(-1)-3=1-1-3=-3$, puis $v_2=(-3{)}^2+(-3)-3=9-3-3=3$.
2. Avec la même suite, $v_4=$
   $v_3=3^2+3-3=9$, puis $v_4=9^2+9-3=81+6=87$. La relation donne chaque terme à partir du précédent : pour obtenir $v_{50}$, il faudrait calculer les $50$ termes de proche en proche, d’où l’intérêt d’un programme :

   def v(n):
       t = -1
       for k in range(n):
           t = t**2 + t - 3
       return t

   v(4) renvoie bien $87$.
3. $c_0=2$ et $c_{n+1}=c_n+2n-1$ : $c_3=$
   Pour $c_1$, on prend $n=0$ : $c_1=2+0-1=1$. Puis $n=1$ : $c_2=1+2-1=2$. Puis $n=2$ : $c_3=2+4-1=5$.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $e_n={\displaystyle \frac{3n-1}{n+2}}$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $e_2=$
   $e_2={\displaystyle \frac{6-1}{2+2}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$.
2. Démontrer que, pour tout $n$, $e_{n+1}={\displaystyle \frac{3n+a}{n+3}}$, et donner $a=$
   Rédaction attendue. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on remplace $n$ par $n+1$ dans l’expression de $e_n$ : $e_{n+1}={\displaystyle \frac{3(n+1)-1}{(n+1)+2}}={\displaystyle \frac{3n+3-1}{n+3}}={\displaystyle \frac{3n+2}{n+3}}$. Donc $a=2$.
3. $e_n+1={\displaystyle \frac{bn+1}{n+2}}$, avec $b=$
   $e_n+1={\displaystyle \frac{3n-1}{n+2}}+{\displaystyle \frac{n+2}{n+2}}={\displaystyle \frac{4n+1}{n+2}}$. Cette expression est différente de $e_{n+1}$ : ajouter $1$ au terme n’est pas passer au terme suivant.

La suite $(f_n)$ est définie pour $n⩾1$ par $f_1=1$ et $f_{n+1}=f_n+{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $f_3=$
   Pour $f_2$, on prend $n=1$ : $f_2=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Puis $n=2$ : $f_3={\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{9}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{10}{6}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$.
2. On conjecture que $f_n=2-{\displaystyle \frac{1}{n}}$. Justifier que la suite $g_n=2-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ a le même premier terme que $(f_n)$ et vérifie la même relation de récurrence, puis donner $f_{100}=$
   Rédaction attendue. $g_1=2-1=1=f_1$. Pour tout $n⩾1$, $g_{n+1}-g_n=(2-{\displaystyle \frac{1}{n+1}})-(2-{\displaystyle \frac{1}{n}})={\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}={\displaystyle \frac{(n+1)-n}{n(n+1)}}={\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$, donc $g_{n+1}=g_n+{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$. Les suites $(f_n)$ et $(g_n)$ ont le même premier terme et la même relation : de proche en proche, $f_2=g_2$, $f_3=g_3$, et ainsi de suite, donc $f_n=2-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour tout $n⩾1$. Ainsi $f_{100}=2-0,01=1,99$.

La figure $n$ ($n⩾1$) d’un motif est un rectangle de $n$ jetons sur $n+2$ jetons ; $h_n$ est son nombre de jetons.

1. $h_1=$
   La figure 1 est une rangée de $1\times 3=3$ jetons.
2. $h_4=$
   $h_4=4\times 6=24$ : forme explicite $h_n=n(n+2)$.
3. Pour passer de la figure $n$ à la figure $n+1$, on ajoute $2n+$ jetons
   $h_{n+1}-h_n=(n+1)(n+3)-n(n+2)=n^2+4n+3-n^2-2n=2n+3$. Contrôle : $h_2-h_1=8-3=5$, qui vaut bien $2\times 1+3$.

Une médiathèque possède $4000$ livres au 1^er janvier 2026. Chaque année, elle retire $5\%$ de ses livres et en achète $300$. On note $L_n$ le nombre de livres au 1^er janvier de l’année $2026+n$.

1. Pour tout $n$, $L_{n+1}=k\times L_n+300$, avec $k=$
   Retirer $5\%$ des livres, c’est en garder $95\%$ : il reste $0,95L_n$ livres, puis on en ajoute $300$. Donc $k=0,95$.
2. $L_1=$
   $L_1=0,95\times 4000+300=3800+300=4100$.
3. $L_2=$
   $L_2=0,95\times 4100+300=3895+300=4195$.

On considère la fonction Python suivante.

def suite(n):
    u = 5
    for k in range(n):
        u = 3*u - 8
    return u

1. suite(2) renvoie
   Tour $k=0$ : $u=15-8=7$ ; tour $k=1$ : $u=21-8=13$. Deux tours, la fonction renvoie $13$.
2. Justifier que suite(n) renvoie le terme $u_n$ de la suite définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=3u_n-8$, puis donner $u_3=$
   Rédaction attendue. Avant la boucle, la variable u contient $5=u_0$. À chaque tour, l’instruction u = 3*u - 8 remplace le terme contenu dans u par le suivant : après $1$ tour, u contient $u_1$ ; après $k$ tours, $u_k$. La boucle fait $n$ tours, donc la fonction renvoie $u_n$. Ainsi $u_3=3\times 13-8=31$.
3. suite(4) renvoie
   $u_4=3\times 31-8=93-8=85$.
4. Pendant le dernier tour de boucle de l’appel suite(4), la variable k vaut
   range(4) donne $k=0,1,2,3$ : quatre tours, et le dernier se fait avec $k=3$, pas $4$.

On considère la fonction suivante, qui renvoie la liste des $n$ premiers termes de la suite de Fibonacci ($F_1=F_2=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$).

def fibo(n):
    L = [1, 1]
    for k in range(n - 2):
        L.append(L[-1] + L[-2])
    return L

1. fibo(6) renvoie une liste dont le dernier élément est
   La liste part de [1, 1] ; la boucle fait $6-2=4$ tours et ajoute à chaque tour la somme des deux derniers éléments : $2$, $3$, $5$, $8$. fibo(6) renvoie [1, 1, 2, 3, 5, 8], dont le dernier élément est $8$.
2. Nombre d’éléments de la liste fibo(10) :
   La liste contient $2$ éléments au départ et append en ajoute un à chaque tour ; range(10 - 2) donne $8$ tours. Donc $2+8=10$ éléments, les $10$ premiers termes.
3. Dernier élément de fibo(10) :
   On continue la liste : $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55$. Le dernier élément, L[-1], est $F_{10}=55$.

Pour tout entier $n⩾1$, la factorielle de $n$ est le produit $n!=1\times 2\times \dots \times n$, et l’on pose $0!=1$. On considère la fonction Python suivante.

def fact(n):
    p = 1
    for k in range(1, n + 1):
        p = p * k
    return p

1. fact(5) renvoie
   La variable p part de $1$ et la boucle la multiplie par $k=1,2,3,4,5$ : $p$ prend les valeurs $1$, $2$, $6$, $24$, $120$. Donc fact(5) renvoie $5!=120$.
2. On note $u_n$ la valeur renvoyée par fact(n). Justifier que $u_{n+1}=(n+1)u_n$ pour tout $n⩾0$, puis donner $u_6=$
   Rédaction attendue. L’appel fact(n + 1) parcourt range(1, n + 2), soit $k=1,2,\dots ,n$ puis $k=n+1$. Après les $n$ premiers tours, p contient le même nombre qu’à la fin de fact(n), c’est-à-dire $u_n$. Le dernier tour le multiplie par $n+1$. Donc $u_{n+1}=(n+1)u_n$ : la suite $(u_n)$ est définie par $u_0=1$ et cette relation de récurrence. Ainsi $u_6=6\times u_5=6\times 120=720$.
3. fact(0) renvoie
   range(1, 1) est vide : la boucle ne fait aucun tour et la fonction renvoie la valeur de départ $p=1$, ce qui est bien la convention $0!=1$.

Un polygone convexe à $n$ côtés ($n⩾3$) a $n$ sommets ; on note $d_n$ son nombre de diagonales (segments qui joignent deux sommets non consécutifs). Un triangle n’en a aucune : $d_3=0$ ; un quadrilatère en a deux.

1. $d_5=$
   Chaque sommet du pentagone est relié par une diagonale aux $2$ sommets non voisins : $5\times 2=10$ extrémités, et chaque diagonale est comptée deux fois, donc $d_5=5$.
2. On ajoute un sommet $P$ entre deux sommets consécutifs $A$ et $B$. Justifier que $d_{n+1}=d_n+n-1$, puis calculer $d_8=$
   Rédaction attendue. Le nouveau polygone a $n+1$ sommets. Les diagonales de l’ancien polygone restent des diagonales. On en gagne de deux sortes : celles issues de $P$, qui vont vers tous les sommets sauf $P$, $A$ et $B$, soit $(n+1)-3=n-2$ diagonales ; et le segment $[AB]$, qui était un côté et devient une diagonale. Donc $d_{n+1}=d_n+(n-2)+1=d_n+n-1$. Puis $d_6=5+4=9$, $d_7=9+5=14$, $d_8=14+6=20$.
3. On admet que $d_n={\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}}$. Un polygone à $20$ côtés a diagonales
   $d_{20}={\displaystyle \frac{20\times 17}{2}}=170$. Contrôle de la formule : $d_8={\displaystyle \frac{8\times 5}{2}}=20$, comme par la relation de récurrence.

Dans un repère, on place les points $(n;u_n)$ de la suite $u_n=n^2-4n+3$, pour $n$ entier de $0$ à $5$.

1. Ordonnée du point d’abscisse $4$ :
   $u_4=16-16+3=3$.
2. Abscisse du point le plus bas du nuage :
   Les ordonnées sont $3$, $0$, $-1$, $0$, $3$, $8$ : le point le plus bas est $(2;-1)$.
3. Nombre de points du nuage situés sur l’axe des abscisses :
   $u_1=0$ et $u_3=0$ : les points $(1;0)$ et $(3;0)$ sont sur l’axe des abscisses.

Les points $(n;u_n)$ d’une suite sont les points d’abscisse entière de la courbe de $f(x)=\sqrt{x+4}$.

1. $u_5=$
   $u_5=f(5)=\sqrt{9}=3$.
2. $u_{12}=$
   $u_{12}=\sqrt{16}=4$.
3. Le point du nuage d’ordonnée $5$ a pour abscisse
   $\sqrt{n+4}=5⟺n+4=25⟺n=21$, qui est bien un entier : c’est le point $(21;5)$.

On définit $u_0=0$ et $u_{n+1}=4-{\displaystyle \frac{u_n}{2}}$. On construit les termes en escalier avec la courbe de $f(x)=4-{\displaystyle \frac{x}{2}}$ et la droite d’équation $y=x$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $u_1=$
   $u_1=f(0)=4$ : on monte de $0$ jusqu’à la courbe, on lit $4$ en ordonnée, puis on le reporte en abscisse avec la droite $y=x$.
2. $u_2=$
   $u_2=4-{\displaystyle \frac{4}{2}}=2$.
3. $u_3=$
   $u_3=4-{\displaystyle \frac{2}{2}}=3$.
4. Démontrer que la courbe de $f$ et la droite $y=x$ se coupent en un seul point, d’abscisse
   Rédaction attendue. Les deux courbes se coupent aux points d’abscisse $x$ tels que $f(x)=x$. Or $4-{\displaystyle \frac{x}{2}}=x⟺4={\displaystyle \frac{3x}{2}}⟺x={\displaystyle \frac{8}{3}}$. Il y a donc un seul point d’intersection, d’abscisse ${\displaystyle \frac{8}{3}}\approx 2,67$. Les termes $0$, $4$, $2$, $3$ sont alternativement à gauche et à droite de ${\displaystyle \frac{8}{3}}$ : l’escalier tourne autour de ce point en se resserrant.

On définit $u_0=0$ et $u_{n+1}={\displaystyle \frac{6}{u_n+1}}$, soit $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)={\displaystyle \frac{6}{x+1}}$ sur $[0;+\infty [$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $u_2=$
   $u_1={\displaystyle \frac{6}{1}}=6$, puis $u_2={\displaystyle \frac{6}{6+1}}={\displaystyle \frac{6}{7}}$.
2. Justifier que $(u_n)$ n’est ni croissante ni décroissante, puis donner $u_3=$
   Rédaction attendue. $u_1=6>u_0=0$ : la suite n’est pas décroissante. $u_2={\displaystyle \frac{6}{7}}<u_1=6$ : elle n’est pas croissante. Un seul contre-exemple suffit pour chaque sens : $(u_n)$ n’est pas monotone. Enfin $u_3={\displaystyle \frac{6}{\frac{6}{7}+1}}={\displaystyle \frac{6}{\frac{13}{7}}}={\displaystyle \frac{42}{13}}$.
3. Dans la construction en escalier, les termes tournent autour du point où la courbe coupe la droite $y=x$ : ce point a pour abscisse
   $f(2)={\displaystyle \frac{6}{3}}=2$ : le point $(2;2)$ est à la fois sur la courbe et sur la droite $y=x$. Les termes $0$ ; $6$ ; ${\displaystyle \frac{6}{7}}\approx 0,86$ ; ${\displaystyle \frac{42}{13}}\approx 3,23$ sont alternativement de part et d’autre de $2$ : on conjecture qu’ils s’en rapprochent.

On connaît $u_{n+1}-u_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Donner le sens de variation le plus précis de $(u_n)$ : écris « strictement croissante », « croissante », « strictement décroissante », « décroissante » ou « constante ».

1. $u_{n+1}-u_n=3n^2+1$ : $(u_n)$ est
   Pour tout $n$, $3n^2+1⩾1>0$, donc $u_{n+1}>u_n$ : la suite est strictement croissante.
2. $u_{n+1}-u_n=-{\displaystyle \frac{2}{n+1}}$ : $(u_n)$ est
   $n+1>0$, donc $-{\displaystyle \frac{2}{n+1}}<0$ pour tout $n$ : la suite est strictement décroissante.
3. $u_{n+1}-u_n=(n-3{)}^2$ : $(u_n)$ est
   Un carré est positif ou nul, donc $u_{n+1}⩾u_n$ : la suite est croissante. Elle ne l’est pas strictement, car pour $n=3$ la différence est nulle ($u_4=u_3$).

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $a_n=n^2-7n+3$.

1. $a_{n+1}-a_n=2n-$
   $a_{n+1}=(n+1{)}^2-7(n+1)+3=n^2-5n-3$, donc $a_{n+1}-a_n=(n^2-5n-3)-(n^2-7n+3)=2n-6$.
2. Plus petit rang à partir duquel $(a_n)$ est croissante :
   $2n-6<0$ pour $n⩽2$, $=0$ pour $n=3$, $>0$ pour $n⩾4$. Donc $a_0>a_1>a_2>a_3$, puis $a_4=a_3$ et $a_4<a_5<\dots$ : la suite est croissante à partir du rang $3$ (strictement à partir du rang $4$), et elle n’est pas monotone sur $\mathbb{N}$.
3. Plus petit terme de la suite :
   $a_3=9-21+3=-9$ et $a_4=16-28+3=-9$ : le minimum vaut $-9$, atteint aux rangs $3$ et $4$. Contrôle : $a_2=a_5=-7$.

Pour tout entier $n⩾1$, $c_n={\displaystyle \frac{2^n}{n^2}}$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $c_3=$
   $c_1=2$, $c_2={\displaystyle \frac{4}{4}}=1$, $c_3={\displaystyle \frac{8}{9}}$, $c_4={\displaystyle \frac{16}{16}}=1$.
2. $c_5=$ (écriture décimale)
   $c_5={\displaystyle \frac{32}{25}}=1,28$.
3. On admet que ${\displaystyle \frac{c_{n+1}}{c_n}}={\displaystyle \frac{2n^2}{(n+1{)}^2}}$. Démontrer que $(c_n)$ est strictement croissante à partir d’un certain rang. Le plus petit rang qui convient est
   Rédaction attendue. Pour $n⩾1$, $c_n>0$ : on peut comparer le quotient à $1$. $2n^2-(n+1{)}^2=n^2-2n-1=n(n-2)-1$. Pour $n⩾3$ : $n⩾3$ et $n-2⩾1$, donc $n(n-2)-1⩾2>0$, d’où $2n^2>(n+1{)}^2>0$ et ${\displaystyle \frac{c_{n+1}}{c_n}}>1$. Les termes étant strictement positifs, $c_{n+1}>c_n$ : $(c_n)$ est strictement croissante à partir du rang $3$. Le rang $2$ ne convient pas, car $c_3={\displaystyle \frac{8}{9}}<c_2=1$ : la suite n’est pas monotone sur ${\mathbb{N}}^{*}$.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $d_n=f(n)$ où $f(x)=-2x^2+9x+1$. On peut vérifier en développant que $f(x)=-2{(x-{\displaystyle \frac{9}{4}})}^2+{\displaystyle \frac{89}{8}}$.

1. $d_4=$
   $d_4=-32+36+1=5$. De même $d_0=1$, $d_1=8$, $d_2=11$, $d_3=10$.
2. Démontrer que $(d_n)$ est strictement décroissante à partir d’un certain rang. Le plus petit rang qui convient est
   Rédaction attendue. Sur $[{\displaystyle \frac{9}{4}};+\infty [$, $x-{\displaystyle \frac{9}{4}}$ est positif et croît, donc son carré croît, et $f(x)=-2{(x-{\displaystyle \frac{9}{4}})}^2+{\displaystyle \frac{89}{8}}$ décroît strictement. Pour $n⩾3$, $n$ et $n+1$ sont dans cet intervalle et $n<n+1$, donc $f(n)>f(n+1)$ : $d_n>d_{n+1}$. De plus $d_2=11>d_3=10$ : la suite est strictement décroissante à partir du rang $2$. Le rang $1$ ne convient pas, car $d_1=8<d_2=11$.
3. Un élève affirme que le plus grand terme vaut ${\displaystyle \frac{89}{8}}$. Le plus grand terme est en réalité
   ${\displaystyle \frac{89}{8}}=11,125$ est le maximum de $f$, atteint en ${\displaystyle \frac{9}{4}}=2,25$, qui n’est pas un entier : ce n’est la valeur d’aucun terme. Comme $d_0<d_1<d_2$ puis la suite décroît, le plus grand terme est $d_2=11$.

La suite $(g_n)$ est définie par $g_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $g_{n+1}=g_n+n^2-4n$.

1. $g_3=$
   $g_1=1+0-0=1$ ; $g_2=1+1-4=-2$ ; $g_3=-2+4-8=-6$.
2. Démontrer que $(g_n)$ est croissante à partir d’un certain rang. Le plus petit rang qui convient est
   Rédaction attendue. Pour tout $n$, $g_{n+1}-g_n=n^2-4n=n(n-4)$. Comme $n⩾0$, ce produit est nul pour $n=0$ et $n=4$, strictement négatif pour $1⩽n⩽3$ et strictement positif pour $n⩾5$. Donc $g_{n+1}⩾g_n$ pour tout $n⩾4$ : $(g_n)$ est croissante à partir du rang $4$ (strictement à partir du rang $5$). Le rang $3$ ne convient pas, car $g_4<g_3$. Un élève qui voit $g_0=g_1$ et conclut que la suite est constante se trompe : l’égalité $g_{n+1}=g_n$ n’a lieu que pour $n=0$ et $n=4$.
3. Plus petit terme de la suite :
   $g_4=-6+9-12=-9$ et $g_5=-9+16-16=-9$, puis $g_6=-4$ : le minimum vaut $-9$, atteint aux rangs $4$ et $5$.

Deux suites, deux méthodes.

1. $z_n={\displaystyle \frac{2n+5}{n+1}}$ s’écrit $z_n=2+{\displaystyle \frac{k}{n+1}}$, avec $k=$
   $2+{\displaystyle \frac{3}{n+1}}={\displaystyle \frac{2(n+1)+3}{n+1}}={\displaystyle \frac{2n+5}{n+1}}$, donc $k=3$.
2. Démontrer que $(z_n)$ est strictement décroissante. Son plus grand terme vaut
   Rédaction attendue. Pour tout $n$, $z_n=f(n)$ avec $f(x)=2+{\displaystyle \frac{3}{x+1}}$. Sur $[0;+\infty [$, $x+1$ est strictement positif et strictement croissant, donc ${\displaystyle \frac{1}{x+1}}$ est strictement décroissant ; en multipliant par $3>0$ et en ajoutant $2$, $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty [$. Donc $(z_n)$ est strictement décroissante, et son plus grand terme est le premier : $z_0={\displaystyle \frac{5}{1}}=5$.
3. $m_n=-n^2+7n$ vérifie $m_0<m_1<m_2<m_3$. Le premier rang $n$ tel que $m_{n+1}<m_n$ est
   $m_0=0$, $m_1=6$, $m_2=10$, $m_3=12$, $m_4=12$, $m_5=10$. Pour $n=3$, $m_4=m_3$ ; pour $n=4$, $m_5<m_4$. Les premiers termes rangés dans l’ordre croissant ne prouvaient donc pas que la suite est croissante.

Conjecturer la limite de chaque suite ($n⩾1$). Écris un nombre, +infini, −infini ou « pas de limite ».

1. $4+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ :
   ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ devient aussi petit qu’on veut : les termes se rapprochent de $4$.
2. $1-n^3$ :
   $n^3$ dépasse tout nombre fixé, donc $1-n^3$ finit par passer sous n’importe quel nombre : la suite semble tendre vers $-\infty$.
3. ${\displaystyle \frac{5}{\sqrt{n}}}$ :
   $\sqrt{n}$ devient aussi grand qu’on veut, donc ${\displaystyle \frac{5}{\sqrt{n}}}$ se rapproche de $0$ (par exemple ${\displaystyle \frac{5}{\sqrt{10000}}}=0,05$).
4. $2+(-1{)}^n$ :
   Les termes valent alternativement $1$ et $3$ : ils ne se rapprochent d’aucun réel et ne tendent pas vers l’infini. La suite n’a pas de limite.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $w_n={\displaystyle \frac{4n+1}{n+2}}$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $w_4=$
   $w_4={\displaystyle \frac{17}{6}}$, fraction irréductible ($17$ est premier et ne divise pas $6$). De même $w_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $w_1={\displaystyle \frac{5}{3}}$.
2. Montrer que $4-w_n={\displaystyle \frac{k}{n+2}}$ et en déduire que $w_n<4$. Valeur de $k$ :
   Rédaction attendue. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on réduit au même dénominateur : $4-w_n={\displaystyle \frac{4(n+2)-(4n+1)}{n+2}}={\displaystyle \frac{4n+8-4n-1}{n+2}}={\displaystyle \frac{7}{n+2}}$. Comme $n+2>0$, ${\displaystyle \frac{7}{n+2}}>0$, c’est-à-dire $4-w_n>0$ : $w_n<4$ pour tout $n$.
3. $w_{998}=$ (écriture décimale)
   $w_{998}={\displaystyle \frac{3993}{1000}}=3,993$ ; de même $w_{98}={\displaystyle \frac{393}{100}}=3,93$.
4. Limite conjecturée de $(w_n)$ :
   L’écart à $4$ vaut ${\displaystyle \frac{7}{n+2}}$ : $0,07$ pour $n=98$, puis $0,007$ pour $n=998$. Il devient aussi petit qu’on veut : on conjecture que $(w_n)$ tend vers $4$, sans jamais l’atteindre.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $q_n=7-{\displaystyle \frac{4}{n+1}}$. La fonction ci-dessous renvoie le plus petit $n$ tel que $q_n>s$.

def seuil(s):
    n = 0
    q = 3
    while q <= s:
        n = n + 1
        q = 7 - 4/(n+1)
    return n

1. $q_n>6,95$ équivaut à ${\displaystyle \frac{4}{n+1}}<$
   $7-{\displaystyle \frac{4}{n+1}}>6,95⟺-{\displaystyle \frac{4}{n+1}}>-0,05⟺{\displaystyle \frac{4}{n+1}}<0,05$ (on multiplie par $-1$ : le sens change).
2. Démontrer que l’appel seuil(6.95) renvoie
   Rédaction attendue. ${\displaystyle \frac{4}{n+1}}<0,05⟺n+1>{\displaystyle \frac{4}{0,05}}=80⟺n>79$, donc $n⩾80$ (car $n+1>0$). Contrôle : $q_{79}=7-{\displaystyle \frac{4}{80}}=6,95$, qui n’est pas strictement supérieur à $6,95$ ; $q_{80}=7-{\displaystyle \frac{4}{81}}>6,95$. La boucle s’arrête au premier rang où $q>6,95$ : la fonction renvoie $80$, pas $79$.
3. L’appel seuil(7) ne s’arrête jamais. Pour le comprendre, calculer $q_{999}=$
   $q_{999}=7-{\displaystyle \frac{4}{1000}}=6,996$. Pour tout $n$, ${\displaystyle \frac{4}{n+1}}>0$, donc $q_n<7$ : la condition q <= 7 reste toujours vraie et la boucle tourne sans fin. Les termes se rapprochent de $7$ sans jamais le dépasser.

Calculatrice autorisée. La suite $(e_n)$ est définie par $e_0=0$ et $e_{n+1}=\sqrt{e_n+6}$ ; on admet que $0⩽e_n<3$ pour tout $n$. On cherche le plus petit $n$ tel que $3-e_n<p$. La fonction ci-dessous renvoie ce plus petit $n$.

from math import sqrt
def seuil(p):
    n = 0
    e = 0
    while 3 - e >= p:
        n = n + 1
        e = sqrt(e + 6)
    return n

1. $e_1\approx$ (arrondi à ${10}^{-4}$)
   $e_1=\sqrt{6}\approx 2,4495$. Puis $e_2=\sqrt{6+\sqrt{6}}\approx 2,9068$ et $e_3\approx 2,9844$ : on garde toutes les décimales de la calculatrice entre deux étapes.
2. On donne $e_4\approx 2,99740$ et $e_5\approx 2,99957$. Justifier ce que renvoie la fonction seuil pour $p=0,001$ :
   Rédaction attendue. La condition du while est le contraire de $3-e_n<p$. $3-e_4\approx 0,0026⩾0,001$ : la boucle continue. $3-e_5\approx 0,00043<0,001$ : elle s’arrête. Les termes précédents sont plus loin de $3$ ($3-e_3\approx 0,016$). La fonction renvoie donc $5$.
3. Limite conjecturée de $(e_n)$ :
   Les termes se rapprochent de $3$ de plus en plus vite : on conjecture que $(e_n)$ tend vers $3$. Contrôle : $\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3$, donc $\ell =3$ vérifie bien $\sqrt{\ell +6}=\ell$.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $h_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ ; on note $D_n=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$.

1. Démontrer que $h_n={\displaystyle \frac{1}{D_n}}$, puis donner le sens de variation le plus précis de $(h_n)$ :
   Rédaction attendue. $D_n>0$ car $\sqrt{n+1}>0$. On multiplie et on divise par l’expression conjuguée : $h_n={\displaystyle \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{D_n}}={\displaystyle \frac{(n+1)-n}{D_n}}={\displaystyle \frac{1}{D_n}}$. Donc $h_n>0$. La racine carrée étant strictement croissante, $\sqrt{n+2}>\sqrt{n+1}$ et $\sqrt{n+1}>\sqrt{n}$, d’où $D_{n+1}>D_n>0$. La fonction inverse étant strictement décroissante sur $]0;+\infty [$, ${\displaystyle \frac{1}{D_{n+1}}}<{\displaystyle \frac{1}{D_n}}$ : $(h_n)$ est strictement décroissante.
2. Plus petit entier $n$ tel que $h_n<0,05$ :
   $h_n<0,05⟺{\displaystyle \frac{1}{D_n}}<{\displaystyle \frac{1}{20}}⟺D_n>20$. Or $D_{99}=10+\sqrt{99}\approx 19,950<20$ et $D_{100}=\sqrt{101}+10\approx 20,050>20$ ; comme $(D_n)$ est croissante, $D_n<20$ pour $n⩽99$. Le plus petit entier est $100$.
3. Limite conjecturée de $(h_n)$ :
   $D_n$ dépasse tout nombre fixé, donc $h_n={\displaystyle \frac{1}{D_n}}$ devient aussi proche de $0$ qu’on veut : on conjecture que $(h_n)$ tend vers $0$.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $k_n=2+{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n+1}}$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Calculer les premiers termes et justifier que $(k_n)$ n’est pas monotone. $k_3=$
   Rédaction attendue. $k_0=3$, $k_1=2-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$, $k_2=2+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{7}{3}}$, $k_3=2-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{7}{4}}$. $k_1<k_0$ : la suite n’est pas croissante ; $k_2>k_1$ : elle n’est pas décroissante. Elle n’est donc pas monotone (les termes de rang pair sont au-dessus de $2$, ceux de rang impair en dessous).
2. Plus petit rang à partir duquel tous les termes sont dans l’intervalle $]1,99;2,01[$ :
   La distance de $k_n$ à $2$ vaut ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}$. $k_n\in ]1,99;2,01[⟺{\displaystyle \frac{1}{n+1}}<0,01⟺n+1>100⟺n⩾100$. Pour $n=99$, la distance vaut exactement $0,01$ : $k_{99}=1,99$ n’est pas dans l’intervalle ouvert.
3. Limite conjecturée de $(k_n)$ :
   La distance ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ devient aussi petite qu’on veut : on conjecture que $(k_n)$ tend vers $2$. Une suite peut donc avoir une limite sans être monotone.