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Suites arithmétiques

Définition par récurrence, raison, terme général u(n) = u(0) + nr, sens de variation selon le signe de r, représentation (points alignés), somme 1 + 2 + … + n et somme de termes consécutifs, modélisation d'évolutions à accroissement constant

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Suites arithmétiques » en première permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de première et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, Terme général d'une suite arithmétique, Sens de variation et représentation graphique, Somme de termes consécutifs. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en première.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Les gradins d'une salle de spectacle

Moyen

Une salle de spectacle est construite en gradins. Le premier rang compte 24 places, et chaque rang compte 3 places de plus que le rang précédent. Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on note $p_{n}$ le nombre de places du $n$ -ième rang et $S_{n}$ le nombre total de places d'une salle de $n$ rangs.

1. Calculer $p_{2}$ et $p_{3}$ .
2. Justifier que $(p_{n})$ est arithmétique et exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$ .
3. Combien de places compte le 30e rang ? Combien de places compte une salle de 30 rangs ?
4. a) Montrer que $S_{n} = \frac{3 n^{2} + 45 n}{2}$ .
4. b) L'architecte souhaite au moins 3 000 places. Déterminer le nombre minimal de rangs.
5. Écrire une fonction Python $r a n g s (N)$ qui renvoie le nombre minimal de rangs pour obtenir au moins $N$ places.

1. $p_{2} = 24 + 3 = 27$ et $p_{3} = 27 + 3 = 30$ .

2. Pour tout $n ⩾ 1$ , $p_{n + 1} = p_{n} + 3$ : on ajoute toujours 3 places. $(p_{n})$ est arithmétique de raison $3$ et de premier terme $p_{1} = 24$ . La suite commençant au rang 1 : $p_{n} = 24 + 3 (n - 1)$ , soit $p_{n} = 21 + 3 n$ .

3. $p_{30} = 21 + 90 =$ 111 places au 30e rang. La salle compte $p_{1} + \dots + p_{30}$ , somme de 30 termes consécutifs : $S_{30} = 30 \times \frac{24 + 111}{2} = 30 \times 67, 5 =$ 2 025 places.

4. a) $S_{n}$ est la somme des $n$ termes $p_{1}, \dots, p_{n}$ : $S_{n} = n \times \frac{p_{1} + p_{n}}{2} = n \times \frac{24 + 21 + 3 n}{2} = \frac{n (45 + 3 n)}{2}$ , soit $S_{n} = \frac{3 n^{2} + 45 n}{2}$ . Contrôle : $S_{30} = \frac{2 700 + 1 350}{2} = 2 025$ .

4. b) $S_{n} ⩾ 3 000 ⟺ 3 n^{2} + 45 n ⩾ 6 000 ⟺ n^{2} + 15 n - 2 000 ⩾ 0$ .
$Δ = 15^{2} + 4 \times 2 000 = 8 225$ , $\sqrt{8 225} \approx 90, 69$ . Les racines sont $n_{1} = \frac{- 15 - \sqrt{8 225}}{2} \approx - 52, 85$ et $n_{2} = \frac{- 15 + \sqrt{8 225}}{2} \approx 37, 85$ .
Le trinôme (coefficient de $n^{2}$ positif) est positif à l'extérieur des racines ; pour $n ⩾ 1$ , la condition équivaut à $n ⩾ n_{2} \approx 37, 85$ , donc $n ⩾ 38$ .
Vérification : $S_{37} = \frac{4 107 + 1 665}{2} = 2 886 < 3 000$ et $S_{38} = \frac{4 332 + 1 710}{2} = 3 021 ⩾ 3 000$ . Il faut au minimum 38 rangs.

5. On ajoute les rangs un par un tant que le total est insuffisant :

def rangs(N):
    n = 1
    p = 24
    S = 24
    while S < N:
        n = n + 1
        p = p + 3
        S = S + p
    return n

La variable $p$ contient $p_{n}$ et $S$ contient $S_{n}$ . $r a n g s (3000)$ renvoie 38, conformément à la question 4. b).

Problème 2 — Deux offres d'emploi

Moyen

Une candidate reçoit deux offres. Offre A : salaire de 24 000 € la première année, augmenté de 900 € chaque année. Offre B : salaire de 26 100 € la première année, augmenté de 600 € chaque année. Pour $n ⩾ 1$ , on note $a_{n}$ et $b_{n}$ les salaires annuels (en €) de la $n$ -ième année avec les offres A et B.

1. Calculer $a_{2}$ et $b_{2}$ .
2. Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ .
3. a) Comparer $a_{8}$ et $b_{8}$ .
3. b) À partir de quelle année le salaire annuel de l'offre A est-il strictement supérieur à celui de l'offre B ?
4. Calculer le total perçu sur 10 ans avec chaque offre.
5. La candidate dit : « Puisque A paie davantage à partir de la 9e année, A est plus intéressante pour un contrat de 10 ans. » Expliquer son erreur.
6. À partir de combien d'années complètes le total perçu avec A dépasse-t-il strictement celui perçu avec B ?

1. $a_{2} = 24 000 + 900 = 24 900$ € et $b_{2} = 26 100 + 600 = 26 700$ €.

2. Chaque année, le salaire augmente d'une quantité fixe : $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont arithmétiques de raisons 900 et 600, de premiers termes $a_{1} = 24 000$ et $b_{1} = 26 100$ . Donc $a_{n} = 24 000 + 900 (n - 1) = 23 100 + 900 n$ et $b_{n} = 26 100 + 600 (n - 1) = 25 500 + 600 n$ .

3. a) $a_{8} = 23 100 + 7 200 = 30 300$ et $b_{8} = 25 500 + 4 800 = 30 300$ . $a_{8} = b_{8}$ : la 8e année, les deux salaires sont égaux.

3. b) $a_{n} > b_{n} ⟺ 23 100 + 900 n > 25 500 + 600 n ⟺ 300 n > 2 400 ⟺ n > 8$ . À partir de la 9e année, l'offre A paie strictement plus (la 8e année est un cas d'égalité).

4. $a_{10} = 32 100$ et $b_{10} = 31 500$ . Sommes de 10 termes consécutifs :
• offre A : $10 \times \frac{24 000 + 32 100}{2} = 10 \times 28 050 =$ 280 500 € ;
• offre B : $10 \times \frac{26 100 + 31 500}{2} = 10 \times 28 800 =$ 288 000 €.

5. Comparer les salaires d'une année ne revient pas à comparer les totaux. Pendant les 7 premières années, B paie plus que A, et l'avance accumulée n'est pas rattrapée par les deux dernières années. Sur 10 ans, l'offre B rapporte 7 500 € de plus : l'affirmation est fausse.

6. Sur $n$ années, les totaux sont $A_{n} = n \times \frac{a_{1} + a_{n}}{2} = \frac{n (47 100 + 900 n)}{2}$ et $B_{n} = \frac{n (51 600 + 600 n)}{2}$ . Comme $n > 0$ : $A_{n} > B_{n} ⟺ 47 100 + 900 n > 51 600 + 600 n ⟺ 300 n > 4 500 ⟺ n > 15$ .
Vérification : $A_{15} = B_{15} = 454 500$ ; $A_{16} = 492 000 > B_{16} = 489 600$ . C'est à partir de 16 années complètes que l'offre A rapporte davantage au total.

Problème 3 — La chute d'une bille

Difficile

On lâche une bille sans vitesse initiale depuis une hauteur de 180 m et on néglige les frottements de l'air. On admet que, tant que la bille n'a pas touché le sol, la distance (en m) parcourue pendant la $n$ -ième seconde de chute est $d_{n} = 4, 9 (2 n - 1)$ , pour $n ⩾ 1$ . On note $D_{n} = d_{1} + d_{2} + \dots + d_{n}$ la distance totale parcourue au bout de $n$ secondes.

1. Calculer $d_{1}$ , $d_{2}$ et $d_{3}$ .
2. Montrer que $(d_{n})$ est arithmétique ; préciser sa raison.
3. a) Montrer que, pour tout $n ⩾ 1$ , $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ .
3. b) En déduire que $D_{n} = 4, 9 n^{2}$ .
4. Pendant quelle seconde de chute la bille touche-t-elle le sol ? Justifier.
5. Comparer la distance parcourue pendant la 4e seconde à la distance parcourue pendant les trois premières secondes réunies.

1. $d_{1} = 4, 9 \times 1 = 4, 9$ m ; $d_{2} = 4, 9 \times 3 = 14, 7$ m ; $d_{3} = 4, 9 \times 5 = 24, 5$ m.

2. Pour tout $n ⩾ 1$ : $d_{n + 1} - d_{n} = 4, 9 (2 n + 1) - 4, 9 (2 n - 1) = 4, 9 \times 2 = 9, 8$ , constante. $(d_{n})$ est arithmétique de raison $9, 8$ et de premier terme $d_{1} = 4, 9$ . (La distance parcourue chaque seconde augmente de 9,8 m : la bille accélère.)

3. a) Les nombres $1, 3, \dots, 2 n - 1$ sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 2 : $1 + 2 (k - 1)$ pour $k$ allant de $1$ à $n$ , soit $n$ termes. Leur somme vaut $n \times \frac{1 + (2 n - 1)}{2} = n \times \frac{2 n}{2}$ , donc $1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ .

3. b) En factorisant par $4, 9$ : $D_{n} = 4, 9 \times 1 + 4, 9 \times 3 + \dots + 4, 9 (2 n - 1) = 4, 9 (1 + 3 + \dots + (2 n - 1))$ , donc $D_{n} = 4, 9 n^{2}$ .

4. La bille touche le sol dès que la distance parcourue atteint 180 m. $4, 9 n^{2} ⩾ 180 ⟺ n^{2} ⩾ \frac{180}{4, 9} \approx 36, 73 ⟺ n ⩾ 6, 06$ (car $n > 0$ ).
$D_{6} = 4, 9 \times 36 = 176, 4$ m $< 180$ m et $D_{7} = 4, 9 \times 49 = 240, 1$ m $⩾ 180$ m. Après 6 s, la bille n'a pas encore touché le sol ; elle le touche avant la fin de la 7e seconde. La bille touche le sol pendant la 7e seconde (à environ 6,06 s).

5. $d_{4} = 4, 9 \times 7 = 34, 3$ m et $D_{3} = 4, 9 \times 9 = 44, 1$ m. En une seule seconde (la 4e), la bille parcourt 34,3 m, soit $\frac{7}{9} \approx 78 %$ de la distance parcourue pendant les trois premières secondes réunies. C'est une conséquence de l'accroissement constant de 9,8 m par seconde.

Problème 4 — Un prêt à amortissement constant

Difficile

Une entreprise emprunte 12 000 € au taux mensuel de 0,5 %. Chaque mois, elle rembourse 500 € de capital et paie les intérêts du mois, égaux à 0,5 % du capital restant dû en début de mois. La mensualité est la somme de ces deux montants. Pour $1 ⩽ n ⩽ 24$ , on note $C_{n}$ le capital restant dû au début du mois $n$ , $i_{n}$ les intérêts payés le mois $n$ et $m_{n}$ la mensualité du mois $n$ .

1. Justifier que le prêt est remboursé en 24 mois. Calculer $i_{1}$ , $m_{1}$ , $i_{2}$ et $m_{2}$ .
2. a) Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$ .
2. b) Montrer que $i_{n} = 62, 5 - 2, 5 n$ et en déduire la nature de la suite $(i_{n})$ .
3. Exprimer $m_{n}$ en fonction de $n$ et donner le sens de variation de $(m_{n})$ .
4. Calculer le coût total du crédit, c'est-à-dire la somme des intérêts versés.
5. À partir de quel mois la mensualité est-elle strictement inférieure à 530 € ?

6. On considère la fonction Python ci-dessous. Quelle valeur renvoie

c o u t ()

? Justifier.

def cout():
    capital = 12000
    total = 0
    while capital > 0:
        total = total + 0.005 * capital
        capital = capital - 500
    return total

1. Le capital baisse de 500 € par mois et $\frac{12 000}{500} = 24$ : le prêt est remboursé en 24 mois. Mois 1 : $i_{1} = 0, 005 \times 12 000 = 60$ €, $m_{1} = 500 + 60 = 560$ €. Mois 2 : le capital restant dû est $11 500$ €, $i_{2} = 0, 005 \times 11 500 = 57, 5$ €, $m_{2} = 557, 5$ €.

2. a) Le capital diminue de 500 € chaque mois : $(C_{n})$ est arithmétique de raison $- 500$ et $C_{1} = 12 000$ . Donc $C_{n} = 12 000 - 500 (n - 1) = 12 500 - 500 n$ .

2. b) $i_{n} = 0, 005 \times C_{n} = 0, 005 \times 12 500 - 0, 005 \times 500 n$ , soit $i_{n} = 62, 5 - 2, 5 n$ . Alors $i_{n + 1} - i_{n} = - 2, 5$ : $(i_{n})$ est arithmétique de raison $- 2, 5$ et de premier terme $i_{1} = 60$ .

3. $m_{n} = 500 + i_{n}$ , soit $m_{n} = 562, 5 - 2, 5 n$ . $m_{n + 1} - m_{n} = - 2, 5 < 0$ : la mensualité est strictement décroissante, de 560 € à $m_{24} = 502, 5$ €.

4. $i_{24} = 62, 5 - 60 = 2, 5$ €. Le coût est la somme des 24 termes consécutifs $i_{1}, \dots, i_{24}$ : $24 \times \frac{60 + 2, 5}{2} = 24 \times 31, 25 =$ 750 €. L'entreprise rembourse au total 12 750 €.

5. $m_{n} < 530 ⟺ 562, 5 - 2, 5 n < 530 ⟺ 2, 5 n > 32, 5 ⟺ n > 13$ . Attention au cas limite : $m_{13} = 562, 5 - 32, 5 = 530$ €, qui n'est pas strictement inférieur à 530. C'est à partir du 14e mois ( $m_{14} = 527, 5$ €).

6. La boucle s'exécute tant que le capital est positif, avec $c a p i t a l$ valant successivement $12 000$ , $11 500$ , …, $500$ : 24 passages, un par mois. À chaque passage, on ajoute à $t o t a l$ les intérêts $0, 005 \times C_{n} = i_{n}$ . La fonction renvoie donc $i_{1} + \dots + i_{24}$ : $c o u t ()$ renvoie 750 (éventuellement affiché 750.0000000000001, à cause des calculs en nombres flottants), ce qui confirme la question 4.

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