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Généralités sur les suites

Q: Quelle est la différence entre forme explicite et relation de récurrence ?

Avec une forme explicite uₙ = f(n), on calcule n’importe quel terme directement en remplaçant n. Avec une relation de récurrence, on connaît le premier terme et la façon de passer d’un terme au suivant : il faut calculer les termes un par un.

Q: Comment trouver la relation de récurrence d’un motif ou d’une situation ?

On compte ce qui change d’une étape à la suivante : les éléments ajoutés dans un motif, ou « ce qui reste » plus « ce qui arrive » dans une évolution. Perdre 20 % chaque mois, c’est garder 0,8 × uₙ. On contrôle ensuite la relation sur les premières valeurs.

Q: Comment représenter graphiquement une suite ?

On place les points (n ; uₙ) sans les relier. Si uₙ = f(n), ce sont les points d’abscisse entière de la courbe de f. Si uₙ₊₁ = f(uₙ), on fait une construction en escalier avec la courbe de f et la droite y = x, et les termes se lisent sur l’axe des abscisses.

Q: Comment montrer qu’une suite est croissante ?

On étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ pour tout n : positif, la suite est croissante. Si tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer uₙ₊₁/uₙ à 1. Si uₙ = f(n) avec f croissante sur [0 ; +∞[, la suite est croissante. Calculer quelques termes ne suffit pas.

Q: Comment écrire un algorithme de seuil en Python ?

On initialise n et le premier terme, puis une boucle while calcule les termes tant que le seuil n’est pas franchi : pour chercher le plus petit n tel que uₙ > A, la condition est « u <= A ». La fonction renvoie n. Elle ne s’arrête que si la suite finit par dépasser A.

Forme explicite et relation de récurrence, motifs et algorithmes, représentation graphique, sens de variation, limite intuitive et algorithme de seuil.

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de 1re sur les généralités sur les suites suit cinq parties : forme explicite et relation de récurrence, motifs géométriques, situations et programmes Python, représentation graphique (nuage de points et construction en escalier), sens de variation par la différence, le quotient ou la fonction associée, limite intuitive et algorithme de seuil. Chaque partie donne un exemple rédigé, un réflexe et le piège à éviter.

Forme explicite et relation de récurrence

Ce qu’il faut savoir

Suite numérique. Une suite $(u_{n})$ associe à chaque entier naturel $n$ (éventuellement à partir d’un rang $n_{0}$ ) un nombre réel noté $u_{n}$ : c’est le terme de rang $n$ (ou d’indice $n$ ). Attention à la notation : $u_{n}$ est un nombre, $(u_{n})$ désigne la suite tout entière.

Forme explicite. $u_{n} = f (n)$ , où $f$ est une fonction définie sur $[0; + \infty [$ : on calcule n’importe quel terme directement à partir de $n$ .

Relation de récurrence. On donne le premier terme et une relation du type $u_{n + 1} = f (u_{n})$ : chaque terme se calcule à partir du précédent. La relation peut aussi faire intervenir $n$ .

Exprimer $u_{n + 1}$ (forme explicite) : on remplace $n$ par $n + 1$ partout dans la formule, avec des parenthèses.

Si la suite commence à $u_{0}$ , le terme de rang $n$ est le $(n + 1)$ -ième terme.

Exemples

Forme explicite. Pour $n \in ℕ$ , $u_{n} = n^{2} - 3 n + 1$ . On obtient $u_{0} = 1$ , $u_{1} = - 1$ , $u_{2} = - 1$ , $u_{3} = 1$ , et directement $u_{10} = 100 - 30 + 1 = 71$ .

Exprimer $u_{n + 1}$ . $u_{n + 1} = (n + 1)^{2} - 3 (n + 1) + 1$ $= n^{2} + 2 n + 1 - 3 n - 3 + 1$ $= n^{2} - n - 1$ . À ne pas confondre avec $u_{n} + 1 = n^{2} - 3 n + 2$ .

Relation de récurrence. $v_{0} = 2$ et, pour tout $n$ , $v_{n + 1} = v_{n}^{2} - 1$ . Alors $v_{1} = 2^{2} - 1 = 3$ , $v_{2} = 3^{2} - 1 = 8$ , $v_{3} = 8^{2} - 1 = 63$ . Pour obtenir $v_{10}$ , il faut calculer tous les termes de $v_{1}$ à $v_{9}$ .

Relation qui fait intervenir $n$ . $w_{0} = 1$ et $w_{n + 1} = w_{n} + n$ : $w_{1} = w_{0} + 0 = 1$ , $w_{2} = w_{1} + 1 = 2$ , $w_{3} = w_{2} + 2 = 4$ .

Premier rang. $a_{n} = \frac{1}{n}$ n’a de sens que pour $n ⩾ 1$ : le premier terme de cette suite est $a_{1} = 1$ .

Réflexe — Forme explicite : je remplace $n$ par sa valeur. Relation de récurrence : je calcule les termes un par un en partant du premier ; quand la relation contient $n$ , je prends pour $n$ le rang du terme précédent ( $w_{2} = w_{1} + 1$ : on a pris $n = 1$ ).

Attention — $u_{n + 1}$ (le terme suivant) n’est pas $u_{n} + 1$ (le terme augmenté de $1$ ). Et une relation de récurrence ne donne pas $v_{10}$ en remplaçant $n$ par $10$ : il faut les termes précédents.

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Motifs, situations et algorithmes

Ce qu’il faut savoir

Motif géométrique. Quand une figure se construit étape par étape, le nombre d’éléments (jetons, segments, carreaux) de l’étape $n$ définit une suite. On compte ce que l’on ajoute d’une étape à la suivante : c’est une relation de récurrence. Si l’on sait compter directement les éléments de l’étape $n$ , on obtient une forme explicite.

Situation d’évolution. Une quantité qui évolue par étapes (jours, mois, années) se traduit par une relation $u_{n + 1} = \dots$ : « ce qui reste de $u_{n}$ » + « ce qui est ajouté ».

Algorithme. Une boucle bornée for k in range(n) fait exactement $n$ tours ( $k$ prend les valeurs $0, 1, \dots, n - 1$ ) : en partant de $u_{0}$ , elle calcule $u_{n}$ . Une liste Python, complétée avec append, garde tous les termes calculés.

Exemples

Motif. La figure $n$ ( $n ⩾ 1$ ) est un carré de $n$ jetons sur $n$ jetons ; $c_{n}$ est son nombre de jetons. Forme explicite : $c_{n} = n^{2}$ . Pour passer de la figure $n$ à la figure $n + 1$ , on ajoute une ligne et une colonne de $n$ jetons, plus le jeton du coin (en rouge) : $c_{n + 1} = c_{n} + 2 n + 1$ . Contrôle : $c_{3} = 9$ et $c_{4} = 9 + 2 \times 3 + 1 = 16$ , qui vaut bien $4^{2}$ .

Situation. Une forêt compte $1 000$ chênes le 1^er janvier 2026. Chaque année, on abat $10 %$ des chênes et l’on en plante $50$ . On note $p_{n}$ le nombre de chênes au 1^er janvier de l’année $2026 + n$ . Il reste $90 %$ de $p_{n}$ , soit $0, 9 p_{n}$ , puis on ajoute $50$ : $p_{0} = 1 000$ et $p_{n + 1} = 0, 9 p_{n} + 50$ . Ainsi $p_{1} = 900 + 50 = 950$ et $p_{2} = 855 + 50 = 905$ .

Algorithme. Pour la suite $v_{0} = 2$ , $v_{n + 1} = v_{n}^{2} - 1$ :

def terme(n):
    v = 2
    for k in range(n):
        v = v**2 - 1
    return v

def premiers(n):
    L = [2]
    for k in range(n):
        L.append(L[-1]**2 - 1)
    return L

terme(3) fait trois tours et renvoie $63$ . premiers(3) renvoie la liste [2, 3, 8, 63] : elle contient les $4$ termes de $v_{0}$ à $v_{3}$ (L[-1] est le dernier élément de la liste).

Réflexe — Motif : j’imagine l’étape suivante et je compte ce qui s’ajoute, puis je vérifie ma formule sur les premières figures. Programme : je fais un tableau des valeurs des variables, tour par tour.

Attention — Décalage d’indice : range(n) fait $n$ tours, de k = 0 à k = n - 1. Si la suite commence à $u_{1}$ , il ne faut que $n - 1$ tours pour obtenir $u_{n}$ . Et une liste des termes de $u_{0}$ à $u_{n}$ contient $n + 1$ éléments.

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Représentation graphique d’une suite

Ce qu’il faut savoir

Nuage de points. Dans un repère, on place les points de coordonnées $(n; u_{n})$ . On ne les relie pas : une suite n’est définie que pour des entiers.

Cas $u_{n} = f (n)$ . Les points $(n; u_{n})$ sont sur la courbe de $f$ : ce sont ses points d’abscisse entière.

Cas $u_{n + 1} = f (u_{n})$ : construction en escalier. On trace la courbe de $f$ et la droite d’équation $y = x$ . On place $u_{0}$ sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la courbe : l’ordonnée obtenue est $u_{1} = f (u_{0})$ . On la reporte sur l’axe des abscisses grâce à la droite $y = x$ , puis on recommence. Les termes se lisent sur l’axe des abscisses.

Exemples

Nuage de points. $u_{n} = 3 - \frac{2}{n + 1}$ : $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 2$ , $u_{3} = 2, 5$ . Les termes sont les ordonnées des points d’abscisse entière de la courbe de $f (x) = 3 - \frac{2}{x + 1}$ .

Construction en escalier. $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2} + 2$ , donc $f (x) = \frac{x}{2} + 2$ . On lit $u_{1} = 2$ , $u_{2} = 3$ , $u_{3} = 3, 5$ : l’escalier monte vers le point où la courbe de $f$ coupe la droite $y = x$ , d’abscisse $4$ (car $\frac{4}{2} + 2 = 4$ ).

Réflexe — Forme explicite : un terme se lit comme l’ordonnée du point d’abscisse $n$ . Relation de récurrence : je reporte chaque ordonnée sur l’axe des abscisses avec la droite $y = x$ avant de remonter à la courbe.

Attention — On ne relie pas les points du nuage. Et la courbe de $f$ contient des points qui ne correspondent à aucun terme : $f (1, 5) = 2, 2$ n’est la valeur d’aucun terme de la suite, car $1, 5$ n’est pas un entier.

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Sens de variation

Ce qu’il faut savoir

$(u_{n})$ est croissante si, pour tout $n$ , $u_{n + 1} ⩾ u_{n}$ ; décroissante si, pour tout $n$ , $u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ ; strictement croissante ou décroissante avec des inégalités strictes ; constante si $u_{n + 1} = u_{n}$ pour tout $n$ . Une suite croissante ou décroissante est dite monotone. Si l’inégalité n’est vraie que pour $n ⩾ n_{0}$ , la suite est monotone à partir du rang $n_{0}$ .

Technique	Quand l’utiliser	Conclusion
Signe de $u_{n + 1} - u_{n}$	toujours possible	$> 0$ : strictement croissante ; $< 0$ : strictement décroissante
Comparer $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ à $1$	termes strictement positifs, puissances, produits	$> 1$ : strictement croissante ; $< 1$ : strictement décroissante
Variations de $f$	forme explicite $u_{n} = f (n)$	même sens de variation que $f$ sur $[0; + \infty [$

Propriété. Si $u_{n} = f (n)$ et si $f$ est croissante (resp. décroissante) sur $[0; + \infty [$ , alors $(u_{n})$ est croissante (resp. décroissante). Justification : pour tout $n$ , $n < n + 1$ et $f$ est croissante, donc $f (n) ⩽ f (n + 1)$ , c’est-à-dire $u_{n} ⩽ u_{n + 1}$ .

Exemples

Par la différence. $p_{n} = n^{2} + 4 n - 7$ . $p_{n + 1} = (n + 1)^{2} + 4 (n + 1) - 7$ $= n^{2} + 6 n - 2$ , donc $p_{n + 1} - p_{n} = (n^{2} + 6 n - 2) - (n^{2} + 4 n - 7)$ $= 2 n + 5$ . Pour tout $n \in ℕ$ , $2 n + 5 > 0$ , donc $p_{n + 1} > p_{n}$ : $(p_{n})$ est strictement croissante.

À partir d’un rang. $u_{n} = n^{2} - 3 n + 1$ : $u_{n + 1} - u_{n} = (n^{2} - n - 1) - (n^{2} - 3 n + 1)$ $= 2 n - 2$ . Ce nombre est nul pour $n = 1$ et strictement positif pour $n ⩾ 2$ : $(u_{n})$ est croissante à partir du rang $1$ (alors que $u_{0} > u_{1}$ ).

Par le quotient. $q_{n} = \frac{5^{n}}{n + 1}$ : pour tout $n$ , $q_{n} > 0$ . $\frac{q_{n + 1}}{q_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{n + 2} \times \frac{n + 1}{5^{n}}$ $= \frac{5 (n + 1)}{n + 2}$ . Or $5 (n + 1) - (n + 2) = 4 n + 3 > 0$ , donc le quotient est strictement supérieur à $1$ : $(q_{n})$ est strictement croissante.

Par la fonction associée. $r_{n} = \frac{7}{n + 2} + 1 = f (n)$ avec $f (x) = \frac{7}{x + 2} + 1$ . Sur $[0; + \infty [$ , $x + 2$ est strictement positif et croît, donc son inverse décroît : $f$ est strictement décroissante, et $(r_{n})$ aussi.

Suite définie par récurrence. $d_{0} = 1$ et $d_{n + 1} = d_{n} + d_{n}^{2}$ : $d_{n + 1} - d_{n} = d_{n}^{2} ⩾ 0$ pour tout $n$ , donc $(d_{n})$ est croissante.

Réflexe — Par défaut, j’étudie le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ (en exprimant $u_{n + 1}$ d’abord). Pour des produits ou des puissances à termes strictement positifs, je compare $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ à $1$ . Pour $u_{n} = f (n)$ avec une fonction de référence, j’utilise les variations de $f$ . Je conclus toujours par une phrase.

Attention — Quelques termes ne prouvent rien : constater $u_{0} < u_{1} < u_{2}$ ne démontre pas que la suite est croissante. La propriété de la fonction ne s’applique pas à $u_{n + 1} = f (u_{n})$ : avec $f (x) = \frac{x}{3}$ (croissante) et $u_{0} = 6$ , on obtient $u_{1} = 2$ puis $u_{2} = \frac{2}{3}$ , la suite décroît. Et le quotient ne permet de conclure que si tous les termes sont strictement positifs.

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Limite intuitive et algorithme de seuil

Ce qu’il faut savoir

Limite finie. La suite $(u_{n})$ tend vers le réel $ℓ$ lorsque les termes $u_{n}$ deviennent aussi proches de $ℓ$ qu’on le souhaite, pourvu que $n$ soit assez grand.

Limite infinie. $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ lorsque ses termes finissent par dépasser n’importe quel nombre fixé à l’avance ; elle tend vers $- \infty$ lorsqu’ils finissent par passer sous n’importe quel nombre fixé.

Une suite peut aussi n’avoir aucune limite.

En 1^re, la limite est conjecturée (tableau de valeurs, graphique, programme). Les définitions précises et les règles de calcul se voient en Terminale.

Algorithme de seuil. Pour trouver le plus petit $n$ tel que $u_{n} > s$ , une boucle non bornée while calcule les termes un par un tant que le seuil n’est pas franchi : sa condition est la négation de la condition cherchée ( $u ⩽ s$ ).

Exemples

Limite finie. Pour $u_{n} = 3 - \frac{2}{n + 1}$ :

$n$	$9$	$99$	$999$
$u_{n}$	$2, 8$	$2, 98$	$2, 998$

On conjecture que $(u_{n})$ tend vers $3$ : l’écart $\frac{2}{n + 1}$ devient aussi petit qu’on veut.

Limites infinies. $n^{2}$ dépasse $10^{6}$ dès que $n ⩾ 1 001$ , et de même pour tout seuil : $(n^{2})$ tend vers $+ \infty$ . $b_{n} = 5 - n^{2}$ finit par passer sous n’importe quel nombre : $(b_{n})$ tend vers $- \infty$ .

Pas de limite. $(- 1)^{n}$ vaut alternativement $1$ et $- 1$ : elle ne se rapproche d’aucun réel et ne tend pas vers l’infini.

Seuil. Plus petit $n$ tel que $u_{n} > 2, 97$ , pour $u_{n} = 3 - \frac{2}{n + 1}$ :

def seuil(s):
    n = 0
    u = 1
    while u <= s:
        n = n + 1
        u = 3 - 2/(n+1)
    return n

Par le calcul : $3 - \frac{2}{n + 1} > 2, 97$ $⟺ \frac{2}{n + 1} < 0, 03$ $⟺ n + 1 > \frac{200}{3} \approx 66, 7$ , donc $n ⩾ 66$ . Contrôle : $u_{65} \approx 2, 9697$ et $u_{66} \approx 2, 9701$ . L’appel seuil(2.97) renvoie $66$ . Avec $s = 3$ , le programme ne s’arrête jamais, car $u_{n} < 3$ pour tout $n$ .

Réflexe — Pour un seuil, je traduis la condition par une inéquation d’inconnue $n$ ; je la résous si je peux, sinon j’utilise le programme ou le tableau de valeurs ; je contrôle avec les deux termes qui encadrent la réponse, et je donne le plus petit entier qui convient.

Attention — Croissante ne veut pas dire « tend vers $+ \infty$ » : $3 - \frac{2}{n + 1}$ est croissante et tend vers $3$ . Et un seuil n’existe que si la suite finit par franchir la valeur.

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Pour aller plus loin

Deux familles de suites. Les suites définies par $u_{n + 1} = u_{n} + r$ ou par $u_{n + 1} = q u_{n}$ ont chacune leur chapitre : Suites arithmétiques et Suites géométriques (terme général, sommes de termes, évolutions à taux constant).

En Terminale. Les définitions précises de la limite, les règles de calcul et les théorèmes de convergence sont au chapitre Limites de suites ; prouver une propriété pour tout entier $n$ (par exemple que tous les termes sont positifs) se fait par raisonnement par récurrence.

À retenir

Forme explicite $u_{n} = f (n)$ : calcul direct ; relation de récurrence : premier terme + $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ (et parfois de $n$ ).
$u_{n + 1}$ s’obtient en remplaçant $n$ par $n + 1$ ; ce n’est pas $u_{n} + 1$ .
Motif ou situation : compter ce qui s’ajoute d’une étape à la suivante ; range(n) fait $n$ tours.
Nuage de points $(n; u_{n})$ non reliés ; pour $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , escalier avec la droite $y = x$ .
Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ , quotient comparé à $1$ (termes strictement positifs) ou variations de $f$ si $u_{n} = f (n)$ .
Limite conjecturée (finie, infinie ou aucune) ; seuil : boucle « tant que » dont la condition est la négation de la condition cherchée.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre forme explicite et relation de récurrence ?

Avec une forme explicite uₙ = f(n), on calcule n’importe quel terme directement en remplaçant n. Avec une relation de récurrence, on connaît le premier terme et la façon de passer d’un terme au suivant : il faut calculer les termes un par un.

Comment trouver la relation de récurrence d’un motif ou d’une situation ?

On compte ce qui change d’une étape à la suivante : les éléments ajoutés dans un motif, ou « ce qui reste » plus « ce qui arrive » dans une évolution. Perdre 20 % chaque mois, c’est garder 0,8 × uₙ. On contrôle ensuite la relation sur les premières valeurs.

Comment représenter graphiquement une suite ?

On place les points (n ; uₙ) sans les relier. Si uₙ = f(n), ce sont les points d’abscisse entière de la courbe de f. Si uₙ₊₁ = f(uₙ), on fait une construction en escalier avec la courbe de f et la droite y = x, et les termes se lisent sur l’axe des abscisses.

Comment montrer qu’une suite est croissante ?

On étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ pour tout n : positif, la suite est croissante. Si tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer uₙ₊₁/uₙ à 1. Si uₙ = f(n) avec f croissante sur [0 ; +∞[, la suite est croissante. Calculer quelques termes ne suffit pas.

Comment écrire un algorithme de seuil en Python ?

On initialise n et le premier terme, puis une boucle while calcule les termes tant que le seuil n’est pas franchi : pour chercher le plus petit n tel que uₙ > A, la condition est « u <= A ». La fonction renvoie n. Elle ne s’arrête que si la suite finit par dépasser A.

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