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Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Suites numériques

Définitions, suites arithmétiques et géométriques, sens de variation — programme de Spécialité Maths 1re

À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Suites numériques » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Définition et notations d'une suite, Suites définies par une formule explicite ou par récurrence, Suites arithmétiques, Suites géométriques. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.
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Définition et notations d'une suite

Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) à valeurs dans $\mathbb{R}$.

Définition. Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une liste ordonnée de nombres réels. Le terme de rang $n$ est noté $u_n$. Le premier terme est $u_0$ (ou parfois $u_1$).

On désigne la suite par la notation $(u_n)$ ou $(u_n)_{n \geq 0}$. Chaque $u_n$ est un terme de la suite ; $n$ est l'indice (ou rang).

Exemple. La suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2n + 1$ donne :
$u_0 = 1,\quad u_1 = 3,\quad u_2 = 5,\quad u_3 = 7, \ldots$
C'est la suite des nombres impairs positifs.
Notation. La suite elle-même s'écrit $(u_n)$ (avec parenthèses). Le terme $u_n$ est un nombre réel, pas une suite.
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Suites définies par une formule explicite ou par récurrence

Il existe deux grandes façons de définir une suite :

Type de définitionPrincipeExemple
Formule explicite (terme général)$u_n$ est exprimé directement en fonction de $n$$u_n = 3n^2 - 1$
Relation de récurrence$u_{n+1}$ est exprimé en fonction de $u_n$ (et d'une valeur initiale)$u_0 = 2,\ u_{n+1} = 2u_n + 3$
Exemple (formule explicite). $u_n = \frac{n+1}{n+2}$. On calcule aisément tout terme : $u_5 = \frac{6}{7}$.
Exemple (récurrence). $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 4$. On obtient $u_1 = 5$, $u_2 = 9$, $u_3 = 13$…
Attention ! Avec une relation de récurrence, pour calculer $u_{10}$ il faut en général calculer tous les termes précédents (sauf si on dispose d'une formule explicite).
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Suites arithmétiques

Définition. Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si, pour tout entier $n$ :
$$u_{n+1} = u_n + r$$

La raison $r$ peut être positive, négative ou nulle.

Formule du terme général : si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$, alors :
$$\boxed{u_n = u_0 + n r}$$
Plus généralement : $u_n = u_p + (n-p)r$ pour tout entier $p$.

Exemple. $(u_n)$ arithmétique de raison $r = -3$ et $u_1 = 10$.
$u_n = u_1 + (n-1)\times(-3) = 10 - 3(n-1) = 13 - 3n$.
Ainsi $u_5 = 13 - 15 = -2$.
Reconnaissance. Pour vérifier qu'une suite est arithmétique, il suffit de montrer que $u_{n+1} - u_n$ est constant.

Suite arithmétique de raison 3 et de premier terme 2 — les points sont alignés.

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Suites géométriques

Définition. Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si, pour tout entier $n$ :
$$u_{n+1} = q \cdot u_n \quad (q \neq 0,\ u_n \neq 0)$$

Formule du terme général :
$$\boxed{u_n = u_0 \cdot q^n}$$
Plus généralement : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$.

Exemple. $(u_n)$ géométrique de raison $q = 2$ et $u_0 = 3$.
$u_n = 3 \times 2^n$. Ainsi $u_4 = 3 \times 16 = 48$.
Reconnaissance. Pour vérifier qu'une suite est géométrique, il suffit de montrer que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant (et non nul).
Attention ! Si $q \lt 0$, les termes alternent en signe. Si $0 \lt q \lt 1$, la suite tend vers 0.

Comportements d'une suite géométrique selon la valeur de $q$.

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Sens de variation d'une suite

Définitions.
  • $(u_n)$ est croissante si pour tout $n$ : $u_{n+1} \geq u_n$ (soit $u_{n+1} - u_n \geq 0$).
  • $(u_n)$ est décroissante si pour tout $n$ : $u_{n+1} \leq u_n$ (soit $u_{n+1} - u_n \leq 0$).
  • $(u_n)$ est constante si pour tout $n$ : $u_{n+1} = u_n$.

Méthode : pour étudier le sens de variation, on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ (ou le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ pour une suite à termes positifs).

Type de suiteConditionVariation
Arithmétique (raison $r$)$r \gt 0$Croissante
Arithmétique (raison $r$)$r \lt 0$Décroissante
Géométrique ($u_0 \gt 0$)$q \gt 1$Croissante
Géométrique ($u_0 \gt 0$)$0 \lt q \lt 1$Décroissante
Exemple. $(u_n)$ avec $u_n = \frac{n}{n+1}$. On calcule :
$u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+2)(n+1)} \gt 0$.
Donc $(u_n)$ est croissante.
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Somme de termes consécutifs

On cherche souvent à calculer $S = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n$.

Somme arithmétique. Pour une suite arithmétique :
$$S = \sum_{k=p}^{n} u_k = (n - p + 1) \cdot \frac{u_p + u_n}{2}$$
(nombre de termes) × (moyenne du premier et du dernier)
Cas particulier utile. $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
Somme géométrique. Pour une suite géométrique de raison $q \neq 1$ :
$$S = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$
En particulier : $1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
Exemple arithmétique. Calculer $S = 3 + 6 + 9 + \cdots + 99$.
Suite arithmétique de raison 3, premier terme 3, dernier terme 99. Nombre de termes : $\frac{99-3}{3}+1 = 33$.
$S = 33 \times \frac{3+99}{2} = 33 \times 51 = 1683$.
Exemple géométrique. Calculer $S = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{10}$.
Suite géométrique de raison 2, $u_0 = 1$. $S = \frac{1 - 2^{11}}{1-2} = 2^{11} - 1 = 2047$.
Attention ! Pour la somme géométrique, compter le nombre exact de termes : de $q^0$ à $q^n$, il y a $n+1$ termes.
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Représentation graphique et comportement à l'infini

On représente une suite $(u_n)$ dans un repère par les points de coordonnées $(n, u_n)$. Les points sont isolés (pas reliés), car $n$ est entier.

Comportements à l'infini (hors programme de première, mais utiles).
  • Si $(u_n)$ arithmétique de raison $r \gt 0$ : $u_n \to +\infty$.
  • Si $(u_n)$ géométrique avec $|q| \gt 1$ : $|u_n| \to +\infty$.
  • Si $(u_n)$ géométrique avec $|q| \lt 1$ : $u_n \to 0$.
Outil numérique. On peut utiliser la calculatrice ou un tableur pour calculer les premiers termes d'une suite définie par récurrence et observer son comportement.

La suite géométrique (exponentielle) croît beaucoup plus vite que la suite arithmétique (linéaire).

Exemple — raisonnement algébrique. $(u_n)$ définie par $u_0 = 100$ et $u_{n+1} = 0{,}9 \cdot u_n$ est géométrique de raison $0{,}9$. Comme $0 \lt 0{,}9 \lt 1$ et $u_0 \gt 0$, la suite est décroissante et tend vers 0.
À retenir
  • Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1} = u_n + r$ et son terme général est $u_n = u_0 + nr$.
  • Une suite géométrique vérifie $u_{n+1} = q\,u_n$ et son terme général est $u_n = u_0 \cdot q^n$.
  • Sens de variation : arithmétique croissante ⟺ $r \gt 0$ ; géométrique croissante ($u_n \gt 0$) ⟺ $q \gt 1$.
  • Somme arithmétique : $S = (\text{nbre de termes}) \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.
  • Somme géométrique : $S = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \neq 1$.
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