Généralités sur les suites

1. a)$u_0=\frac{2\times 0-1}{0+3}=-\frac{1}{3}$ ; $u_5=\frac{10-1}{5+3}=\frac{9}{8}$. (1)
2. b)On remplace $n$ par $n+1$ partout : $u_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{(n+1)+3}=\frac{2n+1}{n+4}$. Ce n’est pas $u_n+1$. (1)
3. c)$v_1=(-2{)}^2-2\times (-2)=4+4=8$ ; $v_2=8^2-2\times 8=64-16=48$. (1)
4. d)$v_3={48}^2-2\times 48=2304-96=2208$. La relation donne chaque terme à partir du précédent, pas à partir de $n$ : il faut connaître $v_2$ pour obtenir $v_3$. (1)

Repère — Forme explicite : calcul direct ; relation de récurrence : de proche en proche.

1. a)Le troisième étage compte $9$ cubes : $P_3=5+9=14$. Le quatrième en compte $16$ : $P_4=14+16=30$. (1)
2. b)Une pyramide à $n+1$ étages est une pyramide à $n$ étages sous laquelle on ajoute un étage carré de $n+1$ cubes sur $n+1$ cubes, soit $(n+1{)}^2$ cubes. Donc $P_{n+1}=P_n+(n+1{)}^2$. Alors $P_{n+1}-P_n=(n+1{)}^2>0$ pour tout $n⩾1$ : la suite $(P_n)$ est strictement croissante. (1)
3. c)Pour $n=4$ : $\frac{4\times 5\times 9}{6}=\frac{180}{6}=30$, qui est bien $P_4$. Puis $P_{10}=\frac{10\times 11\times 21}{6}=\frac{2310}{6}=385$. (1)
4. d)On cherche le plus petit $n$ tel que $P_n>1000$. $P_{13}=\frac{13\times 14\times 27}{6}=13\times 7\times 9=819$ et $P_{14}=\frac{14\times 15\times 29}{6}=7\times 5\times 29=1015$. Comme $(P_n)$ est croissante, $P_n⩽819$ pour tout $n⩽13$ : il faut au moins $14$ étages. (1)

Repère — Dans un motif, la relation de récurrence compte ce que l’on ajoute d’une étape à la suivante.

1. a)Pour tout $n$, $w_{n+1}=(n+1{)}^2-11(n+1)+5=n^2+2n+1-11n-11+5=n^2-9n-5$. Donc $w_{n+1}-w_n=(n^2-9n-5)-(n^2-11n+5)=2n-10$. (1)
2. b)$2n-10<0$ pour $n⩽4$, $2n-10=0$ pour $n=5$ et $2n-10>0$ pour $n⩾6$. Donc $(w_n)$ est strictement décroissante de $w_0$ à $w_5$, $w_6=w_5$, puis elle est strictement croissante : $(w_n)$ est croissante à partir du rang $5$. (1)
3. c)D’après la question précédente, le plus petit terme est $w_5=w_6$. $w_5=25-55+5=-25$ et $w_6=36-66+5=-25$ : le minimum vaut $-25$, atteint aux rangs $5$ et $6$. (1)
4. d)Les termes de la suite sont les ordonnées des points de la courbe de $f$ d’abscisse entière : le nuage ne contient aucun point d’abscisse $5,5$. $f(5,5)=-25,25$ n’est la valeur d’aucun terme ; le plus petit terme est $-25$. (1)

Erreur fréquente — Le minimum de la fonction n’est pas forcément un terme de la suite : seuls les entiers comptent.

1. a)$t_1=\frac{1}{3}$ ; $t_2=\frac{2}{9}$ ; $t_3=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$. (1)
2. b)Pour $n⩾1$, $n>0$ et $3^n>0$, donc $t_n>0$. Puis $\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{n+1}{3^{n+1}}\times \frac{3^n}{n}=\frac{n+1}{3n}$, car $\frac{3^n}{3^{n+1}}=\frac{1}{3}$. (1)
3. c)Pour $n⩾1$, $(n+1)-3n=1-2n<0$, donc $n+1<3n$ et, comme $3n>0$, $\frac{t_{n+1}}{t_n}<1$. Les termes étant strictement positifs, $t_{n+1}<t_n$ : la suite $(t_n)$ est strictement décroissante. (1)
4. d)Les termes deviennent très petits ($t_{10}\approx 0,00017$) : on conjecture que $(t_n)$ tend vers $0$. Le camarade se trompe : tous les termes sont strictement positifs, donc la suite ne peut pas passer sous $0$ et ne peut pas tendre vers $-\infty$. Décroissante ne veut pas dire « tend vers $-\infty$ ». (1)

Repère — Le quotient se compare à 1 seulement si tous les termes sont strictement positifs.

1. a)$s_1=1+\frac{1}{1}=2$ ; $s_2=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ ; $s_3=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{25}{10}+\frac{4}{10}=\frac{29}{10}$. (1)
2. b)Pour tout $n$, $s_{n+1}-s_n=\frac{1}{s_n}$. Comme $s_n>0$, $\frac{1}{s_n}>0$, donc $s_{n+1}>s_n$ : la suite $(s_n)$ est strictement croissante. (1)
3. c)

   def seuil(A):
       n = 0
       s = 1
       while s <= A:
           n = n + 1
           s = s + 1/s
       return n

   La condition $s<=A$ est la négation de la condition cherchée $s_n>A$ : la boucle continue tant que le seuil n’est pas franchi. (1)
4. d)La fonction calcule les termes dans l’ordre et s’arrête au premier qui dépasse $5$. La suite est croissante, donc $s_n⩽s_{11}\approx 4,9975⩽5$ pour tout $n⩽11$, et $s_{12}\approx 5,1976>5$. L’appel $seuil(5)$ renvoie $12$. (1)

Repère — La condition du while est le contraire de ce que l’on cherche ; on contrôle les deux termes qui encadrent le seuil.