Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Suites numériques
Définitions, suites arithmétiques et géométriques, sens de variation — programme de Spécialité Maths 1re
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Suites arithmétiques — terme général et calcul
/ 4 pts- La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r = 6$ et de premier terme $u_0 = 2$.
a) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
b) Calculer $u_{15}$.
c) La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier. - La suite $(v_n)$ est arithmétique et vérifie $v_2 = 13$ et $v_5 = 25$.
Déterminer la raison et le premier terme $v_0$.
Exercice 2 — Suites géométriques — terme général et variation
/ 4 pts- La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{3}$ et $u_0 = 81$.
a) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
b) Calculer $u_4$.
c) Étudier le sens de variation de $(u_n)$.
Exercice 3 — Sens de variation — démonstration
/ 4 pts- Soit $(u_n)$ la suite définie pour $n \geq 0$ par $u_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$.
a) Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
b) Étudier le sens de variation de $(u_n)$ en calculant $u_{n+1} - u_n$.
c) La suite est-elle bornée supérieurement ? (Comparer $u_n$ à 3.)
Exercice 4 — Sommes de suites
/ 4 pts- Calculer les sommes suivantes :
a) $S_1 = 5 + 9 + 13 + \cdots + 81$.
b) $S_2 = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{12}$.
c) $S_3 = \sum_{k=1}^{50} k$.
Exercice 5 — Problème — suite récurrente affine et modélisation
/ 4 pts- Une population de bactéries est modélisée par la suite $(u_n)$ où $u_n$ est le nombre de milliers de bactéries au bout de $n$ heures. On a $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$.
a) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
b) On pose $v_n = u_n + 3$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
c) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
d) Au bout de combien d'heures la population dépasse-t-elle 100 000 bactéries (soit $u_n \gt 100$) ?
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Suites arithmétiques — terme général et calcul
Corrigé :
1a) $u_n = 2 + 6n$.
1b) $u_{15} = 2 + 6 \times 15 = 92$.
1c) $r = 6 \gt 0$ donc la suite est croissante.
2) $v_5 - v_2 = 3r = 12$ donc $r = 4$. Puis $v_0 = v_2 - 2r = 13 - 8 = 5$.
Exercice 2 — Suites géométriques — terme général et variation
Corrigé :
a) $u_n = 81 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n$.
b) $u_4 = 81 \times \frac{1}{81} = 1$.
c) $u_0 = 81 \gt 0$ et $0 \lt q = \frac{1}{3} \lt 1$ donc la suite est strictement décroissante.
Exercice 3 — Sens de variation — démonstration
Corrigé :
a) $u_0 = \frac{1}{2}$, $u_1 = \frac{4}{3}$, $u_2 = \frac{7}{4}$.
b) $u_{n+1} - u_n = \frac{3(n+1)+1}{n+3} - \frac{3n+1}{n+2} = \frac{(3n+4)(n+2)-(3n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{5}{(n+3)(n+2)} \gt 0$. Donc $(u_n)$ est strictement croissante.
c) $3 - u_n = 3 - \frac{3n+1}{n+2} = \frac{3(n+2)-(3n+1)}{n+2} = \frac{5}{n+2} \gt 0$. Donc $u_n \lt 3$ pour tout $n$ : la suite est majorée par 3.
Exercice 4 — Sommes de suites
Corrigé :
a) Suite arithmétique de raison 4, de $u_1 = 5$ à $u_n = 81$. Rang du dernier terme : $5 + 4(n-1) = 81 \Rightarrow n = 20$. Nombre de termes : 20. $S_1 = 20 \times \frac{5+81}{2} = 20 \times 43 = 860$.
b) Suite géométrique de raison 2, de $q^0 = 1$ à $q^{12} = 2^{12}$ : 13 termes. $S_2 = \frac{1-2^{13}}{1-2} = 2^{13} - 1 = 8191$.
c) $S_3 = \frac{50 \times 51}{2} = 1275$.
Exercice 5 — Problème — suite récurrente affine et modélisation
Corrigé :
a) $u_1 = 2 \times 1 + 3 = 5$ ; $u_2 = 2 \times 5 + 3 = 13$ ; $u_3 = 2 \times 13 + 3 = 29$.
b) $v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = 2u_n + 3 + 3 = 2u_n + 6 = 2(u_n + 3) = 2v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison 2.
c) $v_0 = u_0 + 3 = 4$. Donc $v_n = 4 \times 2^n = 2^{n+2}$. Ainsi $u_n = v_n - 3 = 2^{n+2} - 3$.
d) $u_n \gt 100 \Leftrightarrow 2^{n+2} \gt 103$. On teste : $2^6 = 64 \lt 103$, $2^7 = 128 \gt 103$. Donc $n + 2 \geq 7 \Rightarrow n \geq 5$. La population dépasse 100 000 bactéries au bout de 5 heures.
Ce contrôle de spécialité mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Suites numériques » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Suites arithmétiques — terme général et calcul/ 4 pts
- Exercice 2 — Suites géométriques — terme général et variation/ 4 pts
- Exercice 3 — Sens de variation — démonstration/ 4 pts
- Exercice 4 — Sommes de suites/ 4 pts
- Exercice 5 — Problème — suite récurrente affine et modélisation/ 4 pts
Notions évaluées
Définition et notations d'une suite, Suites définies par une formule explicite ou par récurrence, Suites arithmétiques, Suites géométriques, Sens de variation d'une suite, Somme de termes consécutifs.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Suites numériques » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Suites numériques » du programme officiel de spécialité mathématiques en première, soit Définition et notations d'une suite, Suites définies par une formule explicite ou par récurrence, Suites arithmétiques, Suites géométriques.
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