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Suites géométriques

Définition par récurrence, raison, terme général u(n) = u(0) × qⁿ, sens de variation selon q (q > 0), somme 1 + q + … + qⁿ et somme de termes consécutifs, comportement de qⁿ (approche intuitive), modélisation d'évolutions à taux constant

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Suites géométriques » en première permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de première et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Reconnaître une suite géométrique, Terme général et raison, Sens de variation et comportement de qⁿ. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser spécialité mathématiques en première.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Calculer des termes

Facile

La suite $(u_{n})$ est géométrique de premier terme $u_{0} = - 5$ et de raison $3$ .

a) Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
c) Calculer $u_{8}$ .
d) Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ .

a) On multiplie chaque terme par la raison : $u_{1} = 3 \times (- 5) = - 15$ , $u_{2} = 3 \times (- 15) = - 45$ , $u_{3} = 3 \times (- 45) = - 135$ . $u_{1} = - 15$ , $u_{2} = - 45$ , $u_{3} = - 135$ .

b) Pour une suite géométrique, $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ , donc $u_{n} = - 5 \times 3^{n}$ .

c) $u_{8} = - 5 \times 3^{8} = - 5 \times 6 561$ , donc $u_{8} = - 32 805$ .

d) Pour tout $n$ : $u_{n + 1} - u_{n} = 3 u_{n} - u_{n} = 2 u_{n} = - 10 \times 3^{n}$ . Comme $3^{n} > 0$ , cette différence est strictement négative. On retrouve la propriété du cours : $u_{0} < 0$ et $q > 1$ . La suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.

Exercice 2 — Géométrique ou non ?

Facile

Pour chacune des suites suivantes, définies pour tout entier naturel $n$ , dire si elle est géométrique. Si oui, donner sa raison et son premier terme.

a) $a_{n} = 2^{3 n + 1}$
b) $b_{n} = 4 n + 1$
c) $c_{n} = \frac{7}{6^{n}}$
d) $d_{n} = 5^{n} + 5$

a) $a_{n + 1} = 2^{3 (n + 1) + 1} = 2^{3 n + 4} = 2^{3} \times 2^{3 n + 1} = 8 a_{n}$ . $(a_{n})$ est géométrique de raison $8$ et de premier terme $a_{0} = 2$ .

b) $b_{0} = 1$ , $b_{1} = 5$ , $b_{2} = 9$ . Or $\frac{b_{1}}{b_{0}} = 5$ et $\frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{9}{5} = 1, 8$ : les quotients diffèrent. $(b_{n})$ n'est pas géométrique (elle est arithmétique).

c) $c_{n + 1} = \frac{7}{6^{n + 1}} = \frac{1}{6} \times \frac{7}{6^{n}} = \frac{1}{6} c_{n}$ . $(c_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{6}$ et de premier terme $c_{0} = 7$ .

d) $d_{0} = 6$ , $d_{1} = 10$ , $d_{2} = 30$ . Or $\frac{d_{1}}{d_{0}} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ et $\frac{d_{2}}{d_{1}} = 3$ : les quotients diffèrent. $(d_{n})$ n'est pas géométrique : ajouter $5$ à une suite géométrique ne donne pas une suite géométrique.

Exercice 3 — Retrouver la raison

Facile

La suite $(u_{n})$ est géométrique, avec $u_{2} = 12$ et $u_{5} = - 324$ .

a) Déterminer la raison $q$ .
b) Calculer $u_{0}$ .
c) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
d) Calculer $u_{7}$ .

a) D'après le cours, $u_{5} = u_{2} \times q^{5 - 2} = u_{2} \times q^{3}$ . Donc $q^{3} = \frac{- 324}{12} = - 27$ . Le seul réel dont le cube vaut $- 27$ est $- 3$ : $q = - 3$ .

b) $u_{2} = u_{0} \times q^{2} = 9 u_{0}$ , donc $u_{0} = \frac{12}{9}$ , soit $u_{0} = \frac{4}{3}$ .

c) $u_{n} = \frac{4}{3} \times (- 3)^{n}$ . Vérification : $u_{5} = \frac{4}{3} \times (- 243) = - 324$ .

d) $u_{7} = u_{5} \times q^{2} = - 324 \times 9$ , donc $u_{7} = - 2 916$ .

Exercice 4 — Sens de variation et comportement

Moyen

On considère les suites définies pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = - 3 \times 1, 2^{n}$ , $v_{n} = 8 \times 0, 6^{n}$ et $w_{n} = 4 \times (- 0, 7)^{n}$ .

a) Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ .
b) Étudier le sens de variation de $(v_{n})$ .
c) La suite $(w_{n})$ est-elle monotone ? Justifier.
d) Décrire le comportement de chacune des trois suites lorsque $n$ devient très grand.

a) $(u_{n})$ est géométrique de premier terme $u_{0} = - 3$ et de raison $1, 2$ . Pour tout $n$ : $u_{n + 1} - u_{n} = u_{n} (1, 2 - 1) = 0, 2 u_{n} = - 0, 6 \times 1, 2^{n} < 0$ . $(u_{n})$ est strictement décroissante (cas $u_{0} < 0$ , $q > 1$ ).

b) $(v_{n})$ est géométrique avec $v_{0} = 8 > 0$ et $0 < 0, 6 < 1$ . $v_{n + 1} - v_{n} = v_{n} (0, 6 - 1) = - 3, 2 \times 0, 6^{n} < 0$ . $(v_{n})$ est strictement décroissante.

c) $w_{0} = 4$ , $w_{1} = - 2, 8$ , $w_{2} = 1, 96$ . On a $w_{1} < w_{0}$ mais $w_{2} > w_{1}$ : la suite n'est ni croissante ni décroissante. $(w_{n})$ n'est pas monotone, ce qui est normal puisque sa raison est négative : les termes changent de signe à chaque rang.

d) Comme $1, 2 > 1$ , $1, 2^{n}$ devient aussi grand que l'on veut ; multiplié par $- 3$ , $u_{n}$ devient négatif et aussi grand que l'on veut en valeur absolue. Comme $0 < 0, 6 < 1$ , $0, 6^{n}$ se rapproche de $0$ : $v_{n}$ se rapproche de $0$ . Comme $- 1 < - 0, 7 < 1$ , $(- 0, 7)^{n}$ se rapproche de $0$ : $w_{n}$ se rapproche de $0$ en changeant de signe.

Exercice 5 — Trois sommes

Moyen

Calculer les sommes suivantes (valeur exacte, puis arrondi au centième si nécessaire).

a) $A = 1 + 1, 5 + 1, 5^{2} + \dots + 1, 5^{12}$
b) $B = 3 + 12 + 48 + \dots + 3 \times 4^{8}$
c) $C = 1 - 2 + 4 - 8 + \dots + (- 2)^{10}$

a) $A$ est la somme $1 + q + \dots + q^{12}$ avec $q = 1, 5 \neq 1$ : elle compte $13$ termes. Donc $A = \frac{1 - 1, 5^{13}}{1 - 1, 5} = \frac{1, 5^{13} - 1}{0, 5} = 2 (1, 5^{13} - 1)$ . Avec $1, 5^{13} \approx 194, 6195$ : $A \approx 387, 24$ .

b) Les termes sont $3 \times 4^{k}$ pour $k$ de $0$ à $8$ : premier terme $3$ , raison $4$ , $9$ termes. $B = 3 \times \frac{1 - 4^{9}}{1 - 4} = 3 \times \frac{4^{9} - 1}{3} = 4^{9} - 1$ , donc $B = 262 143$ .

c) Les termes sont $(- 2)^{k}$ pour $k$ de $0$ à $10$ : raison $- 2$ , $11$ termes. $C = \frac{1 - (- 2)^{11}}{1 - (- 2)} = \frac{1 + 2 048}{3}$ , donc $C = 683$ . Contrôle : les termes positifs l'emportent car le dernier, $1 024$ , est positif.

Exercice 6 — Suite auxiliaire

Moyen

On définit la suite $(u_{n})$ par $u_{0} = 3$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 0, 2 u_{n} + 8$ . On pose $v_{n} = u_{n} - 10$ .

a) Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
b) Montrer que $(v_{n})$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
c) En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .
d) Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ et décrire son comportement lorsque $n$ devient très grand.

a) $u_{1} = 0, 2 \times 3 + 8 = 8, 6$ et $u_{2} = 0, 2 \times 8, 6 + 8 = 9, 72$ . $u_{1} = 8, 6$ ; $u_{2} = 9, 72$ .

b) Pour tout $n$ : $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 10 = 0, 2 u_{n} + 8 - 10 = 0, 2 u_{n} - 2 = 0, 2 (u_{n} - 10) = 0, 2 v_{n}$ . $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 2$ et de premier terme $v_{0} = 3 - 10 = - 7$ .

c) Donc $v_{n} = - 7 \times 0, 2^{n}$ et, comme $u_{n} = v_{n} + 10$ : $u_{n} = 10 - 7 \times 0, 2^{n}$ . Contrôle : $u_{2} = 10 - 7 \times 0, 04 = 9, 72$ .

d) $u_{n + 1} - u_{n} = - 7 \times 0, 2^{n + 1} + 7 \times 0, 2^{n} = 7 \times 0, 2^{n} (1 - 0, 2) = 5, 6 \times 0, 2^{n} > 0$ . $(u_{n})$ est strictement croissante. Comme $0 < 0, 2 < 1$ , $0, 2^{n}$ se rapproche de $0$ , donc $u_{n}$ se rapproche de $10$ en restant inférieur à $10$ .

Exercice 7 — Dépréciation d'un ordinateur

Moyen

Un ordinateur acheté 1 480 € perd 12 % de sa valeur chaque année. On note $V_{n}$ sa valeur, en euros, $n$ années après l'achat ( $V_{0} = 1 480$ ).

a) Calculer $V_{1}$ et $V_{2}$ .
b) Montrer que $(V_{n})$ est géométrique et exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$ .
c) Calculer la valeur de l'ordinateur au bout de 6 ans, arrondie au centime.
d) Un élève affirme : « En 6 ans, l'ordinateur a perdu $6 \times 12 = 72 %$ de sa valeur. » Expliquer son erreur et donner le pourcentage exact de baisse, arrondi à 0,1 %.

a) Baisser de 12 %, c'est multiplier par $1 - 0, 12 = 0, 88$ . $V_{1} = 1 480 \times 0, 88 = 1 302, 40$ et $V_{2} = 1 302, 40 \times 0, 88 \approx 1 146, 11$ . $V_{1} = 1 302, 40$ € ; $V_{2} \approx 1 146, 11$ €.

b) Pour tout $n$ , $V_{n + 1} = 0, 88 V_{n}$ : la suite est géométrique de raison $0, 88$ et de premier terme $1 480$ . $V_{n} = 1 480 \times 0, 88^{n}$ .

c) $V_{6} = 1 480 \times 0, 88^{6} \approx 1 480 \times 0, 464 404$ , donc $V_{6} \approx 687, 32$ €.

d) Chaque baisse de 12 % s'applique à une valeur déjà diminuée : les taux ne s'additionnent pas, ce sont les coefficients qui se multiplient. Le coefficient global est $0, 88^{6} \approx 0, 4644$ , soit une baisse de $1 - 0, 4644 = 0, 5356$ . L'ordinateur a perdu environ 53,6 % de sa valeur, et non 72 %.

Exercice 8 — Somme à partir d'un rang

Difficile

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $u_{n} = 64 \times {(\frac{3}{4})}^{n}$ .

a) Justifier que $(u_{n})$ est géométrique et donner son sens de variation.
b) Calculer $u_{3}$ et le nombre de termes de la somme $S = u_{3} + u_{4} + \dots + u_{10}$ .
c) Calculer $S$ (valeur exacte sous forme de fraction, puis arrondi au centième).
d) Montrer que, pour tout entier $n$ , $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} < 256$ .

a) $u_{n + 1} = 64 \times {(\frac{3}{4})}^{n + 1} = \frac{3}{4} u_{n}$ : $(u_{n})$ est géométrique de raison $\frac{3}{4}$ et de premier terme $64$ . Comme $u_{0} > 0$ et $0 < \frac{3}{4} < 1$ , la suite est strictement décroissante.

b) $u_{3} = 64 \times \frac{27}{64} = 27$ . De $u_{3}$ à $u_{10}$ il y a $10 - 3 + 1 = 8$ termes. $u_{3} = 27$ ; 8 termes.

c) $S = 27 \times \frac{1 - {(\frac{3}{4})}^{8}}{1 - \frac{3}{4}} = 108 (1 - \frac{6 561}{65 536}) = 108 \times \frac{58 975}{65 536} = \frac{6 369 300}{65 536}$ . En simplifiant par 4 : $S = \frac{1 592 325}{16 384} \approx 97, 19$ .

d) La somme compte $n + 1$ termes, de premier terme $64$ : $u_{0} + \dots + u_{n} = 64 \times \frac{1 - {(\frac{3}{4})}^{n + 1}}{1 - \frac{3}{4}} = 256 (1 - {(\frac{3}{4})}^{n + 1})$ . Or ${(\frac{3}{4})}^{n + 1} > 0$ , donc $1 - {(\frac{3}{4})}^{n + 1} < 1$ et, en multipliant par $256 > 0$ : $u_{0} + \dots + u_{n} < 256$ pour tout $n$ .

Exercice 9 — Seuil et programme Python

Difficile

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $u_{n} = 2 000 \times 0, 93^{n}$ .

a) Justifier que la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.
b) Écrire une fonction Python $s e u i l ()$ qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 500$ .
c) Quelle valeur cette fonction renvoie-t-elle ? Justifier par un calcul de termes.
d) Expliquer pourquoi la boucle de la fonction s'arrête nécessairement.

a) $(u_{n})$ est géométrique de premier terme $2 000 > 0$ et de raison $0, 93 \in] 0; 1 [$ . Plus précisément, $u_{n + 1} - u_{n} = u_{n} (0, 93 - 1) = - 0, 07 u_{n} < 0$ car $u_{n} > 0$ . La suite est strictement décroissante.

def seuil():
    n = 0
    u = 2000
    while u >= 500:
        u = u * 0.93
        n = n + 1
    return n

La boucle continue tant que le seuil n'est pas franchi ; à chaque tour on passe au terme suivant et on augmente l'indice de 1.

c) $u_{19} = 2 000 \times 0, 93^{19} \approx 503, 74 \geq 500$ et $u_{20} = 2 000 \times 0, 93^{20} \approx 468, 48 < 500$ . La suite étant décroissante, tous les termes suivants restent sous 500. La fonction renvoie $20$ .

d) Comme $0 < 0, 93 < 1$ , $0, 93^{n}$ se rapproche de $0$ lorsque $n$ devient très grand, donc $u_{n}$ aussi : $u_{n}$ finit par passer sous 500, la condition du while devient fausse et la boucle s'arrête.

Exercice 10 — Démontrer la formule de la somme

Difficile

Soit $q$ un réel différent de $1$ et $n$ un entier naturel. On note $S_{n} = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}$ .

a) Montrer que $(1 - q) S_{n} = 1 - q^{n + 1}$ .
b) En déduire l'expression de $S_{n}$ . Que vaut $1 + q + \dots + q^{n}$ lorsque $q = 1$ ?
c) Calculer $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^{10}}$ : valeur exacte puis arrondi à $10^{- 5}$ .
d) Décrire le comportement de $1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{3^{n}}$ lorsque $n$ devient très grand.

a) $(1 - q) S_{n} = S_{n} - q S_{n} = (1 + q + \dots + q^{n}) - (q + q^{2} + \dots + q^{n + 1})$ . Les termes $q, q^{2}, \dots, q^{n}$ figurent dans les deux sommes et s'annulent ; il reste $(1 - q) S_{n} = 1 - q^{n + 1}$ .

b) Comme $q \neq 1$ , $1 - q \neq 0$ et on peut diviser : $S_{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ . Si $q = 1$ , chaque terme vaut $1$ et il y en a $n + 1$ : la somme vaut $n + 1$ (la formule n'a alors pas de sens, car on diviserait par $0$ ).

c) C'est $S_{10}$ avec $q = \frac{1}{3}$ : $S_{10} = \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{11}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{177 147}) = \frac{3}{2} \times \frac{177 146}{177 147}$ , donc $S_{10} = \frac{88 573}{59 049} \approx 1, 49999$ .

d) $S_{n} = \frac{3}{2} (1 - {(\frac{1}{3})}^{n + 1})$ . Comme $0 < \frac{1}{3} < 1$ , ${(\frac{1}{3})}^{n + 1}$ se rapproche de $0$ : la somme se rapproche de $\frac{3}{2}$ , tout en restant strictement inférieure à $\frac{3}{2}$ .

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