Combien de temps dure ce contrôle sur « Suites arithmétiques » ?

120 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Suites arithmétiques » du programme officiel de spécialité mathématiques en première.

Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Suites arithmétiques

Définition par récurrence, raison, terme général u(n) = u(0) + nr, sens de variation selon le signe de r, représentation (points alignés), somme 1 + 2 + … + n et somme de termes consécutifs, modélisation d'évolutions à accroissement constant

À propos de cette page

Ce devoir surveillé sur « Suites arithmétiques » en première permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : L'essentiel, Terme général d'une suite arithmétique, Sens de variation et représentation graphique, Somme de termes consécutifs. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en spécialité mathématiques.

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Devoir surveillé · Niveau difficile · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · 1ʳᵉ

Devoir surveillé – Suites arithmétiques

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Reconnaître et exprimer une suite arithmétique

(4 pts)

a)On considère la suite définie par $u_{0} = 14$ et $u_{n + 1} = u_{n} - 0, 7$ pour tout entier naturel $n$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b)Quelle est la nature de la suite $(u_{n})$ ? Préciser sa raison et son sens de variation.
c)Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
d)Calculer $u_{50}$ , puis déterminer le rang du premier terme strictement négatif.

Exercice 2 – Deux termes connus

(4 pts)

a)La suite $(u_{n})$ est arithmétique, avec $u_{4} = - 3$ et $u_{13} = 21$ . Déterminer sa raison.
b)Calculer $u_{0}$ .
c)Montrer que, pour tout $n$ , $u_{n} = \frac{8 n - 41}{3}$ .
d)Le nombre $101$ est-il un terme de la suite ? Et le nombre $100$ ?

Exercice 3 – Sommes

(4 pts)

a)Calculer $1 + 2 + \dots + 120$ .
b)En déduire $41 + 42 + \dots + 120$ .
c)Calculer la somme des multiples de 3 compris entre 3 et 150 (inclus).
d)Soit $u_{n} = 1 + 4 n$ et $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ . Montrer que $S_{n} = (n + 1) (2 n + 1)$ , puis déterminer $n$ tel que $S_{n} = 1 225$ .

Exercice 4 – Un entraînement progressif

(4 pts)

a)Une cycliste parcourt 12 km la première semaine, puis 1,8 km de plus chaque semaine. On note $d_{n}$ la distance (en km) parcourue la $n$ -ième semaine ( $n ⩾ 1$ ). Exprimer $d_{n}$ en fonction de $n$ .
b)À partir de quelle semaine parcourt-elle au moins 50 km ?
c)Calculer la distance totale parcourue au cours des semaines 1 à 23.

d)On considère la fonction ci-dessous. Quelle valeur renvoie-t-elle ? Que changerait la condition

d < = 50

def semaine():
    n = 1
    d = 12
    while d < 50:
        n = n + 1
        d = d + 1.8
    return n

Exercice 5 – Démontrer et corriger

(4 pts)

a)Démontrer que, pour tout entier $n ⩾ 1$ , $1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ .
b)Soit $u_{n} = (n + 4)^{2} - n^{2}$ pour tout entier naturel $n$ . Montrer que $(u_{n})$ est arithmétique ; préciser sa raison et son premier terme.
c)Un élève écrit : « $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{9} = 10 \times \frac{u_{0} + u_{10}}{2}$ ». Expliquer son erreur et calculer la somme correcte.
d)On pose $w_{n} = u_{2 n}$ . Montrer que $(w_{n})$ est arithmétique et préciser sa raison.

Bon courage !

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Voir le corrigé et le barème

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · 1ʳᵉ

Corrigé et barème – Suites arithmétiques

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Exercice 1 – Reconnaître et exprimer une suite arithmétique

(4 pts)

a) $u_{1} = 13, 3$ ; $u_{2} = 12, 6$ ; $u_{3} = 11, 9$ . (1)
b) $u_{n + 1} - u_{n} = - 0, 7$ constante : suite arithmétique de raison $- 0, 7$ ; $r < 0$ , donc strictement décroissante. (1)
c) $u_{n} = u_{0} + n r = 14 - 0, 7 n$ . (1)
d) $u_{50} = 14 - 35 = - 21$ . $14 - 0, 7 n < 0 ⟺ n > 20$ ; $u_{20} = 0$ n'est pas strictement négatif, donc le premier est $u_{21} = - 0, 7$ . (1)

Erreur fréquente — Quand le seuil est atteint exactement ( $u_{20} = 0$ ), l'inégalité stricte impose de passer au rang suivant.

Exercice 2 – Deux termes connus

(4 pts)

a) $u_{13} = u_{4} + 9 r$ : $21 = - 3 + 9 r$ , donc $r = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$ . (1)
b) $u_{0} = u_{4} - 4 r = - 3 - \frac{32}{3} = - \frac{41}{3}$ . (1)
c) $u_{n} = u_{0} + n r = - \frac{41}{3} + \frac{8 n}{3} = \frac{8 n - 41}{3}$ (contrôle : $u_{13} = \frac{63}{3} = 21$ ). (1)
d) $\frac{8 n - 41}{3} = 101 ⟺ 8 n = 344 ⟺ n = 43$ : oui, $u_{43} = 101$ . $\frac{8 n - 41}{3} = 100 ⟺ n = \frac{341}{8}$ , non entier : $100$ n'est pas un terme. (1)

À retenir — Une raison non entière n'a rien d'anormal : on garde les fractions exactes jusqu'au bout.

Exercice 3 – Sommes

(4 pts)

a) $\frac{120 \times 121}{2} = 7 260$ . (1)
b) $7 260 - (1 + \dots + 40) = 7 260 - 820 = 6 440$ (contrôle : $80 \times \frac{41 + 120}{2} = 6 440$ ). (1)
c) $3 + 6 + \dots + 150 = 3 (1 + \dots + 50) = 3 \times 1 275 = 3 825$ . (1)
d) $S_{n} = (n + 1) \frac{1 + 1 + 4 n}{2} = (n + 1) (2 n + 1)$ . $2 n^{2} + 3 n + 1 = 1 225 ⟺ 2 n^{2} + 3 n - 1 224 = 0$ , $Δ = 9 801 = 99^{2}$ , $n = \frac{- 3 + 99}{4} = 24$ (l'autre racine est négative) ; contrôle : $25 \times 49 = 1 225$ . (1)

Repère — Dans une somme, on compte toujours les termes par la formule $q - p + 1$ avant d'appliquer la moyenne du premier et du dernier.

Exercice 4 – Un entraînement progressif

(4 pts)

a)Suite arithmétique de raison 1,8 commençant au rang 1 : $d_{n} = 12 + 1, 8 (n - 1) = 10, 2 + 1, 8 n$ . (1)
b) $10, 2 + 1, 8 n ⩾ 50 ⟺ n ⩾ \frac{39, 8}{1, 8} \approx 22, 1$ ; $d_{22} = 49, 8$ et $d_{23} = 51, 6$ : à partir de la 23e semaine. (1)
c) $d_{23} = 51, 6$ ; 23 termes : $23 \times \frac{12 + 51, 6}{2} = 23 \times 31, 8 = 731, 4$ km. (1)
d)La boucle s'arrête au premier $d ⩾ 50$ : elle renvoie 23. Avec $d < = 50$ , elle chercherait $d > 50$ ; ici le résultat serait encore 23, car aucune semaine ne donne exactement 50 km. (1)

Le point clé — Une boucle de seuil traduit l'inéquation : la condition du while est la négation de ce que l'on cherche.

Exercice 5 – Démontrer et corriger

(4 pts)

a) $S = 1 + \dots + n$ et $S = n + \dots + 1$ ; en additionnant terme à terme, $n$ colonnes valant chacune $n + 1$ : $2 S = n (n + 1)$ , donc $S = \frac{n (n + 1)}{2}$ . (1)
b) $u_{n} = 8 n + 16$ , donc $u_{n + 1} - u_{n} = 8$ : arithmétique de raison $8$ , $u_{0} = 16$ . (1)
c)Le dernier terme de la somme est $u_{9}$ , pas $u_{10}$ (10 termes, de $u_{0}$ à $u_{9}$ ). $u_{9} = 88$ : somme $= 10 \times \frac{16 + 88}{2} = 520$ . (1)
d) $w_{n} = 8 (2 n) + 16 = 16 n + 16$ ; $w_{n + 1} - w_{n} = 16$ : arithmétique de raison $16 = 2 \times 8$ , $w_{0} = 16$ . (1)

Attention — Dans la formule de somme, le « dernier terme » est celui qui figure réellement dans la somme, et son rang fixe le nombre de termes.

Ce contrôle de spécialité mathématiques 1ʳᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Suites arithmétiques » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Reconnaître et exprimer une suite arithmétique/ 4 pts
Exercice 2 — Deux termes connus/ 4 pts
Exercice 3 — Sommes/ 4 pts
Exercice 4 — Un entraînement progressif/ 4 pts
Exercice 5 — Démontrer et corriger/ 4 pts

Notions évaluées

L'essentiel, Terme général d'une suite arithmétique, Sens de variation et représentation graphique, Somme de termes consécutifs, Modéliser une évolution à accroissement constant, Méthodes.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Suites arithmétiques » ?: 120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Suites arithmétiques » du programme officiel de spécialité mathématiques en première, soit L'essentiel, Terme général d'une suite arithmétique, Sens de variation et représentation graphique, Somme de termes consécutifs.

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