Comment reconnaître une suite géométrique ?

Une suite est géométrique si l'on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, appelé raison : u(n+1) = q × u(n) pour tout n. Si aucun terme n'est nul, cela revient à montrer que le quotient u(n+1)/u(n) est constant. Pour prouver qu'une suite n'est pas géométrique, un contre-exemple sur trois termes consécutifs suffit.

Quelle est la formule du terme général d'une suite géométrique ?

Si (u(n)) est géométrique de raison q, alors u(n) = u(0) × qⁿ pour tout entier n. Plus généralement, u(n) = u(p) × q^(n−p) pour tous entiers n et p ; si la suite commence à u(1), on écrit u(n) = u(1) × q^(n−1).

Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?

Pour q ≠ 1, on a 1 + q + … + qⁿ = (1 − q^(n+1)) / (1 − q). Pour des termes consécutifs quelconques, la somme vaut : premier terme × (1 − q^(nombre de termes)) / (1 − q). Il faut bien compter les termes : de u(p) à u(n), il y en a n − p + 1.

Quelle différence entre suite arithmétique et suite géométrique ?

Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours le même nombre (la raison r) ; dans une suite géométrique, on multiplie toujours par le même nombre (la raison q). Une évolution de + 50 unités par an est arithmétique, une évolution de + 5 % par an est géométrique.

Pourquoi une évolution à taux constant donne-t-elle une suite géométrique ?

Augmenter une grandeur de t % revient à la multiplier par 1 + t/100, et la diminuer de t % à la multiplier par 1 − t/100. Si ce taux est le même à chaque période, on multiplie toujours par le même coefficient : les valeurs successives forment une suite géométrique de raison ce coefficient.

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Suites géométriques

Définition par récurrence, raison, terme général u(n) = u(0) × qⁿ, sens de variation selon q (q > 0), somme 1 + q + … + qⁿ et somme de termes consécutifs, comportement de qⁿ (approche intuitive), modélisation d'évolutions à taux constant

À propos de cette page

Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Suites géométriques » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Reconnaître une suite géométrique, Terme général et raison, Sens de variation et comportement de qⁿ. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.

L'essentiel

Définition. Une suite

(u_{n})

est géométrique s'il existe un réel

q

, appelé raison, tel que pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = q \times u_{n}

. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

Terme général. Pour tout

n

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

. Plus généralement, pour tous entiers

n

p

u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}

Somme. Pour

q \neq 1

1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

Exemple.

u_{0} = 3

q = 2

u_{1} = 6

u_{2} = 12

u_{3} = 24

; et directement

u_{10} = 3 \times 2^{10} = 3 072

Reconnaître une suite géométrique

Trois façons de prouver qu'une suite est géométrique.

Relation de récurrence : on établit $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ pour tout $n$ , avec $q$ indépendant de $n$ .
Formule explicite : on calcule $u_{n + 1}$ et on fait apparaître $u_{n}$ en facteur.
Quotient (si aucun terme n'est nul) : on montre que $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ est une constante.

Exemple.

w_{n} = 4 \times 3^{n + 1}

. Pour tout

n

w_{n + 1} = 4 \times 3^{n + 2} = 3 \times (4 \times 3^{n + 1}) = 3 w_{n}

. Donc

(w_{n})

est géométrique de raison

3

et de premier terme

w_{0} = 12

Prouver qu'une suite n'est pas géométrique. Un contre-exemple suffit : trois termes consécutifs dont les quotients diffèrent.

Exemple.

t_{n} = n^{2} + 1

t_{0} = 1

t_{1} = 2

t_{2} = 5

. Or

\frac{t_{1}}{t_{0}} = 2

\frac{t_{2}}{t_{1}} = 2, 5

: la suite n'est pas géométrique.

Astuce. Trois nombres non nuls

a

b

c

sont des termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si

b^{2} = a c

Terme général et raison

Propriété. Si

(u_{n})

est géométrique de raison

q

: pour tout

n

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

; pour tous entiers

n

p

u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}

. Si la suite commence à

u_{1}

u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1}

Exemple. Raison

0, 5

u_{4} = 80

u_{7} = u_{4} \times 0, 5^{3} = 80 \times 0, 125 = 10

Retrouver la raison.

u_{2} = 18

u_{5} = 486

u_{5} = u_{2} \times q^{3}

, donc

q^{3} = \frac{486}{18} = 27

q = 3

. Puis

u_{0} = \frac{u_{2}}{q^{2}} = \frac{18}{9} = 2

, d'où

u_{n} = 2 \times 3^{n}

Attention. Si les deux termes connus ont des indices dont l'écart est pair, l'équation (par exemple

q^{2} = 9

) a deux solutions opposées : il faut une information sur le signe de

q

pour conclure.

Sens de variation et comportement de qⁿ

Propriété (cas $q > 0$ ). Soit

(u_{n})

géométrique de premier terme

u_{0} > 0

et de raison

q > 0

si $q > 1$ , $(u_{n})$ est strictement croissante ;
si $q = 1$ , $(u_{n})$ est constante ;
si $0 < q < 1$ , $(u_{n})$ est strictement décroissante.

u_{0} < 0

, les sens de variation sont inversés.

Pourquoi.

u_{n + 1} - u_{n} = q u_{n} - u_{n} = u_{0} q^{n} (q - 1)

. Comme

q^{n} > 0

, le signe de la différence est celui de

u_{0} (q - 1)

.
Exemple.

u_{0} = - 2

q = 1, 5

u_{0} (q - 1) = - 1 < 0

, la suite est strictement décroissante (

- 2

;

- 3

;

- 4, 5

; …).

Raison négative. Si

q < 0

, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n'est ni croissante ni décroissante.

Comportement de $q^{n}$ (approche intuitive). Lorsque

n

devient très grand :

si $q > 1$ , $q^{n}$ devient aussi grand que l'on veut ;
si $q = 1$ , $q^{n} = 1$ pour tout $n$ ;
si $- 1 < q < 1$ , $q^{n}$ se rapproche de $0$ (en changeant de signe si $q < 0$ ).

$n$	$10$	$50$
$1, 1^{n}$	≈ 2,594	≈ 117,4
$0, 9^{n}$	≈ 0,349	≈ 0,005

Pour la suite. Les termes

1, 1^{n}

sont les points d'abscisse entière de la courbe de

x \mapsto 1, 1^{x}

. Ces fonctions, dites exponentielles, seront étudiées dans le chapitre « Fonction exponentielle ».

Somme de termes consécutifs

Propriété. Pour tout réel

q \neq 1

et tout entier naturel

n

1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} .

Démonstration (à savoir refaire). Notons

S = 1 + q + \dots + q^{n}

. Alors

q S = q + q^{2} + \dots + q^{n + 1}

. En soustrayant, tous les termes intermédiaires disparaissent :

S - q S = 1 - q^{n + 1}

, soit

(1 - q) S = 1 - q^{n + 1}

. Comme

q \neq 1

, on a

1 - q \neq 0

et on peut diviser :

S = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

Somme de termes consécutifs. Pour une suite géométrique de raison

q \neq 1

S = premier terme \times \frac{1 - q^{nombre de termes}}{1 - q} .

u_{p}

u_{n}

(

p \leq n

), il y a

n - p + 1

termes. Si

q = 1

, la somme vaut (nombre de termes) × (premier terme).

Exemple.

u_{0} = 3

q = 2

u_{0} + u_{1} + \dots + u_{9} = 3 \times \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 3 \times 1 023 = 3 069

(10 termes).

Évolutions à taux constant

Taux constant. Une grandeur qui augmente de

t %

à chaque période est multipliée par

1 + \frac{t}{100}

; si elle diminue de

t %

, elle est multipliée par

1 - \frac{t}{100}

. Ses valeurs successives forment une suite géométrique dont la raison est ce coefficient multiplicateur.

Exemple. Une ville compte 12 000 habitants et gagne 2,5 % par an. En notant

P_{n}

sa population dans

n

années :

P_{n + 1} = 1, 025 P_{n}

, donc

P_{n} = 12 000 \times 1, 025^{n}

P_{10} \approx 15 361

habitants.

Taux global. Sur

n

périodes au taux

t %

, le coefficient multiplicateur global vaut

{(1 + \frac{t}{100})}^{n}

: les taux ne s'additionnent pas, les coefficients se multiplient.

Exemple. Une baisse de 4 % par an pendant 5 ans :

0, 96^{5} \approx 0, 815

, soit une baisse globale d'environ

18, 5 %

, et non de

20 %

Vocabulaire. On parle de croissance ou de décroissance exponentielle : la variation d'une période à la suivante est proportionnelle à la valeur atteinte.

Méthodes

Méthode 1 — Montrer qu'une suite auxiliaire est géométrique

Écrire $v_{n + 1}$ à l'aide de la définition de $v$ .
Remplacer $u_{n + 1}$ par son expression en fonction de $u_{n}$ .
Factoriser pour obtenir $v_{n + 1} = q v_{n}$ , avec $q$ indépendant de $n$ .
Conclure (raison, premier terme), puis revenir à $u_{n}$ .

Exemple rédigé.

u_{0} = 10

u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 2

; on pose

v_{n} = u_{n} - 4

. Pour tout

n

v_{n + 1} = u_{n + 1} - 4 = 0, 5 u_{n} - 2 = 0, 5 (u_{n} - 4) = 0, 5 v_{n}

. Donc

(v_{n})

est géométrique de raison

0, 5

et de premier terme

v_{0} = 6

. Ainsi

v_{n} = 6 \times 0, 5^{n}

u_{n} = v_{n} + 4 = 4 + 6 \times 0, 5^{n}

Méthode 2 — Calculer une somme de termes consécutifs

Identifier le premier terme et la raison $q$ .
Compter les termes (écart des indices + 1).
Appliquer : premier terme $\times \frac{1 - q^{nb termes}}{1 - q}$ .
Contrôler l'ordre de grandeur.

Exemple rédigé.

S = 5 + 15 + 45 + \dots + 3 645

. On multiplie par

3

à chaque fois : premier terme

5

, raison

3

. Comme

3 645 = 5 \times 729 = 5 \times 3^{6}

, les termes sont

5 \times 3^{k}

pour

k

0

6

: il y en a

7

. Donc

S = 5 \times \frac{1 - 3^{7}}{1 - 3} = 5 \times \frac{- 2 186}{- 2} = 5 465

Méthode 3 — Déterminer un seuil

Traduire la question par une inégalité sur $u_{n}$ .
Justifier que le seuil sera franchi (comportement de $q^{n}$ ).
Chercher le rang à la calculatrice (table de valeurs) ou avec un programme Python utilisant une boucle while.
Conclure en donnant les deux valeurs qui encadrent le seuil.

Exemple rédigé. À partir de quelle année une somme placée à 4 % par an a-t-elle doublé ? On cherche le plus petit

n

tel que

1, 04^{n} \geq 2

. Comme

1, 04 > 1

1, 04^{n}

devient aussi grand que l'on veut : ce rang existe.

def seuil():
    n = 0
    u = 1
    while u < 2:
        u = u * 1.04
        n = n + 1
    return n

La fonction renvoie

18

: en effet

1, 04^{17} \approx 1, 948 < 2

1, 04^{18} \approx 2, 026 \geq 2

. La somme a doublé au bout de 18 ans.

Pièges et erreurs classiques

Ajouter au lieu de multiplier. Une suite géométrique multiplie par

q

; ajouter une constante, c'est le cas arithmétique.

Mauvais compte de termes. De

u_{0}

u_{n}

il y a

n + 1

termes, de

u_{p}

u_{n}

il y en a

n - p + 1

: c'est ce nombre qui figure en exposant dans la formule de la somme.

Premier terme $u_{1}$ . Si la suite commence à

u_{1}

, alors

u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1}

, et non

u_{1} \times q^{n}

Additionner des taux. Trois hausses successives de 10 % ne font pas 30 % :

1, 1^{3} = 1, 331

, soit une hausse de

33, 1 %

Parenthèses et signe.

(- 2)^{4} = 16

mais

- 2^{4} = - 16

. Et une suite de raison négative n'est jamais monotone.

Quotient $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ . Il n'a de sens que si aucun terme n'est nul, et le calculer pour deux ou trois valeurs de

n

ne prouve rien : il faut l'établir pour tout

n

En bref

Suite géométrique : $u_{n + 1} = q u_{n}$ ; $u_{n} = u_{0} q^{n} = u_{p} q^{n - p}$ .
Variations ( $u_{0} > 0$ , $q > 0$ ) : croissante si $q > 1$ , décroissante si $0 < q < 1$ ; sens inversés si $u_{0} < 0$ ; pas de monotonie si $q < 0$ .
$q^{n}$ devient aussi grand que l'on veut si $q > 1$ et se rapproche de $0$ si $- 1 < q < 1$ .
$1 + q + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ ( $q \neq 1$ ) ; somme de termes consécutifs = premier terme $\times \frac{1 - q^{nb termes}}{1 - q}$ .
Évolution de $t %$ par période : raison $1 \pm \frac{t}{100}$ ; les taux ne s'additionnent pas, les coefficients se multiplient.

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