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Suites géométriques

Définition par récurrence, raison, terme général u(n) = u(0) × qⁿ, sens de variation selon q (q > 0), somme 1 + q + … + qⁿ et somme de termes consécutifs, comportement de qⁿ (approche intuitive), modélisation d'évolutions à taux constant

À propos de cette page

Ce QCM sur « Suites géométriques » en première teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de première. Au programme : L'essentiel, Reconnaître une suite géométrique, Terme général et raison, Sens de variation et comportement de qⁿ. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en première.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

La suite définie par $u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = 6 u_{n}$ pour tout entier $n$ est :
- A. arithmétique de raison 6
- B. géométrique de raison 6
- C. géométrique de raison 4
- D. ni arithmétique, ni géométrique
Réponse
B. géométrique de raison 6 — On multiplie chaque terme par 6 pour obtenir le suivant : la suite est géométrique de raison 6 et de premier terme 4.
Si $(u_{n})$ est géométrique de premier terme $u_{0}$ et de raison $q$ , alors pour tout $n$ :
- A. $u_{n} = u_{0} + n q$
- B. $u_{n} = u_{0} \times q^{n + 1}$
- C. $u_{n} = q \times u_{0}^{n}$
- D. $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$
Réponse
D. $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ — Pour aller de $u_{0}$ à $u_{n}$ , on multiplie $n$ fois par $q$ : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ . La formule $u_{0} + n q$ ressemble à celle d'une suite arithmétique.
Une quantité augmente de 7 % chaque année. D'une année à la suivante, elle est multipliée par :
- A. 1,007
- B. 1,7
- C. 1,07
- D. 0,07
Réponse
C. 1,07 — Augmenter de 7 %, c'est multiplier par $1 + \frac{7}{100} = 1, 07$ .
Une quantité diminue de 20 % par an. Son coefficient multiplicateur annuel vaut :
- A. 0,8
- B. 0,2
- C. 1,2
- D. −0,2
Réponse
A. 0,8 — Diminuer de 20 %, c'est multiplier par $1 - \frac{20}{100} = 0, 8$ .
$(u_{n})$ est géométrique de raison 3 et $u_{2} = 10$ . Alors $u_{3}$ vaut :
- A. 13
- B. 30
- C. 90
- D. $\frac{10}{3}$
Réponse
B. 30 — $u_{3} = q \times u_{2} = 3 \times 10 = 30$ . La réponse 13 correspond à une suite arithmétique de raison 3.
Si $q > 1$ , lorsque $n$ devient très grand, $q^{n}$ :
- A. se rapproche de 0
- B. reste égal à $q$
- C. devient aussi grand que l'on veut
- D. se rapproche de 1
Réponse
C. devient aussi grand que l'on veut — Pour $q > 1$ , on multiplie sans cesse par un nombre supérieur à 1 : $q^{n}$ devient aussi grand que l'on veut.
Pour $q \neq 1$ , la somme $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}$ est égale à :
- A. $\frac{1 - q^{n}}{1 - q}$
- B. $\frac{1 - q^{n + 1}}{1 + q^{n}}$
- C. $\frac{q^{n + 1}}{1 - q}$
- D. $\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$
Réponse
D. $\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ — La somme compte $n + 1$ termes, d'où l'exposant $n + 1$ : $\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ .
Une suite géométrique de premier terme $u_{0} = 5$ et de raison $0, 4$ est :
- A. strictement décroissante
- B. strictement croissante
- C. constante
- D. ni croissante, ni décroissante
Réponse
A. strictement décroissante — $u_{0} > 0$ et $0 < q < 1$ : chaque terme est plus petit que le précédent, la suite est strictement décroissante.

Niveau moyen — 8 questions

$(u_{n})$ est géométrique avec $u_{0} = 0, 5$ et $q = 4$ . Alors $u_{5}$ vaut :
- A. 10,5
- B. 256
- C. 512
- D. 2 048
Réponse
C. 512 — $u_{5} = 0, 5 \times 4^{5} = 0, 5 \times 1 024 = 512$ . 256 est $u_{4}$ et 2 048 est $u_{6}$ : attention à l'exposant.
$(u_{n})$ est géométrique de raison positive, avec $u_{3} = 54$ et $u_{5} = 6$ . Sa raison vaut :
- A. $\frac{1}{3}$
- B. $- \frac{1}{3}$
- C. $3$
- D. $\frac{1}{9}$
Réponse
A. $\frac{1}{3}$ — $u_{5} = u_{3} \times q^{2}$ , donc $q^{2} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9}$ . Comme $q > 0$ , $q = \frac{1}{3}$ .
La somme $1 + 6 + 6^{2} + \dots + 6^{5}$ vaut :
- A. 1 555
- B. 7 776
- C. 46 655
- D. 9 331
Réponse
D. 9 331 — Il y a 6 termes : $\frac{6^{6} - 1}{6 - 1} = \frac{46 655}{5} = 9 331$ .
Un prix augmente de 25 %, puis baisse de 20 %. Au total, ce prix :
- A. baisse de 5 %
- B. ne change pas
- C. augmente de 5 %
- D. baisse de 0,5 %
Réponse
B. ne change pas — Le coefficient global vaut $1, 25 \times 0, 8 = 1$ : le prix revient exactement à sa valeur initiale.
Un capital de 2 000 € est placé à 3 % par an, à intérêts composés. Au bout de $n$ années, il vaut :
- A. $2000 \times 1, 03^{n}$
- B. $2000 \times (1 + 0, 03 n)$
- C. $2000 \times 1, 3^{n}$
- D. $2000 \times 0, 03^{n}$
Réponse
A. $2000 \times 1, 03^{n}$ — Chaque année, le capital est multiplié par $1, 03$ : suite géométrique de raison $1, 03$ , d'où $2000 \times 1, 03^{n}$ .
Combien de termes compte la somme $u_{4} + u_{5} + \dots + u_{15}$ ?
- A. 11
- B. 15
- C. 12
- D. 16
Réponse
C. 12 — De $u_{4}$ à $u_{15}$ , il y a $15 - 4 + 1 = 12$ termes.
Pour $v_{n} = 3 \times 0, 8^{n}$ , lorsque $n$ devient très grand, $v_{n}$ :
- A. se rapproche de 3
- B. se rapproche de 0
- C. se rapproche de 0,8
- D. devient très grand
Réponse
B. se rapproche de 0 — Comme $0 < 0, 8 < 1$ , $0, 8^{n}$ se rapproche de 0, donc $v_{n}$ aussi.
La somme $4 + 4 \times 3 + 4 \times 3^{2} + \dots + 4 \times 3^{5}$ vaut :
- A. 2 912
- B. 972
- C. 484
- D. 1 456
Réponse
D. 1 456 — 6 termes, premier terme 4, raison 3 : $4 \times \frac{3^{6} - 1}{3 - 1} = 4 \times \frac{728}{2} = 1 456$ .

Niveau difficile — 8 questions

Laquelle de ces suites est géométrique ?
- A. $u_{n} = n^{3}$
- B. $u_{n} = 3 n + 2$
- C. $u_{n} = 2^{n} + 1$
- D. $u_{n} = \frac{5}{4^{n}}$
Réponse
D. $u_{n} = \frac{5}{4^{n}}$ — $\frac{5}{4^{n + 1}} = \frac{1}{4} \times \frac{5}{4^{n}}$ : raison $\frac{1}{4}$ . Pour $2^{n} + 1$ : 2, 3, 5 n'ont pas un quotient constant.
La suite géométrique de premier terme $u_{0} = 4$ et de raison $- 1, 5$ est :
- A. strictement croissante
- B. ni croissante, ni décroissante
- C. strictement décroissante
- D. constante à partir d'un rang
Réponse
B. ni croissante, ni décroissante — Les termes 4, −6, 9, … changent de signe à chaque rang : la suite n'est pas monotone.
Une grandeur baisse de 30 % par an. Sur deux ans, sa baisse globale est de :
- A. 51 %
- B. 60 %
- C. 49 %
- D. 30 %
Réponse
A. 51 % — $0, 7^{2} = 0, 49$ : il reste 49 % de la valeur, donc la baisse est de 51 %, pas de 60 %.
Si $u_{0} < 0$ et $0 < q < 1$ , la suite géométrique $(u_{n})$ est :
- A. strictement décroissante
- B. constante
- C. strictement croissante
- D. de signe alterné
Réponse
C. strictement croissante — $u_{n + 1} - u_{n} = u_{0} q^{n} (q - 1)$ : produit d'un négatif, d'un positif et d'un négatif, donc positif. La suite est croissante.
Pour $q = 1$ , la somme $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}$ vaut :
- A. 0
- B. $n$
- C. $n + 1$
- D. non définie
Réponse
C. $n + 1$ — La formule ne s'applique pas, mais la somme existe : $n + 1$ termes égaux à 1, soit $n + 1$ .
Pour $q = - 0, 6$ , lorsque $n$ devient très grand, $q^{n}$ :
- A. se rapproche de 0
- B. devient très négatif
- C. vaut tour à tour 0,6 et −0,6
- D. se rapproche de −0,6
Réponse
A. se rapproche de 0 — Comme $- 1 < q < 1$ , $q^{n}$ se rapproche de 0, en changeant de signe à chaque rang.
Une suite géométrique de raison $q$ a pour premier terme $u_{1}$ . Pour tout $n \geq 1$ :
- A. $u_{n} = u_{1} \times q^{n}$
- B. $u_{n} = u_{1} \times q^{n + 1}$
- C. $u_{n} = u_{1} + q^{n - 1}$
- D. $u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1}$
Réponse
D. $u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1}$ — De $u_{1}$ à $u_{n}$ , on multiplie $n - 1$ fois par $q$ : $u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1}$ .
Les nombres 12, $x$ et 27 (avec $x > 0$ ) sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique. Alors :
- A. $x = 19, 5$
- B. $x = 18$
- C. $x = 15$
- D. $x = 20$
Réponse
B. $x = 18$ — $\frac{x}{12} = \frac{27}{x}$ donne $x^{2} = 324$ , donc $x = 18$ . 19,5 est la moyenne arithmétique, qui correspond au cas arithmétique.

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