Devoir surveillé : Opérations, division euclidienne et divisibilité

1. a)On pose l'addition : $6+7=13$, j'écris $3$ et je retiens $1$ ; $8+5+1=14$, j'écris $4$ et je retiens $1$ ; $3+4+1=8$. La somme vaut $386+457=843$. (1 pt : 0,5 pose + 0,5 résultat) (1)
2. b)On pose la soustraction : $14-8=6$ (retenue) ; $10-8=2$ (retenue) ; $12-6=6$ (retenue) ; $1-1=0$. La différence vaut $1204-578=626$. Vérification : $578+626=1204$. (1 pt : 0,5 pose + 0,5 résultat) (1)
3. c)$64\times 7=448$ ; $64\times 30=1920$ ; $448+1920=2368$. Le produit vaut $2368$. Contrôle : $60\times 40=2400$, ordre de grandeur cohérent. (1 pt : 0,5 pose + 0,5 résultat) (1)
4. d)Oui pour les deux. Par $7$ : dividende $58$, diviseur $7$, quotient $8$, reste $2$, et $2<7$. Par $8$ : $58=8\times 7+2$ (on peut échanger les facteurs), dividende $58$, diviseur $8$, quotient $7$, reste $2$, et $2<8$. (1 pt : 0,5 par division) (1)

Erreur fréquente — une égalité $a=b\times q+r$ ne traduit la division euclidienne de $a$ par $b$ que si le reste $r$ est plus petit que $b$ ; ici $2$ est plus petit que $7$ et que $8$, donc les deux lectures sont justes.

1. a)$51÷6$ : $8$ fois, reste $3$ ; on abaisse le $7$ : $37÷6$ : $6$ fois, reste $1$. Quotient $86$, reste $1$ : $517=6\times 86+1$ avec $1<6$. (1 pt : 0,5 quotient + 0,5 reste et égalité) (1)
2. b)$9÷8$ : $1$ fois, reste $1$ ; $14÷8$ : $1$ fois, reste $6$ ; $63÷8$ : $7$ fois, reste $7$. Quotient $117$, reste $7$ : $943=8\times 117+7$ avec $7<8$. (1 pt : 0,5 quotient + 0,5 reste et égalité) (1)
3. c)$13÷7$ : $1$ fois, reste $6$ ; $65÷7$ : $9$ fois, reste $2$ ; $28÷7$ : $4$ fois, reste $0$. Quotient $194$, reste $0$ : $1358=7\times 194$. La division est exacte : $1358$ est un multiple de $7$. (1 pt : 0,5 quotient + 0,5 reste et égalité) (1)
4. d)$26÷12$ : $2$ fois, reste $2$ ; $20÷12$ : $1$ fois, reste $8$ ; $85÷12$ : $7$ fois, reste $1$. Quotient $217$, reste $1$ : $2605=12\times 217+1$ avec $1<12$. (1 pt : 0,5 quotient + 0,5 reste et égalité) (1)

Méthode — après chaque étape, on vérifie que le reste partiel est plus petit que le diviseur ; sinon, le chiffre écrit au quotient est trop petit. Un reste final nul signifie que la division est exacte.

1. a)Dernier chiffre $0$ : divisible par $2$, $5$ et $10$. Somme des chiffres $2+7+0=9$ : divisible par $3$ et par $9$. $70$ n'est pas un multiple de $4$ ($4\times 17=68$, $4\times 18=72$) : pas divisible par $4$. (1 pt) (1)
2. b)Dernier chiffre $5$ : divisible par $5$ ; nombre impair, donc pas divisible par $2$, ni par $4$, ni par $10$. Somme $1+0+3+5=9$ : divisible par $3$ et par $9$. (1 pt) (1)
3. c)Dernier chiffre $8$ : divisible par $2$, pas par $5$ ni par $10$. $68=4\times 17$ : divisible par $4$. Somme $4+6+8=18$ : divisible par $3$ et par $9$. (1 pt) (1)
4. d)Dernier chiffre $2$ : divisible par $2$, pas par $5$ ni par $10$. $12=4\times 3$ : divisible par $4$. Somme $7+2+1+2=12$ : divisible par $3$, mais pas par $9$ car $12$ n'est pas un multiple de $9$. (1 pt) (1)

Piège — le critère de $4$ porte sur le nombre formé par les deux derniers chiffres, pas sur le dernier chiffre seul : $270$ se termine par $0$ et pourtant il n'est pas divisible par $4$.

1. a)On regroupe $5\times 20=100$ (on peut changer l'ordre et regrouper les facteurs) : $5\times 86\times 20=86\times 100=8600$. (1 pt : 0,5 regroupement + 0,5 résultat) (1)
2. b)On regroupe les termes qui se complètent : $(367+33)+(145+55)=400+200=600$. (1 pt : 0,5 regroupement + 0,5 résultat) (1)
3. c)$48\times 11=48\times 10+48=480+48=528$. (1 pt : 0,5 méthode + 0,5 résultat) (1)
4. d)$398\times 51\approx 400\times 50=20000$ (0,5 pt). La somme des chiffres de $51$ est $6$, donc $51=3\times 17$ ; ainsi $398\times 51=398\times 3\times 17$ est un multiple de $3$ (0,5 pt). Le produit exact, $20298$, a bien une somme des chiffres égale à $21$, multiple de $3$. (1)

Astuce — on cherche d'abord les paires qui donnent $10$, $100$ ou $1000$ ; et si l'un des facteurs est divisible par $3$, tout le produit l'est, sans rien calculer.

1. a)Les deux derniers chiffres forment $48=4\times 12$, donc $348$ est divisible par $4$ : c'est possible (0,5 pt). $348÷4=87$, car $4\times 87=348$ : on obtient $87$ sachets (0,5 pt). (1)
2. b)$3+4+8=15$ n'est pas un multiple de $9$ : c'est impossible sans reste (0,5 pt). $348=9\times 38+6$ avec $6<9$ : $38$ sachets complets et $6$ cookies restants (0,5 pt). (1)
3. c)Recette : $87\times 3=261$ € (0,5 pt). Bénéfice : $261-94=167$ € (0,5 pt). (1)
4. d)$510=4\times 127+2$ (0,5 pt) : $127$ sachets ne contiennent que $508$ cookies, c'est trop peu ; il faut $128$ sachets, soit $512$ cookies (0,5 pt). (1)

Piège — le quotient ne répond pas toujours seul à la question : quand il reste des cookies à loger pour atteindre l'objectif, il faut un sachet de plus que le quotient.

1. a)Vrai. $36=4\times 9$, donc $2436$ est divisible par $4$ (0,5 pt) ; $2+4+3+6=15$, multiple de $3$, donc $2436$ est divisible par $3$ (0,5 pt). (1)
2. b)Faux. L'égalité est juste ($9\times 51=459$ et $459+16=475$), mais le reste $16$ n'est pas plus petit que $9$ (0,5 pt). Comme $16=9+7$ : $475=9\times 52+7$, quotient $52$, reste $7$ (0,5 pt). (1)
3. c)Faux. $1000-437=563$ (0,5 pt) ; $5+6+3=14$ n'est pas un multiple de $9$, donc $563$ n'est pas divisible par $9$ (en effet $563=9\times 62+5$) (0,5 pt). (1)
4. d)Vrai. $36=9\times 4$, donc $125\times 36=125\times 4\times 9=500\times 9$ : c'est un multiple de $9$ (0,5 pt). Vérification : $125\times 36=4500$ et $4+5+0+0=9$ (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — une égalité juste ne suffit pas pour avoir une division euclidienne : il faut aussi que le reste soit strictement plus petit que le diviseur.

1. a)$3027-1389=1638$ ; vérification : $1389+1638=3027$ (0,5 pt). $1+6+3+8=18$, multiple de $9$ : oui, $1638$ est divisible par $9$ (0,5 pt). (1)
2. b)$286\times 5=1430$ ; $286\times 40=11440$ ; $1430+11440=12870$ (0,5 pt). $45=5\times 9$, donc $286\times 45$ est un multiple de $5$ et de $9$ ; les critères le confirment : dernier chiffre $0$ et somme $1+2+8+7+0=18$ (0,5 pt). (1)
3. c)$12900=12870+30=45\times 286+30$ (0,5 pt) et $30<45$ : quotient $286$, reste $30$ (0,5 pt). (1)
4. d)$12920=45\times 286+50$, mais $50>45$ : ce n'est pas encore la division euclidienne (0,5 pt). $50=45+5$, donc $12920=45\times 287+5$ avec $5<45$ : quotient $287$, reste $5$ (0,5 pt). (1)

Méthode — une multiplication déjà faite donne des divisions sans effort : on écrit le nombre comme le multiple connu plus un petit écart, puis on vérifie que cet écart est plus petit que le diviseur.

1. a)Somme des chiffres : $4+◻+6=10+◻$, comprise entre $10$ et $19$ (0,5 pt). Les multiples de $3$ de cet intervalle sont $12$, $15$ et $18$, donc $◻=2$, $5$ ou $8$ : $426$, $456$, $486$ (0,5 pt). (1)
2. b)Somme des chiffres : $2+◻+3+5=10+◻$, comprise entre $10$ et $19$ (0,5 pt). Le seul multiple de $9$ de cet intervalle est $18$, donc $◻=8$ : $2835$ (0,5 pt). (1)
3. c)Par $4$ : le nombre $3◻$ doit être un multiple de $4$, soit $32$ ou $36$, donc $◻=2$ ou $6$ (0,5 pt). Par $3$ : $7+3+2=12$ convient, $7+3+6=16$ ne convient pas. Seule solution : $732$ (0,5 pt). (1)
4. d)Le nombre s'écrit $7\times q+4$ et il est compris entre $50$ et $59$ (0,5 pt). $7\times 6+4=46$ est trop petit, $7\times 7+4=53$ convient, $7\times 8+4=60$ est trop grand. Donc $◻=3$ (0,5 pt). (1)

Méthode — avec un chiffre inconnu, on encadre la somme des chiffres (le chiffre va de $0$ à $9$), puis on liste les multiples présents dans cet intervalle : on est sûr de n'oublier aucune solution.

1. a)$1000=999+1=37\times 27+1$ avec $1<37$ : quotient $27$, reste $1$ (0,5 pt). $1100=999+101$ et $101=37\times 2+27$, donc $1100=37\times 29+27$ avec $27<37$ : quotient $29$, reste $27$ (0,5 pt). (1)
2. b)Le reste est plus petit que $15$ : le plus grand possible est $14$ (0,5 pt). Dividende : $15\times 23+14=345+14=359$ (0,5 pt). (1)
3. c)$a=408+30=438$. Comme $30>17$, Tom a tort : $30=17+13$, donc $a=17\times 25+13$, quotient $25$, reste $13$ (0,5 pt). Par $24$ : $30=24+6$, donc $a=24\times 18+6$, quotient $18$, reste $6$ (0,5 pt). (1)
4. d)$6000÷30=200$ : le quotient est proche de $200$ (0,5 pt). $29\times 207=5800+203=6003$ et $29\times 208=6032$, donc $6003\le 6012<6032$ : quotient $207$, reste $6012-6003=9$ (0,5 pt). (1)

Piège — quand on ajoute un nombre à un multiple connu, le nouveau reste peut dépasser le diviseur : il faut alors ajouter une ou plusieurs unités au quotient.

1. a)$27+29=56$ et $56+28=84$ élèves (0,5 pt) ; $84+7=91$ personnes (0,5 pt). (1)
2. b)$91=9\times 10+1$ avec $1<9$ : $10$ minibus pleins laissent $1$ personne sans place, il faut donc $11$ minibus (0,5 pt). Places : $11\times 9=99$ ; $99-91=8$ places vides (0,5 pt). (1)
3. c)Entrées : $84\times 14=840+336=1176$ € ; minibus : $11\times 115=1265$ € (0,5 pt). Total : $1176+1265=2441$ €. Contrôle : $80\times 15+10\times 100=2200$, ordre de grandeur cohérent (0,5 pt). (1)
4. d)On divise $2441$ par $84$ : $84\times 29=2520-84=2436$ et $84\times 30=2520>2441$ (0,5 pt). $2441=84\times 29+5$ : chaque famille paie $29$ € et le collège paie $5$ € (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — on applique la même règle à toutes les questions sans lire la situation : pour les minibus, la personne restante impose un véhicule de plus ; pour les familles, on garde le quotient et le reste revient au collège.

1. a)$2346=2\times 1173$ (nombre pair) et $5675=5\times 1135$ (dernier chiffre $5$), donc le produit vaut $10\times 1173\times 1135$ : c'est un multiple de $10$, il se termine par $0$ (0,5 pt). Or $13313551$ se termine par $1$ : l'égalité est fausse (0,5 pt). Le vrai produit est $13313550$. (1)
2. b)$7<9$, donc $A=9\times 358+7$ est déjà l'égalité de la division : quotient $358$, reste $7$ (0,5 pt). Pour $B$, $13>9$ et $13=9+4$, donc $B=9\times 359+4$ : quotient $359$, reste $4$ (0,5 pt). (1)
3. c)La somme des chiffres vaut $9$ : oui, $111111111=9\times k$ pour un entier $k$ (en fait $k=12345679$) (0,5 pt). Alors $111111111\times 4=9\times k\times 4=36\times k$ : c'est un multiple de $36$ (0,5 pt). (1)

Astuce — pour montrer qu'un produit est un multiple d'un nombre, on fait apparaître ce nombre comme facteur en décomposant chaque facteur ; aucun grand calcul n'est nécessaire.

1. a)$7048\times 9=63432$ ; $7048\times 300=2114400$ ; $63432+2114400=2177832$ (0,5 pt). Contrôle : $7000\times 300=2100000$, ordre de grandeur cohérent (0,5 pt). (1)
2. b)$3+0+9=12$ : $309$ est un multiple de $3$ ; $48=4\times 12$ : $7048$ est un multiple de $4$. Le produit contient donc les facteurs $3$ et $4$ (0,5 pt). Vérification : $2+1+7+7+8+3+2=30$, multiple de $3$ ; $32=4\times 8$, multiple de $4$ (0,5 pt). (1)
3. c)$50÷47$ : $1$ fois, reste $3$ ; $30÷47$ : $0$ fois, reste $30$ ; $300÷47$ : $6$ fois, reste $18$ ; $180÷47$ : $3$ fois, reste $39$ (0,5 pt). Quotient $1063$, reste $39$ : $50000=47\times 1063+39$ avec $39<47$ (vérification : $47\times 1063=49961$) (0,5 pt). (1)
4. d)$1001\times 437=437000+437=437437$ (0,5 pt) ; $999\times 437=437000-437=436563$ (0,5 pt). (1)
5. e)$999=9\times 111$, donc $436563=999\times 437=9\times 111\times 437$ est un multiple de $9$ ; la somme des chiffres, $27$, le confirme (0,5 pt). $111\times 437=43700+4370+437=48507$, donc $436570=9\times 48507+7$ avec $7<9$ : quotient $48507$, reste $7$ (0,5 pt). (1)

Méthode — un calcul long se contrôle de deux façons indépendantes : l'ordre de grandeur (le résultat est-il plausible ?) et les critères de divisibilité (le résultat a-t-il les diviseurs attendus ?).

1. a)Par $5$ : $△=0$ ou $△=5$ (0,5 pt). Si $△=0$ : la somme vaut $11+◻$ avec $◻$ de $1$ à $9$ (premier chiffre non nul), donc entre $12$ et $20$ ; seul multiple de $9$ : $18$, d'où $◻=7$ et le nombre $7740$ (0,5 pt). Si $△=5$ : la somme vaut $16+◻$, entre $17$ et $25$ ; seul multiple de $9$ : $18$, d'où $◻=2$ et le nombre $2745$ (0,5 pt). Deux solutions : $7740$ et $2745$. (1,33333)
2. b)Si le quotient et le reste valent tous deux $r$, le nombre vaut $8\times r+r$, c'est-à-dire $9\times r$ (0,5 pt). Le reste est plus petit que $8$ et le nombre est non nul, donc $r$ va de $1$ à $7$, pas d'autre possibilité (0,5 pt). Solutions : $9$, $18$, $27$, $36$, $45$, $54$, $63$ ; par exemple $45=8\times 5+5$ et $63=8\times 7+7$ (0,5 pt). (1,33333)
3. c)Par $4$ : parmi $02,12,22,\dots ,92$, les multiples de $4$ sont $12$, $32$, $52$, $72$, $92$, donc $◻=1$, $3$, $5$, $7$ ou $9$ (0,5 pt). Par $9$ en plus : la somme $6+◻+2=8+◻$ est comprise entre $8$ et $17$, seul multiple de $9$ : $9$, donc $◻=1$, qui est bien dans la liste : $612$ (0,5 pt). (1,33333)

Piège — pour prouver qu'on n'oublie aucune solution, il faut encadrer : un chiffre va de $0$ à $9$ (de $1$ à $9$ en tête de nombre) et un reste est toujours plus petit que le diviseur.

1. a)$2016=12\times 168$ (vérification : $12\times 168=1200+816=2016$) : $168$ paquets (0,5 pt). $168=9\times 18+6$ avec $6<9$ (0,5 pt) : $18$ cartons pleins et un carton de $6$ paquets, soit $19$ cartons (0,5 pt). (1,33333)
2. b)$19=7\times 2+5$ avec $5<7$ (0,5 pt) : deux voyages complets ne suffisent pas, il faut $3$ voyages, le dernier avec $5$ cartons (0,5 pt). (1,33333)
3. c)Recette : $2016\times 2=4032$ € (0,5 pt). Dépenses : $19\times 38=760-38=722$ € et $1350+722=2072$ € (0,5 pt). Bénéfice : $4032-2072=1960$ € (0,5 pt). (1,33333)

Astuce — dans un problème en chaîne, chaque résultat intermédiaire (paquets, puis cartons, puis voyages) sert à la question suivante : on l'écrit avec son unité avant de continuer.

1. a)$11=6\times 1+5$, $29=6\times 4+5$, $47=6\times 7+5$ (0,5 pt). Par $3$ : $11=3\times 3+2$, $29=3\times 9+2$, $47=3\times 15+2$ : le reste vaut $2$ à chaque fois (0,5 pt). (1)
2. b)$6\times q=3\times (2\times q)$ et $5=3+2$, donc $n=3\times (2\times q)+3+2=3\times (2\times q+1)+2$ (0,5 pt). Comme $2<3$, c'est l'égalité de la division euclidienne de $n$ par $3$ : le reste vaut toujours $2$ (0,5 pt). (1)
3. c)$6\times q=2\times (3\times q)$ et $5=2\times 2+1$, donc $n=2\times (3\times q+2)+1$ (0,5 pt). Comme $1<2$, le reste vaut $1$ : $n$ est toujours impair (0,5 pt). (1)
4. d)Le nombre s'écrit $12\times q+7$, et $12\times q$ est un multiple de $4$ et de $3$. Par $4$ : $7=4+3$, le reste vaut $3$ (0,5 pt). Par $3$ : $7=3\times 2+1$, le reste vaut $1$ (0,5 pt). Exemple : $19=12\times 1+7=4\times 4+3=3\times 6+1$. (1)

Erreur fréquente — croire que le reste ne change pas quand on change de diviseur : le reste $5$ par $6$ devient $2$ par $3$ ; il faut toujours ramener le reste en dessous du nouveau diviseur.