Qu'est-ce qu'un critère de divisibilité ?

C'est une règle qui permet de savoir si un nombre est divisible par un autre (reste nul) sans poser la division, en observant le dernier chiffre ou la somme des chiffres.

Comment savoir si un nombre est divisible par 3 ?

On additionne tous ses chiffres : si la somme obtenue est elle-même un multiple de $3$, alors le nombre est divisible par $3$. Exemple : $51 \to 5+1 = 6$, et $6$ est un multiple de $3$, donc $51$ est divisible par $3$.

Un nombre divisible par 9 est-il aussi divisible par 3 ?

Oui, toujours : si la somme des chiffres est un multiple de $9$, elle est aussi un multiple de $3$. Donc tout multiple de $9$ est un multiple de $3$ (mais l'inverse est faux).

Collège · 6ᵉ · Mathématiques

Les critères de divisibilité

Reconnaître les multiples de 2, 3, 4, 5, 9 et 10 sans poser la division (programme de 6e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les critères de divisibilité » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Vocabulaire : multiples, diviseurs et divisibilité, À quoi servent les critères de divisibilité ?, Les critères de 2, 5 et 10 (le dernier chiffre), Les critères de 3 et 9 (la somme des chiffres). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.

Vocabulaire : multiples, diviseurs et divisibilité

Avant de parler de critères, il faut maîtriser trois mots qui reviennent tout le temps en calcul.

Définition. Un entier $a$ est divisible par un entier $b$ (avec $b \neq 0$) lorsque la division de $a$ par $b$ tombe juste, c'est-à-dire lorsque le reste est $0$. On dit alors que $a$ est un multiple de $b$, et que $b$ est un diviseur de $a$.

Exemple. $35 = 7 \times 5$ (reste $0$), donc $35$ est divisible par $7$ : $35$ est un multiple de $7$, et $7$ est un diviseur de $35$.

Astuce. Ces trois phrases disent exactement la même chose : « $35$ est divisible par $7$ », « $35$ est un multiple de $7$ », « $7$ est un diviseur de $35$ ».

À quoi servent les critères de divisibilité ?

Pour un grand nombre comme $6\,318$, poser la division pour savoir s'il est divisible par $3$ prend du temps. Un critère de divisibilité permet de répondre juste en observant les chiffres, sans poser la division.

Définition. Un critère de divisibilité par $b$ est une règle qui permet de savoir si un nombre est divisible par $b$ en observant seulement ses chiffres.

Astuce. Retiens deux familles : les critères qui regardent la fin du nombre ($2$, $5$, $10$, $4$) et ceux qui regardent la somme des chiffres ($3$, $9$).

Les critères de 2, 5 et 10 (le dernier chiffre)

Pour $2$, $5$ et $10$, il suffit de regarder le chiffre des unités, c'est-à-dire le dernier chiffre à droite du nombre.

Règle (divisibilité par 2). Un nombre est divisible par $2$ si son dernier chiffre est pair : $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$. Les multiples de $2$ sont les nombres pairs.

Règle (divisibilité par 5). Un nombre est divisible par $5$ si son dernier chiffre est $0$ ou $5$.

Règle (divisibilité par 10). Un nombre est divisible par $10$ si son dernier chiffre est $0$.

Exemple. $1\,374$ se termine par $4$ (pair) : il est divisible par $2$, mais pas par $5$ ni par $10$.
$890$ se termine par $0$ : il est divisible par $2$, par $5$ et par $10$.

Divisible par 2	dernier chiffre $\in \{0;2;4;6;8\}$ (nombre pair)
Divisible par 5	dernier chiffre $\in \{0;5\}$
Divisible par 10	dernier chiffre $= 0$

Attention ! Un nombre qui finit par $0$ est divisible par $2$, par $5$ et par $10$ à la fois. Mais un nombre qui finit par $5$ (comme $85$) est divisible par $5$ et pas par $2$.

Les critères de 3 et 9 (la somme des chiffres)

Pour $3$ et $9$, on ne regarde plus le dernier chiffre : on additionne tous les chiffres du nombre, et on observe la somme obtenue.

Règle (divisibilité par 3). Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$.

Règle (divisibilité par 9). Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $9$.

Exemple (par 3). Le nombre $4\,572$ : la somme des chiffres est $4+5+7+2 = 18$. Or $18 = 3 \times 6$ est un multiple de $3$, donc $4\,572$ est divisible par $3$.

Exemple (par 9). Le nombre $522$ : somme $5+2+2 = 9$. Comme $9$ est un multiple de $9$, le nombre $522$ est divisible par $9$.

Astuce. Si la somme des chiffres est encore grande, recommence ! Pour $4\,572 \to 18 \to 1+8 = 9$ : on voit d'un coup que $4\,572$ est même divisible par $9$.

Attention ! Tout multiple de $9$ est aussi un multiple de $3$ (car $9 = 3 \times 3$). Mais l'inverse est faux : $51$ est divisible par $3$ ($5+1=6$) sans l'être par $9$ ($6$ n'est pas un multiple de $9$).

Le critère de 4 et tableau récapitulatif

Pour $4$, un seul chiffre ne suffit pas : on regarde le nombre formé par les deux derniers chiffres (dizaines et unités).

Règle (divisibilité par 4). Un nombre est divisible par $4$ si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est lui-même divisible par $4$.

Exemple. Pour $7\,316$, on regarde $16$. Comme $16 = 4 \times 4$, le nombre $7\,316$ est divisible par $4$.
Pour $530$, on regarde $30$ : $30$ n'est pas un multiple de $4$ ($4 \times 7 = 28$, $4 \times 8 = 32$), donc $530$ n'est pas divisible par $4$, bien qu'il soit pair.

Voici toutes les règles à connaître par cœur :

Par 2	le dernier chiffre est pair ($0$, $2$, $4$, $6$, $8$)
Par 3	la somme des chiffres est un multiple de $3$
Par 4	les deux derniers chiffres forment un multiple de $4$
Par 5	le dernier chiffre est $0$ ou $5$
Par 9	la somme des chiffres est un multiple de $9$
Par 10	le dernier chiffre est $0$

Exemple. $90$ se termine par $0$ (donc divisible par $2$, $5$ et $10$) et $9+0 = 9$ (donc aussi divisible par $3$ et $9$) : le nombre $90$ vérifie cinq critères à la fois !

Méthode et erreurs fréquentes à éviter

Méthode. Pour tester un nombre, demande-toi quel critère utiliser :
• par $2$, $5$ ou $10$ → je regarde le dernier chiffre ;
• par $3$ ou $9$ → j'additionne tous les chiffres ;
• par $4$ → je regarde les deux derniers chiffres.

Confondre les critères. Pour $3$, on additionne les chiffres, on ne regarde pas le dernier chiffre. $13$ finit par $3$ mais n'est pas divisible par $3$ ($1+3 = 4$, pas multiple de $3$).
Oublier que $0$ marche. $0$ est un chiffre pair : un nombre finissant par $0$ est donc divisible par $2$.
Croire que « pair » veut dire « divisible par 4 ». $530$ est pair mais pas divisible par $4$ ($30$ n'est pas un multiple de $4$).
Arrêter trop tôt la somme. Pour $3$ et $9$, additionne tous les chiffres, pas seulement les premiers.

En bref

Un nombre est divisible par 2 s'il finit par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ (nombre pair).
Par 5 s'il finit par $0$ ou $5$ ; par 10 s'il finit par $0$.
Par 3 si la somme des chiffres est un multiple de $3$ ; par 9 si cette somme est un multiple de $9$.
Par 4 si les deux derniers chiffres forment un multiple de $4$.
Tout multiple de $9$ est multiple de $3$ ; tout multiple de $4$ est pair (mais l'inverse est faux dans les deux cas).

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