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Multiples, diviseurs et critères de divisibilité
Multiples et diviseurs d’un nombre entier, « est divisible par » et lien avec la division euclidienne (reste nul), critères de divisibilité par 2, 5 et 10, nombres pairs et impairs ; problèmes.
À propos de cette page
Multiples et diviseurs
Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b (b différent de 0) lorsque la division euclidienne de a par b tombe juste : le reste est 0. On peut alors écrire a = b × q.
Trois phrases disent exactement la même chose : « 39 est divisible par 3 » ; « 39 est un multiple de 3 » ; « 3 est un diviseur de 39 » (car 39 = 3 × 13).
À savoir aussi : 1 est un diviseur de tous les nombres ; tout nombre est un multiple de lui-même et de 1 ; 0 est un multiple de tous les nombres (0 = 7 × 0).
Multiples de 7 inférieurs à 50 : 0 ; 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35 ; 42 ; 49.
91 ÷ 7 : 13, il reste 0. Donc 91 = 7 × 13 : 91 est un multiple de 7, et 7 est un diviseur de 91.
68 ÷ 9 : 7, il reste 5. Donc 68 = 9 × 7 + 5 : le reste n’est pas 0, 68 n’est pas divisible par 9.
Trouver tous les diviseurs d’un nombre
On cherche les produits égaux au nombre en essayant 1, 2, 3, 4… dans l’ordre. Chaque produit donne deux diviseurs à la fois. On s’arrête dès qu’on retombe sur un diviseur déjà trouvé.
20 = 1 × 20 = 2 × 10 = 4 × 5. Le 3 ne convient pas (20 ÷ 3 : 6, il reste 2), et 5 est déjà trouvé : on s’arrête.
Diviseurs de 20 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20.
18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6. Les 4 et 5 ne conviennent pas, et 6 est déjà trouvé.
Diviseurs de 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18.
Réflexe — pour savoir si un nombre est divisible par un autre, je pose la division euclidienne et je regarde le reste : reste 0, il est divisible ; sinon, il ne l’est pas.
Attention — « multiple » et « diviseur » vont en sens inverse : 91 est un multiple de 7, et 7 est un diviseur de 91 (pas l’inverse). Dans une liste de diviseurs, je n’oublie ni 1 ni le nombre lui-même.
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Critères de divisibilité par 2, 5 et 10
• Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Ces nombres sont les nombres pairs ; les autres (chiffre des unités 1, 3, 5, 7 ou 9) sont les nombres impairs.
• Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
• Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
| Divisible par | Chiffre des unités |
|---|---|
| 2 (nombre pair) | 0, 2, 4, 6 ou 8 |
| 5 | 0 ou 5 |
| 10 | 0 |
Pourquoi ça marche ? Un nombre, ce sont des dizaines et des unités : 2 537 = 253 × 10 + 7. Les dizaines (253 × 10) sont toujours divisibles par 2, par 5 et par 10, car 10 = 2 × 5. Tout se joue donc sur le chiffre des unités : ici 7, donc 2 537 n’est divisible ni par 2, ni par 5, ni par 10. Au passage, le reste de la division euclidienne d’un nombre par 10 est son chiffre des unités.
4 628 se termine par 8 : il est pair, donc divisible par 2 ; il n’est divisible ni par 5 ni par 10.
3 175 se termine par 5 : il est divisible par 5, mais pas par 2 (il est impair) ni par 10.
9 020 se termine par 0 : il est divisible par 2, par 5 et par 10.
1 247 se termine par 7 : il est impair, il n’est divisible ni par 2, ni par 5, ni par 10.
Utiliser les critères
Un nombre est divisible par 10 exactement quand il est divisible à la fois par 2 et par 5 : son chiffre des unités est 0. Les critères servent aussi à retrouver un chiffre manquant.
34□ est divisible par 10 : le chiffre des unités doit être 0, donc □ = 0 (le nombre 340).
46□ est divisible par 5 : □ = 0 ou □ = 5 (les nombres 460 et 465).
7□3 est impair quel que soit le chiffre □ : seul le chiffre des unités, 3, compte.
Réflexe — pour 2, 5 ou 10, je regarde seulement le chiffre des unités.
Attention — c’est le dernier chiffre qui compte, pas le premier : 853 commence par 8, mais il est impair. Un nombre qui se termine par 5 n’est pas divisible par 10. Et 0 est un chiffre pair : 9 020 est pair.
Pour la suite — Les critères de divisibilité par 3, 9 et 4 se verront en 5e.
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- « a est divisible par b », « a est un multiple de b » et « b est un diviseur de a » disent la même chose.
- a est divisible par b quand la division euclidienne de a par b a un reste égal à 0 : a = b × q.
- Les multiples de b sont les nombres de sa table (0, b, 2 × b…) ; les diviseurs d’un nombre se cherchent par paires de produits.
- Divisible par 2 : chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8 (nombres pairs) ; par 5 : 0 ou 5 ; par 10 : 0.
- Divisible par 10 = divisible à la fois par 2 et par 5 = se termine par 0.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un multiple et un diviseur ?
Comme 66 = 6 × 11, 66 est un multiple de 6 (il est dans la table de 6) et 6 est un diviseur de 66. Les deux mots vont en sens inverse : « 66 est divisible par 6 », « 66 est un multiple de 6 » et « 6 est un diviseur de 66 » disent la même chose.
Comment savoir si un nombre est divisible par un autre ?
On pose la division euclidienne et on regarde le reste. 104 ÷ 8 : 13, il reste 0, donc 104 est divisible par 8. 98 ÷ 8 : 12, il reste 2, donc 98 n’est pas divisible par 8.
Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ?
On cherche les produits égaux au nombre en essayant 1, 2, 3… dans l’ordre : 12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4. On s’arrête quand on retombe sur un diviseur déjà trouvé. Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Quels sont les critères de divisibilité par 2, 5 et 10 ?
On regarde le chiffre des unités : 0, 2, 4, 6 ou 8 pour 2 (les nombres pairs), 0 ou 5 pour 5, et 0 pour 10. Ainsi 538 est divisible par 2, 1 065 par 5, et 7 310 par 2, par 5 et par 10. Les critères par 3, 9 et 4 se voient en 5e.
Qu’est-ce qu’un nombre pair ?
Un nombre pair est un multiple de 2 : son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, comme 3 572. Les autres nombres, comme 3 571, sont impairs. 0 est pair.
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