À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les critères de divisibilité » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Divisibilité, multiples et diviseurs : le vocabulaire, À quoi servent les critères de divisibilité ?, Les critères de 2, 5 et 10 (le dernier chiffre), Les critères de 3 et 9 (la somme des chiffres). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Divisibilité, multiples et diviseurs : le vocabulaire
2 · À quoi servent les critères de divisibilité ?
3 · Les critères de 2, 5 et 10 (le dernier chiffre)
4 · Les critères de 3 et 9 (la somme des chiffres)
5 · Le critère de 4 (les deux derniers chiffres)
6 · Tableau récapitulatif de tous les critères
7 · Méthode et erreurs fréquentes à éviter
1Divisibilité, multiples et diviseurs : le vocabulaire
Avant de parler de critères, il faut bien comprendre ce que veut dire « être divisible ». On dit qu'un nombre est divisible par un autre quand la division tombe juste, c'est-à-dire quand le reste est nul.
Définition. Un entier $a$ est divisible par un entier $b$ (avec $b \neq 0$) lorsque le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est égal à $0$. On dit alors que $a$ est un multiple de $b$, et que $b$ est un diviseur de $a$.
Exemple. $24$ est divisible par $6$ car $24 = 6 \times 4$ (reste $0$). Donc $24$ est un multiple de $6$, et $6$ est un diviseur de $24$.
Les trois phrases suivantes veulent dire exactement la même chose : « $24$ est divisible par $6$ », « $24$ est un multiple de $6$ », « $6$ est un diviseur de $24$ ».
Astuce. Pour reconnaître un multiple de $b$, il suffit de réciter la table de $b$ : $6$ ; $12$ ; $18$ ; $24$ ; $30$… sont tous des multiples de $6$.
2À quoi servent les critères de divisibilité ?
Pour les petits nombres, on peut poser la division. Mais pour savoir rapidement si $4\,572$ est divisible par $3$, poser la division est long. Un critère de divisibilité est une astuce rapide qui répond à la question sans poser la division.
Définition. Un critère de divisibilité par $b$ est une règle qui permet de savoir, en observant seulement les chiffres d'un nombre, s'il est divisible par $b$ (reste nul) ou non.
Selon le diviseur, on regarde soit le dernier chiffre, soit la somme de tous les chiffres. Voici les diviseurs au programme de 6e :
Astuce. Retiens deux familles : les critères qui regardent la fin du nombre (2, 5, 10, 4) et ceux qui regardent la somme des chiffres (3, 9).
3Les critères de 2, 5 et 10 (le dernier chiffre)
Pour $2$, $5$ et $10$, il suffit de regarder le chiffre des unités, c'est-à-dire le dernier chiffre à droite du nombre.
Règle (divisibilité par 2). Un nombre est divisible par $2$ si son dernier chiffre est pair : $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$. Les multiples de $2$ sont les nombres pairs.
Règle (divisibilité par 5). Un nombre est divisible par $5$ si son dernier chiffre est $0$ ou $5$.
Règle (divisibilité par 10). Un nombre est divisible par $10$ si son dernier chiffre est $0$.
Exemple. $1\,374$ se termine par $4$ (pair) : il est divisible par $2$, mais pas par $5$ ni par $10$.
$890$ se termine par $0$ : il est divisible par $2$, par $5$ et par $10$.
| Divisible par 2 | dernier chiffre $\in \{0;2;4;6;8\}$ (nombre pair) |
| Divisible par 5 | dernier chiffre $\in \{0;5\}$ |
| Divisible par 10 | dernier chiffre $= 0$ |
Attention ! Un nombre qui finit par $0$ est divisible par $2$, par $5$ et par $10$ à la fois. Mais un nombre qui finit par $5$ (comme $85$) est divisible par $5$ et pas par $2$.
4Les critères de 3 et 9 (la somme des chiffres)
Pour $3$ et $9$, on ne regarde plus le dernier chiffre : on additionne tous les chiffres du nombre, et on observe la somme obtenue.
Règle (divisibilité par 3). Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$.
Règle (divisibilité par 9). Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $9$.
Exemple (par 3). Le nombre $4\,572$ : la somme des chiffres est $4+5+7+2 = 18$. Or $18 = 3 \times 6$ est un multiple de $3$, donc $4\,572$ est divisible par $3$.
Exemple (par 9). Le nombre $522$ : somme $5+2+2 = 9$. Comme $9$ est un multiple de $9$, le nombre $522$ est divisible par $9$.
Astuce. Si la somme des chiffres est encore grande, recommence ! Pour $4\,572 \to 18 \to 1+8 = 9$ : on voit d'un coup que $4\,572$ est même divisible par $9$.
Attention ! Tout multiple de $9$ est aussi un multiple de $3$ (car $9 = 3 \times 3$). Mais l'inverse est faux : $51$ est divisible par $3$ ($5+1=6$) sans l'être par $9$ ($6$ n'est pas un multiple de $9$).
5Le critère de 4 (les deux derniers chiffres)
Pour $4$, un seul chiffre ne suffit pas : on regarde le nombre formé par les deux derniers chiffres (dizaines et unités).
Règle (divisibilité par 4). Un nombre est divisible par $4$ si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $4$.
Exemple. Pour $7\,316$, on regarde $16$. Comme $16 = 4 \times 4$, le nombre $7\,316$ est divisible par $4$.
Pour $530$, on regarde $30$ : $30$ n'est pas un multiple de $4$ ($4 \times 7 = 28$, $4 \times 8 = 32$), donc $530$ n'est pas divisible par $4$.
Astuce. Tout nombre divisible par $4$ est forcément pair, donc divisible par $2$. Mais l'inverse est faux : $530$ est pair sans être divisible par $4$.
6Tableau récapitulatif de tous les critères
Voici toutes les règles à connaître par cœur. C'est ce tableau qu'il faut savoir réciter.
| Par 2 | le dernier chiffre est pair ($0$, $2$, $4$, $6$, $8$) |
| Par 3 | la somme des chiffres est un multiple de $3$ |
| Par 4 | les deux derniers chiffres forment un multiple de $4$ |
| Par 5 | le dernier chiffre est $0$ ou $5$ |
| Par 9 | la somme des chiffres est un multiple de $9$ |
| Par 10 | le dernier chiffre est $0$ |
Un même nombre peut vérifier plusieurs critères en même temps. Regardons combien des nombres de $1$ à $30$ sont divisibles par chaque diviseur :
Exemple. $90$ se termine par $0$ (donc divisible par $2$, $5$ et $10$) et $9+0 = 9$ (donc aussi divisible par $3$ et $9$). Le nombre $90$ vérifie cinq critères à la fois !
7Méthode et erreurs fréquentes à éviter
Méthode. Pour tester un nombre, demande-toi quel critère utiliser :
• par $2$, $5$ ou $10$ → je regarde le dernier chiffre ;
• par $3$ ou $9$ → j'additionne tous les chiffres ;
• par $4$ → je regarde les deux derniers chiffres.
- Confondre les critères. Pour $3$ on additionne les chiffres, on ne regarde pas le dernier chiffre. $13$ finit par $3$ mais n'est pas divisible par $3$ ($1+3 = 4$).
- Oublier que $0$ marche. $0$ est pair, donc un nombre finissant par $0$ est divisible par $2$.
- Croire que pair = divisible par 4. $530$ est pair mais pas divisible par $4$ ($30$ n'est pas un multiple de $4$).
- Arrêter trop tôt la somme. Pour $3$ et $9$, additionne tous les chiffres, pas seulement les premiers.
★À retenir
En bref :
• Un nombre est divisible par 2 s'il finit par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ (nombre pair).
• Par 5 s'il finit par $0$ ou $5$ ; par 10 s'il finit par $0$.
• Par 3 si la somme des chiffres est un multiple de $3$ ; par 9 si cette somme est un multiple de $9$.
• Par 4 si les deux derniers chiffres forment un multiple de $4$.
• Tout multiple de $9$ est multiple de $3$ ; tout multiple de $4$ est pair.