À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les critères de divisibilité » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Multiples et diviseurs : le vocabulaire, Les multiples d'un nombre, Nombres pairs et nombres impairs, Les critères de divisibilité par 2, 5 et 10. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Multiples et diviseurs : le vocabulaire
2 · Les multiples d'un nombre
3 · Nombres pairs et nombres impairs
4 · Critères de divisibilité par 2, 5 et 10
5 · Critères de divisibilité par 3 et par 9
6 · Le critère de divisibilité par 4
7 · Le grand tableau récapitulatif
8 · Trouver tous les diviseurs d'un nombre
9 · Fractions et partages
1Multiples et diviseurs : le vocabulaire
Quand on partage des objets en parts égales, parfois « ça tombe juste », parfois il reste quelque chose. Toute cette leçon part de cette idée simple.
Définition. On dit qu'un nombre entier a est divisible par un nombre entier b lorsque la division a ÷ b tombe juste, c'est-à-dire que le reste est égal à 0.
On dit alors aussi que b est un diviseur de a, et que a est un multiple de b.
Ces trois phrases décrivent la même situation. Par exemple, comme 12 ÷ 3 = 4 (reste 0) :
- 12 est divisible par 3 ;
- 3 est un diviseur de 12 (et 4 aussi) ;
- 12 est un multiple de 3 (et un multiple de 4).
Exemple. 20 = 4 × 5. Donc 20 est divisible par 4 et par 5 ; 4 et 5 sont des diviseurs de 20 ; 20 est un multiple de 4 et de 5.
💡 Petite phrase magique : « a est divisible par b » ⟺ « il existe une multiplication b × ? = a avec un nombre entier ». Si on trouve ce nombre entier, c'est bon !
⚠️ Ne confonds pas multiple et diviseur : les multiples de 3 sont plus grands (3, 6, 9, 12, …, ils n'ont pas de fin), alors que les diviseurs d'un nombre sont plus petits ou égaux à lui (et il y en a un nombre limité).
2Les multiples d'un nombre
Les multiples d'un nombre b sont tous les nombres de la table de multiplication de b :
b × 0, b × 1, b × 2, b × 3, …
On les obtient en « comptant de b en b ». Ils forment une liste qui ne s'arrête jamais.
| Nombre | Ses premiers multiples |
|---|
| multiples de 2 | 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … |
| multiples de 3 | 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … |
| multiples de 5 | 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, … |
| multiples de 10 | 0, 10, 20, 30, 40, 50, … |
💡 0 est multiple de tous les nombres (car b × 0 = 0). Et tout nombre est multiple de lui-même (b × 1 = b) et multiple de 1.
Exemple. 48 est-il un multiple de 6 ? On cherche dans la table de 6 : … 6 × 7 = 42, 6 × 8 = 48. Oui ! 48 = 6 × 8, donc 48 est un multiple de 6.
3Nombres pairs et nombres impairs
Définition. Un nombre pair est un multiple de 2 : on peut le partager en 2 parts égales sans reste. Un nombre impair n'est pas un multiple de 2 : il « reste toujours 1 ».
Pour reconnaître un nombre pair, on regarde uniquement son chiffre des unités (le dernier chiffre) :
- Pair → se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 (ex. 14, 28, 130, 4 006) ;
- Impair → se termine par 1, 3, 5, 7 ou 9 (ex. 17, 25, 303, 1 999).
Exemple. 2 358 se termine par 8 → il est pair. 47 se termine par 7 → il est impair.
⚠️ On regarde seulement le dernier chiffre, peu importe la taille du nombre. 1 000 000 est pair (finit par 0), 1 000 001 est impair (finit par 1).
💡 « Pair » = « divisible par 2 ». Ce sont deux façons de dire la même chose.
4Les critères de divisibilité par 2, 5 et 10
Un critère de divisibilité est une astuce pour savoir si un nombre est divisible par un autre sans poser la division. Pour 2, 5 et 10, il suffit de regarder le chiffre des unités.
Divisible par 2 : le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 (il est pair).
Divisible par 5 : le nombre se termine par 0 ou 5.
Divisible par 10 : le nombre se termine par 0.
| Nombre | ÷ 2 ? | ÷ 5 ? | ÷ 10 ? |
|---|
| 40 | oui (finit par 0) | oui (finit par 0) | oui (finit par 0) |
| 35 | non (finit par 5) | oui (finit par 5) | non |
| 76 | oui (finit par 6) | non | non |
| 123 | non (finit par 3) | non | non |
💡 Un nombre divisible par 10 est toujours divisible par 2 et par 5 en même temps (car 10 = 2 × 5).
Exemple. 2 730 finit par 0 → divisible par 2, par 5 et par 10. 145 finit par 5 → divisible par 5 seulement (pas par 2, pas par 10).
5Les critères de divisibilité par 3 et par 9
Pour 3 et 9, regarder le dernier chiffre ne suffit pas. On utilise la somme de tous les chiffres du nombre.
Divisible par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3 (dans la table de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18…).
Divisible par 9 : la somme des chiffres est divisible par 9 (9, 18, 27…).
Méthode pas à pas (par 3)
- Étape 1. On additionne tous les chiffres.
- Étape 2. Si la somme est grande, on additionne encore les chiffres du résultat.
- Étape 3. On regarde si le petit nombre obtenu est dans la table de 3.
Exemple 1. 234 : somme = 2 + 3 + 4 = 9. 9 est divisible par 3 et par 9 → 234 est divisible par 3 et par 9.
Exemple 2. 4 521 : somme = 4 + 5 + 2 + 1 = 12. 12 est divisible par 3 (12 = 3 × 4) mais pas par 9 → 4 521 est divisible par 3, pas par 9.
Exemple 3. 581 : somme = 5 + 8 + 1 = 14. 14 n'est ni dans la table de 3 ni de 9 → 581 n'est divisible ni par 3 ni par 9.
💡 Si un nombre est divisible par 9, il est aussi divisible par 3 (car 9 = 3 × 3). Mais l'inverse est faux : 12 est divisible par 3 sans l'être par 9.
6Le critère de divisibilité par 4
Pour 4, on regarde le nombre formé par les deux derniers chiffres (dizaines et unités).
Divisible par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4 (ou bien le nombre se termine par 00).
Exemple 1. 5 124 : les deux derniers chiffres forment 24, et 24 = 4 × 6 → 5 124 est divisible par 4.
Exemple 2. 7 00 : finit par 00 → divisible par 4. 8 130 : 30 n'est pas dans la table de 4 → 8 130 n'est pas divisible par 4.
💡 Lien malin : un nombre divisible par 4 est forcément pair (divisible par 2). Mais un nombre pair n'est pas toujours divisible par 4 : 18 est pair mais 18 ÷ 4 ne tombe pas juste.
| Nombre | 2 derniers chiffres | Divisible par 4 ? |
|---|
| 312 | 12 = 4 × 3 | oui |
| 1 540 | 40 = 4 × 10 | oui |
| 726 | 26 (pas dans la table de 4) | non |
7Le grand tableau récapitulatif
Voici tous les critères réunis. À apprendre par cœur, c'est un outil que tu utiliseras toute ta scolarité !
| Divisible par… | Critère (l'astuce) | Exemple qui marche |
|---|
| 2 | finit par 0, 2, 4, 6 ou 8 | 4 8 |
| 3 | somme des chiffres divisible par 3 | 1 2 6 → 1+2+6=9 |
| 4 | 2 derniers chiffres divisibles par 4 | 3 16 → 16=4×4 |
| 5 | finit par 0 ou 5 | 7 5 |
| 9 | somme des chiffres divisible par 9 | 7 2 9 → 7+2+9=18 |
| 10 | finit par 0 | 9 0 |
⚠️ Erreur fréquente : pour 3 et 9 on utilise la somme des chiffres, pas le dernier chiffre. Pour 2, 5 et 10 on utilise le dernier chiffre, pas la somme. Ne mélange pas les deux méthodes !
💡 Test complet sur 5 940 :
• finit par 0 → divisible par 2, par 5, par 10 ;
• 2 derniers chiffres = 40 = 4×10 → divisible par 4 ;
• somme = 5+9+4+0 = 18 → divisible par 3 et par 9.
5 940 est donc divisible par 2, 3, 4, 5, 9 et 10 !
8Trouver tous les diviseurs d'un nombre
Les diviseurs d'un nombre sont tous les nombres entiers par lesquels il est divisible (reste 0). Pour ne pas en oublier, on cherche par paires.
Méthode des paires. On essaie 1, 2, 3, 4… À chaque fois qu'un nombre divise, on note les deux de la multiplication. On s'arrête quand les deux nombres « se rejoignent ».
Exemple : les diviseurs de 24
- 1 × 24 → diviseurs 1 et 24
- 2 × 12 → diviseurs 2 et 12
- 3 × 8 → diviseurs 3 et 8
- 4 × 6 → diviseurs 4 et 6
- 5 ? non (24 ÷ 5 ne tombe pas juste) ; 6 est déjà trouvé → on s'arrête.
Diviseurs de 24 : 1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 8 · 12 · 24 (8 diviseurs)
💡 On range toujours les diviseurs du plus petit au plus grand. Le plus petit est toujours 1, le plus grand est le nombre lui-même.
Astuce. Pour aller vite, sers-toi des critères : 24 est pair (→ 2 et 12), sa somme 2+4=6 est divisible par 3 (→ 3 et 8). Plus besoin de tout tester !
9À quoi ça sert ? Fractions et partages
Les critères de divisibilité sont très utiles pour simplifier une fraction ou vérifier qu'un partage tombe juste.
Simplifier une fraction
Simplifier, c'est diviser le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas) par un même diviseur commun.
1520 = 15 ÷ 520 ÷ 5 = 34
Ici 15 et 20 finissent par 5 ou 0 : tous les deux divisibles par 5, on peut donc simplifier par 5.
Exemple. 1824 : 18 et 24 sont tous deux pairs et divisibles par 3, donc par 6. → 18 ÷ 624 ÷ 6 = 34.
Vérifier un partage
Exemple. Peut-on partager 132 bonbons équitablement entre 4 enfants ? Les deux derniers chiffres de 132 forment 32 = 4 × 8 → oui, 132 est divisible par 4 (chacun aura 33 bonbons, car 132 ÷ 4 = 33).
Exemple. 47 élèves peuvent-ils former des équipes de 3 sans reste ? Somme des chiffres : 4 + 7 = 11, pas divisible par 3 → non, ça ne tombe pas juste (il restera des élèves).
🎓 Récap express : divisible par 2 → finit par 0,2,4,6,8 · par 5 → 0 ou 5 · par 10 → 0 · par 3 → somme ÷ 3 · par 9 → somme ÷ 9 · par 4 → deux derniers chiffres ÷ 4. Multiple = dans la table ; diviseur = divise sans reste ; pair = divisible par 2.