La division euclidienne

1. a)Dividende $43$, diviseur $6$, quotient $7$, reste $1$ : $43=6\times 7+1$ (1)
2. b)… strictement plus petit que le diviseur (1)
3. c)Le reste est nul : $35=5\times 7$, donc $35$ est un multiple de $5$ (1)
4. d)$0$, $1$, $2$, $3$ ou $4$ : il y a $5$ restes possibles (1)

Repère — Le reste va de $0$ à diviseur $-1$ : un reste égal au diviseur (ou plus grand) veut dire qu’on pouvait encore faire une part.

1. a)$437=8\times 54+5$ : quotient $54$, reste $5$ (1)
2. b)$652=9\times 72+4$ : quotient $72$, reste $4$ (1)
3. c)$2019=7\times 288+3$ : quotient $288$, reste $3$ (1)
4. d)$1000=24\times 41+16$ : quotient $41$, reste $16$ (1)

Astuce — On termine toujours par l’égalité : recalculer diviseur $\times$ quotient $+$ reste repère aussitôt une erreur de table ou un chiffre oublié au quotient.

1. a)$11\times 8=88$ et $95-88=7$ : $95=11\times 8+7$ (1)
2. b)$8\times 13+6=104+6=110$ (1)
3. c)$86-5=81$, puis $81÷9=9$ : le diviseur est $9$ (et $5<9$) (1)
4. d)L’égalité est juste, mais le reste $11$ dépasse le diviseur $6$ : la bonne écriture est $53=6\times 8+5$ (1)

Erreur fréquente — Une égalité juste n’est pas forcément la division euclidienne : il faut aussi que le reste soit plus petit que le diviseur.

1. a)$24\times 9=216$ et $24\times 10=240$, donc $216\le 230<240$ : quotient $9$, reste $230-216=14$ (1)
2. b)Le reste est plus petit que le diviseur : $b$ est plus grand que $11$, donc $b$ vaut au moins $12$ (1)
3. c)$13\times 7=91$ et $13\times 8=104$ : $100=13\times 7+9$, quotient $7$, reste $9$ (1)
4. d)$a=12\times 7=84$ : c’est un multiple de $12$ (1)

Méthode — Le quotient est le plus grand nombre entier $q$ tel que diviseur $\times q$ ne dépasse pas le dividende : encadrer entre deux multiples qui se suivent le donne sans poser.

1. a)$390=16\times 24+6$ : $24$ équipes complètes et $6$ enfants restants (1)
2. b)$24+1=25$ équipes : une de plus pour les $6$ enfants restants (1)
3. c)$16-6=10$ enfants de plus (contrôle : $16\times 25=400$) (1)
4. d)Oui : $390=15\times 26$, le reste est nul, soit $26$ équipes complètes (1)

Le point clé — Le même calcul répond à plusieurs questions : le quotient compte les équipes complètes, le quotient $+1$ toutes les équipes nécessaires, diviseur $-$ reste les joueurs qui manquent.