La division euclidienne

Donne le quotient et le reste de chaque division euclidienne, sans poser : pense aux tables.

1. $19÷5$ : quotient , reste
   $5\times 3=15$ et $5\times 4=20$ (trop grand), donc le quotient est $3$ et le reste $19-15=4$.
   $19÷5$ : $3$, il reste $4$. Contrôle : $5\times 3+4=19$ et $4<5$. ✓
2. $47÷6$ : quotient , reste
   $6\times 7=42$ et $6\times 8=48$ (trop grand), donc le quotient est $7$ et le reste $47-42=5$.
   Contrôle : $6\times 7+5=47$ et $5<6$. ✓
3. $30÷7$ : quotient , reste
   $7\times 4=28$ et $7\times 5=35$ (trop grand), donc le quotient est $4$ et le reste $30-28=2$.
   Contrôle : $7\times 4+2=30$. ✓
4. $56÷8$ : quotient , reste
   $8\times 7=56$ exactement : le quotient est $7$ et le reste $0$.
   La division est exacte : $56$ est un multiple de $8$.
5. Lina écrit : « $44÷6$ : $6$, il reste $8$ ». Corrige : quotient , reste
   Le reste $8$ n’est pas plus petit que $6$ : on pouvait encore faire une part. $6\times 7=42$ et $6\times 8=48$ (trop grand).
   $44÷6$ : $7$, il reste $2$. Contrôle : $6\times 7+2=44$ et $2<6$. ✓

Pose chaque division euclidienne sur ton brouillon, puis donne le quotient et le reste.

1. $419÷7$ : quotient , reste
   $41÷7$ : $5$, il reste $6$. J’abaisse le $9$ : $69÷7$ : $9$, il reste $6$.
   Quotient $59$, reste $6$. Contrôle : $7\times 59+6=413+6=419$. ✓
2. $329÷6$ : quotient , reste
   $32÷6$ : $5$, il reste $2$. J’abaisse le $9$ : $29÷6$ : $4$, il reste $5$.
   Quotient $54$, reste $5$. Contrôle : $6\times 54+5=324+5=329$. ✓
3. $500÷12$ : quotient , reste
   $50÷12$ : $4$, il reste $2$. J’abaisse le $0$ : $20÷12$ : $1$, il reste $8$.
   Quotient $41$, reste $8$. Contrôle : $12\times 41+8=492+8=500$ et $8<12$. ✓
4. $1000÷9$ : quotient , reste
   $10÷9$ : $1$, il reste $1$. J’abaisse un $0$ : $10÷9$ : $1$, il reste $1$. J’abaisse le dernier $0$ : $10÷9$ : $1$, il reste $1$.
   Quotient $111$, reste $1$. Contrôle : $9\times 111+1=999+1=1000$. ✓
5. $4218÷7$ : quotient , reste
   $42÷7$ : $6$, il reste $0$. J’abaisse le $1$ : $1÷7$ : $0$, il reste $1$ (j’écris $0$ au quotient). J’abaisse le $8$ : $18÷7$ : $2$, il reste $4$.
   Quotient $602$, reste $4$. Contrôle : $7\times 602+4=4214+4=4218$. ✓
6. $785÷25$ : quotient , reste
   $78÷25$ : $3$, il reste $3$ ($25\times 3=75$). J’abaisse le $5$ : $35÷25$ : $1$, il reste $10$.
   Quotient $31$, reste $10$. Contrôle : $25\times 31+10=775+10=785$ et $10<25$. ✓

Utilise l’égalité dividende = diviseur × quotient + reste et la règle reste < diviseur.

1. $6\times 8+$ $=50$
   $6\times 8=48$, et il manque $50-48=2$ pour atteindre $50$.
   Le reste est $2$, et $2<6$. ✓
2. $73=9\times$ $+1$
   J’enlève le reste : $73-1=72$. Puis $72÷9=8$.
   Le quotient est $8$. Contrôle : $9\times 8+1=73$. ✓
3. $100=$ $\times 14+2$  (on cherche le diviseur)
   J’enlève le reste : $100-2=98$. Puis $98÷14=7$.
   Le diviseur est $7$. Contrôle : $7\times 14+2=100$, et $2<7$. ✓
4. Diviseur $8$, quotient $12$, reste $5$. Le dividende est
   Dividende $=$ diviseur $\times$ quotient $+$ reste : $8\times 12+5=96+5=101$.
   Et $5<8$ : tout est cohérent.
5. Un nombre divisé par $5$ donne un quotient de $7$ et un reste de $4$. Ce nombre est
   $5\times 7+4=35+4=39$.
   Contrôle : $39÷5$ : $7$, il reste $4$, et $4<5$. ✓
6. Combien de restes différents sont possibles dans une division par $6$ ?
   Le reste est plus petit que $6$ : il peut valoir $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ ou $5$.
   Cela fait $6$ restes possibles.
7. Le reste d’une division euclidienne est $9$. Le diviseur vaut au moins
   Le reste est toujours plus petit que le diviseur : le diviseur est plus grand que $9$.
   Il vaut donc au moins $10$.
8. Le plus grand reste possible dans une division par $12$ est
   Les restes possibles vont de $0$ à diviseur $-1$, ici de $0$ à $11$.
   Le plus grand est $11$ ($12$ est interdit : on pourrait faire une part de plus).

Pose la division euclidienne qui convient, puis réponds.

1. On range $45$ œufs dans des boîtes de $6$. Boîtes pleines : ; œufs en trop :
   $45÷6$ : $7$, il reste $3$, car $45=6\times 7+3$.
   On remplit $7$ boîtes et il reste $3$ œufs.
2. On partage $62$ images entre $5$ enfants. Chacun reçoit images et il en reste
   $62÷5$ : $12$, il reste $2$, car $62=5\times 12+2$.
   Chacun reçoit $12$ images ; il en reste $2$, qu’on ne peut pas partager équitablement.
3. Avec $70$ €, combien de places de cinéma à $8$ € peut-on payer ?
   $70÷8$ : $8$, il reste $6$, car $70=8\times 8+6$.
   On paie $8$ places ; les $6$ € restants ne suffisent pas pour une $9^{\text{e}}$.

Quotient ou quotient + 1 ? Lis bien la question.

1. $80$ élèves partent en excursion dans des bus de $35$ places. Combien de bus faut-il ?
   $80÷35$ : $2$, il reste $10$, car $80=35\times 2+10$.
   $2$ bus pleins ne suffisent pas : les $10$ élèves restants prennent un $3^{\text{e}}$ bus. Il faut $3$ bus.
2. Il faut coller $130$ photos, $12$ par page. Combien de pages faut-il ?
   $130÷12$ : $10$, il reste $10$, car $130=12\times 10+10$.
   $10$ pages pleines, plus une page pour les $10$ dernières photos : $11$ pages.
3. Un ruban de $95$ cm est coupé en morceaux de $15$ cm. Combien de morceaux de $15$ cm obtient-on ?
   $95÷15$ : $6$, il reste $5$, car $95=15\times 6+5$.
   On obtient $6$ morceaux ; le bout de $5$ cm est trop court pour en faire un de plus.
4. $96$ invités s’installent par tables de $8$. Combien de tables faut-il ?
   $96÷8$ : $12$, il reste $0$ : la division est exacte.
   Toutes les tables sont complètes : il faut $12$ tables, pas une de plus.
5. On met $87$ bonbons en sachets de $10$. Combien de bonbons manque-t-il pour remplir un sachet de plus ?
   $87÷10$ : $8$, il reste $7$.
   Le $9^{\text{e}}$ sachet contient $7$ bonbons : il en manque $10-7=3$.

Ce qui se répète : seul le reste compte.

1. Aujourd’hui, c’est samedi. Quel jour serons-nous dans $45$ jours ?
   $45÷7$ : $6$, il reste $3$. Six semaines complètes ramènent à samedi.
   J’avance encore de $3$ jours : dimanche, lundi, mardi. Ce sera mardi.
2. Une guirlande répète toujours : rouge, bleu, vert, jaune. De quelle couleur est la ${38}^{\text{e}}$ ampoule ?
   Le motif compte $4$ couleurs : $38÷4$ : $9$, il reste $2$.
   Après $9$ motifs complets, la ${38}^{\text{e}}$ ampoule est la $2^{\text{e}}$ couleur du motif : bleu.
3. $275$ min $=$ h min
   $1$ h $=60$ min. $275÷60$ : $4$, il reste $35$, car $275=60\times 4+35$.
   $275$ min, c’est $4$ h $35$ min.