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La division euclidienne
Dividende, diviseur, quotient et reste ; égalité dividende = diviseur × quotient + reste avec reste < diviseur ; poser une division euclidienne (diviseur à 1 ou 2 chiffres) ; problèmes de partage et de regroupement : quotient, quotient + 1 ou reste.
À propos de cette page
Poser une division euclidienne
On partage 17 billes entre 5 enfants : chacun reçoit 3 billes et il en reste 2, qu’on ne peut plus partager. La division euclidienne calcule exactement ces deux nombres. Tout reste entier : pas de virgule, mais un reste.
• 17 est le dividende : le nombre que l’on partage ;
• 5 est le diviseur : le nombre par lequel on partage ;
• 3 est le quotient : combien de fois 5 tient dans 17 ;
• 2 est le reste : ce qui ne peut plus être partagé.
On écrit : 17 ÷ 5 : 3, il reste 2. Les quatre nombres sont reliés par l’égalité de la division euclidienne :
dividende = diviseur × quotient + reste, ici 17 = 5 × 3 + 2,
avec toujours reste < diviseur.
Pour ne pas confondre — le dividende est celui qu’on découpe (en général le plus grand) ; le diviseur est celui qui découpe (le nombre de parts ou la taille des parts).
La règle d’or : le reste est plus petit que le diviseur
« 23 ÷ 5 : 3, il reste 8 » ne convient pas : 8 est plus grand que 5, on pouvait encore faire une part de plus. La bonne réponse est 23 ÷ 5 : 4, il reste 3, car 23 = 5 × 4 + 3.
Dans une division par 7, les restes possibles sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6 : jamais 7 ni plus. Le plus grand reste possible est diviseur − 1.
Restes de la division par 4 des nombres 0, 1, 2, … , 8 : 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0. Le reste revient à 0 à chaque multiple de 4.
Division exacte
Quand le reste est 0, la division est exacte : 48 ÷ 6 : 8, il reste 0, donc 48 = 6 × 8. On dit que 48 est un multiple de 6 et que 6 divise 48.
Trouver le quotient en encadrant
Le quotient est le plus grand nombre entier q tel que diviseur × q ne dépasse pas le dividende. Pour les petits nombres, on encadre avec les tables.
8 × 7 = 56 et 8 × 8 = 64 : on a 56 ≤ 59 et 59 < 64. Le quotient est 7 ; le reste est 59 − 56 = 3.
59 ÷ 8 : 7, il reste 3 · 59 = 8 × 7 + 3
Poser une division euclidienne
| 2 | 5 | 4 | 7 | |
| − | 2 | 1 | 36 | |
| 4 | 4 | |||
| − | 4 | 2 | ||
| 2 |
7 ne tient pas dans 2 : je commence par 25. 25 ÷ 7 : 3, il reste 4 (7 × 3 = 21).
J’abaisse le 4 : 44. 44 ÷ 7 : 6, il reste 2 (7 × 6 = 42).
Plus de chiffre à abaisser : quotient 36, reste 2.
Contrôle : 7 × 36 + 2 = 252 + 2 = 254 ✓ et 2 < 7 ✓
| 9 | 1 | 8 | 23 | |
| − | 6 | 9 | 39 | |
| 2 | 2 | 8 | ||
| − | 2 | 0 | 7 | |
| 2 | 1 |
23 ne tient pas dans 9 : je commence par 91. J’estime : 23 × 4 = 92 dépasse 91, donc 3. 91 ÷ 23 : 3, il reste 22 (23 × 3 = 69).
J’abaisse le 8 : 228. J’estime : 23 × 10 = 230 dépasse 228, j’essaie 9 : 23 × 9 = 207. 228 ÷ 23 : 9, il reste 21.
Quotient 39, reste 21.
Contrôle : 23 × 39 + 21 = 897 + 21 = 918 ✓ et 21 < 23 ✓
32 ÷ 8 : 4, il reste 0.
J’abaisse le 4 : 4 ÷ 8 : 0, il reste 4 (j’écris 0 au quotient).
J’abaisse le 5 : 45 ÷ 8 : 5, il reste 5.
Quotient 405, reste 5. Contrôle : 8 × 405 + 5 = 3 240 + 5 = 3 245 ✓
Retrouver un nombre manquant
Si l’on connaît trois des quatre nombres, l’égalité donne le quatrième.
Reste inconnu : 60 = 7 × 8 + … → 60 − 56 = 4, donc le reste est 4.
Dividende inconnu : diviseur 9, quotient 5, reste 4 → 9 × 5 + 4 = 49.
Diviseur inconnu : 45 = … × 6 + 3 → 45 − 3 = 42, puis 42 ÷ 6 = 7. Le diviseur est 7, et 3 < 7 ✓
Diviser par 10 ou par 100
Par 10, le reste est le chiffre des unités : 587 ÷ 10 : 58, il reste 7. Par 100, le reste est formé des deux derniers chiffres : 4 315 ÷ 100 : 43, il reste 15.
Réflexe — je vérifie toujours deux choses : diviseur × quotient + reste redonne le dividende, et le reste est plus petit que le diviseur.
Attention — à chaque étape de la division posée, le reste partiel doit être plus petit que le diviseur. S’il ne l’est pas, le chiffre écrit au quotient est trop petit : on recommence l’étape.
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Problèmes de partage et de regroupement
Beaucoup de problèmes de partage (on connaît le nombre de parts, on cherche la taille d’une part) ou de regroupement (on connaît la taille des paquets, on cherche le nombre de paquets) se résolvent par une division euclidienne. Le calcul est le même ; ce qui change, c’est le nombre qui répond à la question.
• « Combien faut-il de paquets pour tout ranger ? », « de cars pour emmener tout le monde ? » → le quotient + 1 s’il y a un reste (le dernier paquet est incomplet), le quotient si le reste est 0.
• « Combien en reste-t-il ? » → le reste.
• « Combien en manque-t-il pour faire un paquet de plus ? » → diviseur − reste.
Regroupement : 29 élèves s’assoient par tables de 4. 29 ÷ 4 : 7, il reste 1 (29 = 4 × 7 + 1).
Tables complètes : 7. Tables à installer pour asseoir tout le monde : 7 + 1 = 8. Il manque 4 − 1 = 3 élèves pour remplir la 8e table.
Partage : 75 bonbons partagés entre 8 enfants. 75 ÷ 8 : 9, il reste 3 (75 = 8 × 9 + 3). Chacun reçoit 9 bonbons et il en reste 3.
Ce qui se répète : jours, motifs, durées
Quand une chose revient toujours dans le même ordre (les 7 jours de la semaine, un motif de couleurs), seul le reste compte : les tours complets ramènent au point de départ.
Aujourd’hui, c’est mardi. Dans 19 jours ? 19 ÷ 7 : 2, il reste 5. Deux semaines complètes ramènent à mardi ; j’avance encore de 5 jours : mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche.
Une guirlande répète : rouge, vert, bleu. La 20e ampoule ? 20 ÷ 3 : 6, il reste 2 : c’est la 2e couleur du motif, vert. (Si le reste est 0, c’est la dernière couleur du motif.)
Durée : 1 h = 60 min. 170 min ? 170 ÷ 60 : 2, il reste 50 : 170 min = 2 h 50 min.
Réflexe — je pose la division, j’écris l’égalité, puis je relis la question : quotient, quotient + 1, reste ou diviseur − reste ?
Attention — piège classique : on ne s’arrête pas au quotient quand il faut transporter ou ranger tout le monde. Mais si le reste est 0, on n’ajoute rien : 32 élèves par tables de 4 occupent 8 tables, pas 9.
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- Division euclidienne : dividende ÷ diviseur donne un quotient et un reste entiers ; on écrit « 17 ÷ 5 : 3, il reste 2 ».
- Égalité : dividende = diviseur × quotient + reste, avec toujours reste < diviseur.
- Reste 0 : la division est exacte, le dividende est un multiple du diviseur.
- Poser : je prends assez de chiffres, je cherche combien de fois le diviseur y tient, je soustrais, j’abaisse le chiffre suivant ; chaque reste partiel est plus petit que le diviseur.
- Problèmes : quotient pour les paquets complets, quotient + 1 pour tout ranger (s’il y a un reste), reste pour ce qui reste, diviseur − reste pour ce qui manque ; pour ce qui se répète, seul le reste compte.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la division euclidienne ?
C’est un partage entre nombres entiers qui donne deux résultats : le quotient (combien de fois le diviseur tient dans le dividende) et le reste (ce qui ne peut plus être partagé). 17 billes pour 5 enfants : 17 ÷ 5 : 3, il reste 2.
Comment s’appellent les nombres d’une division euclidienne ?
Le dividende est le nombre que l’on partage, le diviseur celui par lequel on partage, le quotient le résultat entier et le reste ce qu’il reste à la fin. Dans 17 ÷ 5 : 3, il reste 2, le dividende est 17, le diviseur 5, le quotient 3 et le reste 2.
Comment vérifier une division euclidienne ?
On vérifie l’égalité dividende = diviseur × quotient + reste et que le reste est plus petit que le diviseur : pour 254 ÷ 7 : 36, il reste 2, on calcule 7 × 36 + 2 = 254, et 2 < 7.
Comment poser une division euclidienne ?
On prend les premiers chiffres du dividende jusqu’à ce que le diviseur y tienne, on cherche combien de fois il y tient, on soustrait, puis on abaisse le chiffre suivant et on recommence. Quand il n’y a plus de chiffre à abaisser, le dernier reste est le reste de la division.
Dans un problème, faut-il donner le quotient ou le quotient + 1 ?
Cela dépend de la question. Pour des paquets complets, c’est le quotient ; pour tout ranger ou emmener tout le monde, c’est le quotient + 1 s’il y a un reste : 29 élèves par tables de 4 remplissent 7 tables, mais il faut 8 tables pour asseoir tout le monde.
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