À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « La division euclidienne » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce que la division euclidienne ?, Le vocabulaire : dividende, diviseur, quotient, reste, L'égalité de la division euclidienne, Poser une division euclidienne. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce que la division euclidienne ?
2 · Le vocabulaire : dividende, diviseur, quotient, reste
3 · L'égalité de la division euclidienne
4 · Poser une division euclidienne
5 · Division exacte et multiples
6 · La règle d'or du reste
7 · Encadrer pour trouver le quotient
1Qu'est-ce que la division euclidienne ?
Quand on veut partager une quantité en parts égales, on ne tombe pas toujours juste. Si l'on partage $17$ billes entre $5$ enfants, chacun reçoit $3$ billes et il en reste $2$ qu'on ne peut pas partager. C'est exactement ce que calcule la division euclidienne.
Définition. La division euclidienne d'un nombre entier $a$ par un nombre entier $b$ (avec $b \neq 0$) donne deux résultats entiers : le quotient $q$ (combien de fois $b$ tient dans $a$) et le reste $r$ (ce qu'il reste, qu'on ne peut plus partager).
Exemple. Avec $17$ billes pour $5$ enfants : le quotient est $q = 3$ (chacun a $3$ billes) et le reste est $r = 2$ (il reste $2$ billes). On dit que la division euclidienne de $17$ par $5$ a pour quotient $3$ et pour reste $2$.
Contrairement à la division que tu verras plus tard avec des nombres à virgule, ici tout reste entier : pas de virgule, mais un reste.
2Le vocabulaire : dividende, diviseur, quotient, reste
Chaque nombre porte un nom précis. Il faut bien les connaître pour comprendre les énoncés.
| Dividende | Le nombre que l'on partage ($a$). Dans $17 \div 5$, c'est $17$. |
| Diviseur | Le nombre par lequel on partage ($b$). Dans $17 \div 5$, c'est $5$. |
| Quotient | Le résultat entier du partage ($q$). Ici $q = 3$. |
| Reste | Ce qu'il reste à la fin ($r$). Ici $r = 2$. |
Astuce. Pour ne pas confondre : le divi-d-ende est le plus grand, celui qu'on découpe. Le divis-eur est celui qui découpe (le nombre de parts ou la taille des parts).
3L'égalité de la division euclidienne
Les quatre nombres sont reliés par une égalité très importante, qui sert à tout vérifier.
Règle (égalité euclidienne). Pour la division euclidienne de $a$ par $b$, de quotient $q$ et de reste $r$ :
$$a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad 0 \le r < b$$
En mots : dividende = diviseur × quotient + reste.
Exemple. Pour $17$ et $5$ : $17 = 5 \times 3 + 2$. On retrouve bien $15 + 2 = 17$. Le calcul est juste.
Cette égalité te permet de contrôler ton résultat : recalcule $b \times q + r$ et tu dois retomber sur le dividende $a$.
Astuce. Si tu connais trois des quatre nombres, tu peux retrouver le quatrième grâce à cette égalité. Par exemple, si $a = 50$, $b = 7$ et $q = 7$, alors $r = 50 - 7 \times 7 = 50 - 49 = 1$.
4Poser une division euclidienne
Pour les grands nombres, on pose la division. Voici la méthode pour calculer $254 \div 7$.
Exemple détaillé.
• On regarde $25$ (les deux premiers chiffres) : dans $25$, combien de fois $7$ ? $\;7 \times 3 = 21$ et $7 \times 4 = 28$ (trop grand). Donc $3$. On écrit $3$ au quotient.
• $25 - 21 = 4$. On abaisse le $4$ de $254$ : on obtient $44$.
• Dans $44$, combien de fois $7$ ? $\;7 \times 6 = 42$. Donc $6$. On écrit $6$ au quotient.
• $44 - 42 = 2$. Il n'y a plus de chiffre à abaisser : le reste est $2$.
Résultat : quotient $q = 36$, reste $r = 2$. Vérification : $7 \times 36 + 2 = 252 + 2 = 254$. ✓
Attention ! À chaque étape, le reste partiel doit être plus petit que le diviseur. Si tu trouves un reste $\ge$ diviseur, c'est que ton chiffre du quotient est trop petit : recommence l'étape.
5Division exacte et multiples
Parfois, le partage tombe juste : il ne reste rien.
Définition. Quand le reste est nul ($r = 0$), la division est dite exacte. On a alors $a = b \times q$ : le dividende $a$ est un multiple de $b$, et $b$ divise $a$.
Exemple. $48 \div 6$ : $6 \times 8 = 48$, donc $q = 8$ et $r = 0$. La division est exacte : $48$ est un multiple de $6$, et $6$ divise $48$.
Voici les restes de la division par $4$ pour les nombres de $0$ à $8$. Repère ceux où le reste est nul : ce sont les multiples de $4$.
Astuce. Les restes possibles d'une division par $4$ sont $0$, $1$, $2$ ou $3$. Ils se répètent et reviennent à $0$ à chaque multiple de $4$.
6La règle d'or du reste
Une condition est obligatoire dans une division euclidienne, et c'est l'erreur la plus fréquente.
Règle d'or. Le reste est toujours positif et strictement plus petit que le diviseur : $0 \le r < b$.
Attention ! Si tu écris « $23 \div 5$ a pour quotient $3$ et reste $8$ », c'est faux : $8$ est plus grand que $5$, donc on pouvait encore donner une part de plus. La bonne réponse est $q = 4$ et $r = 3$, car $23 = 5 \times 4 + 3$.
Exemple. Pour une division par $7$, les restes possibles sont $0, 1, 2, 3, 4, 5$ ou $6$. Jamais $7$ ni plus.
Astuce de contrôle. Quand tu as fini, vérifie deux choses : (1) $b \times q + r = a$ ; (2) $r < b$. Si l'une des deux est fausse, recommence.
7Encadrer pour trouver le quotient
On peut trouver le quotient sans poser la division, en cherchant entre quels multiples du diviseur se trouve le dividende.
Exemple. Quotient de $59$ par $8$ ? On liste les multiples de $8$ : $8 \times 7 = 56$ et $8 \times 8 = 64$. Comme $56 \le 59 < 64$, le quotient est $7$. Le reste est $59 - 56 = 3$. Vérification : $8 \times 7 + 3 = 59$. ✓
Méthode. Pour la division euclidienne de $a$ par $b$, le quotient $q$ est le plus grand entier tel que $b \times q \le a$. On a alors l'encadrement $b \times q \le a < b \times (q+1)$.
Astuce. Cette méthode est très utile pour les problèmes du type « combien de paquets complets peut-on faire ? » : le quotient donne le nombre de paquets, le reste ce qui n'entre dans aucun paquet.
★À retenir
En bref :
• Division euclidienne : dividende $a$, diviseur $b$, quotient $q$, reste $r$.
• Égalité clé : $a = b \times q + r$ avec $0 \le r < b$.
• Le reste est toujours plus petit que le diviseur.
• Reste nul ($r = 0$) ⇒ division exacte ⇒ $a$ est un multiple de $b$.
• On vérifie toujours en recalculant $b \times q + r$.