Quotient, reste, multiples et problèmes de partage
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « La division euclidienne » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Partager, grouper… diviser, Le vocabulaire de la division, L'égalité de la division euclidienne, Division exacte ou division avec reste. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Partager, grouper… diviser
2 · Le vocabulaire de la division
3 · L'égalité de la division euclidienne
4 · Division exacte ou division avec reste
5 · Le lien avec les multiples
6 · Poser une division : la méthode pas à pas
7 · Un exemple avec reste, posé en entier
8 · Choisir la bonne réponse dans un problème
1Partager, grouper… diviser
La division, c'est ce qu'on fait quand on veut partager une quantité en parts égales, ou quand on veut grouper des objets par paquets identiques.
Partage. On a 12 bonbons à distribuer également entre 3 enfants : chaque enfant en reçoit 4, car 12 = 3 × 4. On écrit 12 ÷ 3 = 4.
Groupement. On a 12 œufs et on veut faire des boîtes de 3 : on peut faire 4 boîtes, car 12 = 4 × 3. On écrit là aussi 12 ÷ 3 = 4.
Mais souvent, le partage « ne tombe pas juste ». Si on a 14 bonbons pour 3 enfants, chacun en reçoit 4 et il en reste 2 dans la main : ces 2 bonbons ne suffisent pas pour en donner un de plus à chacun. C'est tout l'intérêt de la division euclidienne : elle s'occupe des nombres entiers et garde ce qui reste.
💡 Diviser, ce n'est pas seulement « faire des paquets ». C'est répondre à la question : « combien de fois le diviseur tient-il dans le dividende ? » — et que reste-t-il après ?
2Le vocabulaire de la division
Dans une division euclidienne, il y a quatre mots à connaître par cœur. Prenons l'exemple 14 ÷ 3 : on cherche combien de fois 3 tient dans 14. Il tient 4 fois (3 × 4 = 12) et il reste 2.
Mot
Ce que c'est
Dans 14 ÷ 3
Dividende
le nombre que l'on partage
14
Diviseur
le nombre par lequel on partage
3
Quotient
le résultat du partage (entier)
4
Reste
ce qu'il reste, qu'on ne peut plus partager
2
À retenir. Dans « dividende ÷ diviseur », le dividende est devant (c'est le gros tas qu'on partage), le diviseur est derrière (c'est la taille des parts ou leur nombre).
⚠️ Ne confonds pas dividende et diviseur : ils commencent pareil mais ne jouent pas le même rôle. 14 ÷ 3 n'est pas la même chose que 3 ÷ 14 !
3L'égalité de la division euclidienne
Toute division euclidienne se résume par une égalité magique qui relie les quatre nombres entre eux.
dividende = diviseur × quotient + reste
Avec notre exemple 14 ÷ 3 (quotient 4, reste 2) :
14 = 3 × 4 + 2
On vérifie : 3 × 4 = 12, puis 12 + 2 = 14. ✔️ L'égalité est juste, donc la division est correcte.
La condition sur le reste. Le reste doit toujours être plus petit que le diviseur :
0 ≤ reste < diviseur
Pourquoi ? Parce que si le reste était aussi grand ou plus grand que le diviseur, on pourrait encore enlever au moins une part de plus ! Dans 14 ÷ 3, si on s'arrêtait à un quotient de 3 et un reste de 5, ce serait faux : 5 contient encore un 3, on n'a pas fini de partager.
⚠️ Un reste égal au diviseur, c'est interdit : par exemple un reste de 3 quand on divise par 3 veut dire qu'on peut faire une part de plus. Le reste s'arrête juste avant le diviseur.
💡 Pour vérifier n'importe quelle division, refais le calcul diviseur × quotient + reste : tu dois retomber sur le dividende, ET le reste doit être plus petit que le diviseur. Si une des deux conditions échoue, il y a une erreur.
4Division exacte ou division avec reste
On distingue deux cas selon la valeur du reste.
Division exacte (reste = 0)
Quand le reste vaut 0, on dit que la division est exacte (ou que « ça tombe juste »). On écrit alors un signe « égal » :
15 ÷ 3 = 5 car 15 = 3 × 5 + 0
Dans ce cas, on dit aussi que 15 est un multiple de 3, que 3 divise 15, ou que 3 est un diviseur de 15.
Division avec reste (reste ≠ 0)
Quand le reste n'est pas nul, la division n'est pas exacte. On ne peut pas écrire de « = » simple : il faut donner le quotient ET le reste.
17 ÷ 3 → quotient 5, reste 2 car 17 = 3 × 5 + 2
⚠️ Quand il y a un reste, n'écris jamais « 17 ÷ 3 = 5 » tout seul : c'est faux, car 3 × 5 = 15 ≠ 17. Précise toujours le reste.
5Le lien avec les multiples
La division euclidienne est étroitement liée aux tables de multiplication. Trouver le quotient de n ÷ d, c'est chercher le plus grand multiple de d qui ne dépasse pas n.
Exemple : pour 29 ÷ 4, je liste les multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32… Le plus grand qui ne dépasse pas 29 est 28 = 4 × 7.
Le quotient est donc 7.
Le reste est ce qui manque pour aller de 28 à 29, soit 29 − 28 = 1.
Vérification : 29 = 4 × 7 + 1, et 1 < 4. ✔️
Cas particulier. Si le dividende est lui-même un multiple du diviseur, le reste est 0 et la division est exacte. Exemple : 28 ÷ 4 = 7 exactement.
💡 Bien connaître ses tables de multiplication rend la division beaucoup plus rapide : on « voit » tout de suite combien de fois le diviseur tient dans le dividende.
6Poser une division : la méthode pas à pas
Quand les nombres sont grands, on pose la division. Prenons l'exemple 738 ÷ 6.
Étape 1 — on installe la potence
On écrit le dividende (738) à gauche, et le diviseur (6) à droite dans la « potence ».
Étape 2 — on divise chiffre par chiffre, de gauche à droite
Dans 7 (centaines), combien de fois 6 ? → 1 fois (6 × 1 = 6). J'écris 1 au quotient. Reste : 7 − 6 = 1.
J'abaisse le 3 : j'obtiens 13. Dans 13, combien de fois 6 ? → 2 fois (6 × 2 = 12). J'écris 2. Reste : 13 − 12 = 1.
J'abaisse le 8 : j'obtiens 18. Dans 18, combien de fois 6 ? → 3 fois (6 × 3 = 18). J'écris 3. Reste : 18 − 18 = 0.
Étape 3 — on lit le résultat
Le quotient est 123 et le reste est 0. La division est exacte : 738 ÷ 6 = 123. On vérifie : 6 × 123 = 738. ✔️
⚠️ Quand le premier chiffre du dividende est plus petit que le diviseur, on prend les deux premiers chiffres. Pour 738 ÷ 9 : 7 est trop petit, on commence par 73 (« dans 73, combien de fois 9 ? »).
💡 À chaque étape, le reste partiel doit rester plus petit que le diviseur. S'il est plus grand, c'est que le chiffre du quotient choisi est trop petit : augmente-le.
7Un exemple avec reste, posé en entier
Posons 857 ÷ 4.
Dans 8, combien de fois 4 ? → 2 (4 × 2 = 8). Reste 0.
J'abaisse le 5 → 05. Dans 5, combien de fois 4 ? → 1 (4 × 1 = 4). Reste 1.
J'abaisse le 7 → 17. Dans 17, combien de fois 4 ? → 4 (4 × 4 = 16). Reste 1.
Il ne reste plus de chiffre à abaisser : on s'arrête. Le quotient est 214 et le reste est 1.
857 = 4 × 214 + 1 (et 1 < 4)
Vérification : 4 × 214 = 856, puis 856 + 1 = 857. ✔️ Le reste 1 est bien plus petit que le diviseur 4.
💡 Le reste de la division par 4 ne peut être que 0, 1, 2 ou 3 : jamais 4 ni plus. De manière générale, les restes possibles d'une division par d sont 0, 1, 2, …, jusqu'à d − 1.
8Choisir la bonne réponse dans un problème
Dans un problème de partage ou de groupement, le quotient et le reste ont un sens concret. Selon la question, la réponse n'est pas toujours le simple quotient !
Exemple : On range 30 élèves dans des voitures de 7 places. Combien faut-il de voitures ?
On calcule 30 ÷ 7 : quotient 4, reste 2 (car 30 = 7 × 4 + 2).
Question posée
Réponse
Combien de voitures pleines ?
4 (le quotient)
Combien d'élèves restent sans voiture pleine ?
2 (le reste)
Combien de voitures pour emmener tout le monde ?
5 (4 + 1, car les 2 restants ont besoin d'une 5ᵉ voiture)
⚠️ Lis bien la question ! Parfois il faut ajouter 1 au quotient (quand il reste des objets « à caser »), parfois la réponse est le reste lui-même, parfois c'est le quotient seul.
🎓 Récap express : dividende = diviseur × quotient + reste, avec 0 ≤ reste < diviseur · reste 0 → division exacte (le dividende est un multiple du diviseur) · pour poser, on divise de gauche à droite en abaissant les chiffres · le quotient répond à « combien de fois ? », le reste à « combien en trop ? » · dans un problème, relis la question avant de choisir entre quotient, reste, ou quotient + 1.