À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Addition, soustraction et multiplication » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le vocabulaire des opérations, L'addition et ses propriétés, La soustraction, La multiplication et ses propriétés. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Le vocabulaire des opérations
2 · L'addition et ses propriétés
3 · La soustraction
4 · La multiplication et ses propriétés
5 · Poser une opération sans se tromper
6 · Calculer malin : calcul mental et astuces
7 · Vérifier avec l'ordre de grandeur
1Le vocabulaire des opérations
Chaque opération a son nom et le résultat aussi. Connaître ce vocabulaire est indispensable pour comprendre les consignes.
À retenir.
• Le résultat d'une addition ($+$) est une somme. Les nombres ajoutés sont les termes.
• Le résultat d'une soustraction ($-$) est une différence. Ses nombres sont aussi des termes.
• Le résultat d'une multiplication ($\times$) est un produit. Les nombres multipliés sont les facteurs.
Exemple. Dans $7 + 5 = 12$, les termes sont $7$ et $5$, et la somme est $12$.
Dans $9 - 4 = 5$, la différence est $5$.
Dans $6 \times 3 = 18$, les facteurs sont $6$ et $3$, et le produit est $18$.
| Opération | Signe | Résultat | Nombres |
| Addition | $+$ | somme | termes |
| Soustraction | $-$ | différence | termes |
| Multiplication | $\times$ | produit | facteurs |
2L'addition et ses propriétés
Additionner, c'est réunir, mettre ensemble. Le signe est $+$.
Propriété — commutativité. Dans une addition, on peut changer l'ordre des termes sans changer la somme : $a + b = b + a$.
Exemple : $8 + 5 = 5 + 8 = 13$.
Propriété — associativité. Dans une somme de plusieurs termes, on peut les regrouper comme on veut : $a + (b + c) = (a + b) + c$.
Exemple : $7 + 3 + 6 = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 = 16$.
Astuce. On regroupe en priorité les termes dont la somme « tombe rond » : pour $17 + 8 + 3$, on calcule $17 + 3 = 20$, puis $20 + 8 = 28$. C'est plus rapide !
Le zéro. Ajouter $0$ ne change rien : $a + 0 = a$. On dit que $0$ est l'élément neutre de l'addition. Exemple : $46 + 0 = 46$.
3La soustraction
Soustraire, c'est enlever, retirer, ou chercher l'écart entre deux nombres. Le signe est $-$.
Règle. Dans $a - b$, on enlève $b$ à $a$. Pour pouvoir le faire avec des entiers en 6e, il faut que le premier terme soit plus grand (ou égal) que le second : $a \geq b$.
Attention ! La soustraction n'est pas commutative : on ne peut pas changer l'ordre. $9 - 4 = 5$ mais $4 - 9$ n'est pas possible avec les entiers de 6e. L'ordre des nombres est important !
Exemple — chercher un écart. Léa a $25$ €, son frère a $18$ €. L'écart est $25 - 18 = 7$ €.
Lien avec l'addition. Une soustraction se vérifie par une addition : si $25 - 18 = 7$, alors $7 + 18 = 25$. C'est un bon moyen de contrôler son résultat.
4La multiplication et ses propriétés
Multiplier, c'est additionner plusieurs fois le même nombre. Le signe est $\times$.
Définition. $4 \times 3$ signifie « $4$ fois $3$ », c'est-à-dire $3 + 3 + 3 + 3 = 12$. C'est une addition répétée.
Propriété — commutativité. On peut changer l'ordre des facteurs : $a \times b = b \times a$.
Exemple : $4 \times 3 = 3 \times 4 = 12$.
Le rôle de $0$ et de $1$.
• Multiplier par $1$ ne change rien : $a \times 1 = a$ (élément neutre).
• Multiplier par $0$ donne toujours $0$ : $a \times 0 = 0$.
Exemples : $57 \times 1 = 57$ et $57 \times 0 = 0$.
Multiplier par 10, 100, 1 000. On ajoute autant de zéros qu'il y en a : $34 \times 10 = 340$, $34 \times 100 = 3\,400$, $34 \times 1\,000 = 34\,000$.
Le visuel ci-dessous illustre la multiplication $4 \times 3$ vue comme une addition répétée :
5Poser une opération sans se tromper
Quand les nombres sont grands, on pose l'opération en colonnes. Le secret : bien aligner les chiffres selon leur rang (unités sous unités, dizaines sous dizaines…).
Addition posée. On aligne les nombres à droite, on additionne colonne par colonne en partant des unités. Quand une colonne dépasse $9$, on écrit le chiffre des unités et on retient la dizaine pour la colonne suivante.
Exemple. $367 + 158$ : $7 + 8 = 15$ (j'écris $5$, je retiens $1$) ; $6 + 5 + 1 = 12$ (j'écris $2$, je retiens $1$) ; $3 + 1 + 1 = 5$. Résultat : $\boldsymbol{525}$.
Soustraction posée. On aligne à droite, on soustrait colonne par colonne en partant des unités. Si un chiffre du haut est trop petit, on « emprunte » une dizaine à la colonne de gauche.
Attention aux retenues ! C'est la source d'erreur n°1. On écrit toujours la retenue clairement et on ne l'oublie pas à la colonne suivante.
Voici la marche à suivre pour poser correctement une opération :
6Calculer malin : calcul mental et astuces
Beaucoup de calculs peuvent se faire de tête en utilisant les propriétés vues plus haut.
Regrouper pour faire des dizaines. Pour $24 + 17 + 6$, on regroupe $24 + 6 = 30$, puis $30 + 17 = 47$.
Décomposer un facteur. Pour $25 \times 12$, on calcule $25 \times 12 = 25 \times 10 + 25 \times 2 = 250 + 50 = 300$.
Distributivité (idée de base). Multiplier une somme, c'est multiplier chaque terme : $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$.
Exemple : $7 \times 102 = 7 \times 100 + 7 \times 2 = 700 + 14 = 714$.
Soustraire en complétant. Pour $1\,000 - 387$, on cherche ce qu'il faut ajouter à $387$ pour atteindre $1\,000$ : $387 + 13 = 400$, puis $400 + 600 = 1\,000$, donc la différence est $613$.
7Vérifier avec l'ordre de grandeur
Avant (ou après) un calcul, on peut estimer le résultat en arrondissant les nombres : c'est l'ordre de grandeur. Il permet de repérer une grosse erreur.
Méthode. On arrondit chaque nombre à un nombre « rond » (dizaine, centaine, millier), puis on fait le calcul approché.
Exemple. Pour $397 \times 21$, on arrondit : $400 \times 20 = 8\,000$. Le résultat exact ($8\,337$) doit être proche de $8\,000$ : c'est cohérent.
Pour $612 + 289$, on estime $600 + 300 = 900$ : le résultat exact ($901$) est bien proche.
Attention ! Un ordre de grandeur n'est pas le résultat exact : c'est seulement une estimation pour vérifier. Si tu trouves $80\,000$ pour $397 \times 21$, l'ordre de grandeur ($8\,000$) te montre tout de suite que tu t'es trompé.
Comparaison entre l'estimation et le résultat exact de quelques calculs :
★À retenir
En bref :
• Somme (addition, termes), différence (soustraction, termes), produit (multiplication, facteurs).
• L'addition et la multiplication sont commutatives et associatives ; la soustraction ne l'est pas ($9-4 \neq 4-9$).
• $a + 0 = a$, $a \times 1 = a$, $a \times 0 = 0$.
• Multiplier par $10$, $100$, $1\,000$ : on ajoute des zéros.
• On pose en alignant les unités et on gère bien les retenues.
• On vérifie avec un ordre de grandeur (nombres arrondis).