À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Addition, soustraction et multiplication » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le vocabulaire des trois opérations, Poser et calculer une addition, Poser et calculer une soustraction, Poser et calculer une multiplication. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Le vocabulaire des trois opérations
2 · Poser et calculer une addition
3 · Poser et calculer une soustraction
4 · Poser et calculer une multiplication
5 · Multiplier par 10, 100, 1000
6 · Les propriétés des opérations
7 · Le calcul mental : les bonnes stratégies
8 · Ordre de grandeur et estimation
9 · Résoudre un problème additif ou multiplicatif
1Le vocabulaire des trois opérations
Avant de calculer, il faut savoir nommer ce que l'on fait. Chaque opération a son nom, son signe et le nom de son résultat. C'est un vocabulaire que les professeurs utilisent tout le temps : il faut le connaître par cœur.
| Opération | Signe | Les nombres de l'opération | Le résultat s'appelle… |
|---|
| Addition | + | les termes | la somme |
| Soustraction | − | les termes | la différence |
| Multiplication | × | les facteurs | le produit |
À retenir. Dans 7 + 5 = 12 : 7 et 5 sont les termes, 12 est la somme.
Dans 9 − 4 = 5 : 9 et 4 sont les termes, 5 est la différence.
Dans 6 × 8 = 48 : 6 et 8 sont les facteurs, 48 est le produit.
Attention au sens des phrases
On rencontre souvent ces tournures dans les énoncés :
- « la somme de 12 et de 8 » → 12 + 8 = 20 ;
- « la différence de 15 et de 9 » → 15 − 9 = 6 (le plus grand d'abord) ;
- « le produit de 4 par 7 » → 4 × 7 = 28 ;
- « le double de 6 » → 6 × 2 = 12 · « le triple de 6 » → 6 × 3 = 18.
💡 « Augmenter de » et « ajouter » annoncent une addition. « Diminuer de », « retirer », « il reste », « de plus que / de moins que » annoncent une soustraction. « Fois », « par paquets de », « le double/triple » annoncent une multiplication.
2Poser et calculer une addition
Pour additionner deux grands nombres entiers, on les pose en colonnes : on écrit un nombre sous l'autre en alignant bien les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, etc.
Méthode pas à pas.
- ① J'aligne les chiffres par colonnes (unités à droite).
- ② J'additionne colonne par colonne, en partant de la droite.
- ③ Si une colonne dépasse 9, j'écris le chiffre des unités et je retiens la dizaine au-dessus de la colonne suivante.
Exemple : calculons 347 + 285.
- Unités : 7 + 5 = 12 → j'écris 2, je retiens 1.
- Dizaines : 4 + 8 = 12, plus la retenue 1 = 13 → j'écris 3, je retiens 1.
- Centaines : 3 + 2 = 5, plus la retenue 1 = 6.
Résultat : 347 + 285 = 632.
⚠️ La retenue se reporte toujours sur la colonne juste à gauche. Ne l'oublie pas et n'écris jamais un nombre à deux chiffres dans une seule colonne.
3Poser et calculer une soustraction
On pose la soustraction comme l'addition : le plus grand nombre en haut, le plus petit en dessous, chiffres bien alignés. On calcule colonne par colonne en partant de la droite.
La retenue en soustraction. Quand le chiffre du haut est plus petit que celui du bas, on ne peut pas soustraire directement : on « emprunte » 10 à la colonne de gauche. On ajoute 10 en haut, et on ajoute 1 au chiffre du bas de la colonne suivante.
Exemple : calculons 503 − 268.
- Unités : 3 − 8 impossible → j'emprunte : 13 − 8 = 5, je retiens +1 en bas des dizaines.
- Dizaines : 0 − (6 + 1) = 0 − 7 impossible → 10 − 7 = 3, je retiens +1 en bas des centaines.
- Centaines : 5 − (2 + 1) = 2.
Résultat : 503 − 268 = 235.
💡 Pour vérifier une soustraction, on additionne : différence + petit terme doit redonner le grand terme. Ici 235 + 268 = 503 ✓.
⚠️ La soustraction n'est pas commutative : 9 − 4 ≠ 4 − 9. L'ordre des termes compte ! On écrit toujours le plus grand en premier (en 6e).
4Poser et calculer une multiplication
Pour multiplier deux nombres entiers, il faut d'abord bien connaître ses tables de multiplication (de 1 à 9). On pose ensuite la multiplication en colonnes.
Méthode pour multiplier par un nombre à plusieurs chiffres.
- ① On multiplie le nombre du haut par le chiffre des unités du bas (avec retenues).
- ② On multiplie par le chiffre des dizaines du bas : on commence par écrire un 0 tout à droite (décalage), puis on calcule.
- ③ On additionne les résultats intermédiaires.
Exemple : calculons 234 × 23.
- 234 × 3 = 702 (3×4=12 → 2 retenue 1 ; 3×3=9+1=10 → 0 retenue 1 ; 3×2=6+1=7).
- 234 × 2 = 468, décalé d'un rang → on écrit 4680.
- On additionne : 702 + 4680 = 5382.
Résultat : 234 × 23 = 5382.
⚠️ N'oublie pas le zéro de décalage à la deuxième ligne. C'est l'erreur la plus fréquente : sans lui, le résultat est complètement faux.
5Multiplier par 10, 100, 1000
Multiplier un nombre entier par 10, 100 ou 1000 est très rapide : il suffit d'ajouter des zéros à droite, autant que le multiplicateur en compte.
Règle. Pour multiplier un entier par :
- 10 → on ajoute 1 zéro à droite ;
- 100 → on ajoute 2 zéros à droite ;
- 1000 → on ajoute 3 zéros à droite.
- 34 × 10 = 340 · 34 × 100 = 3400 · 34 × 1000 = 34000
- 7 × 100 = 700 · 250 × 10 = 2500
Multiplier par 20, 300, 4000…
On sépare le calcul en deux : le chiffre et les zéros.
- 25 × 30 = (25 × 3) × 10 = 75 × 10 = 750 ;
- 12 × 400 = (12 × 4) × 100 = 48 × 100 = 4800.
💡 Astuce : on calcule d'abord la multiplication « sans les zéros », puis on rajoute tous les zéros à la fin. Pour 60 × 700 : 6 × 7 = 42, puis trois zéros (1 + 2) → 42 000.
⚠️ Cette règle des zéros ne marche que pour les nombres entiers. Avec des décimaux, c'est la virgule qui se déplace (vu dans le chapitre sur les décimaux).
6Les propriétés des opérations
Certaines opérations ont des « pouvoirs magiques » qui rendent les calculs plus faciles. Ce sont leurs propriétés.
La commutativité (on peut changer l'ordre)
L'addition et la multiplication sont commutatives : on peut échanger l'ordre des nombres sans changer le résultat.
8 + 5 = 5 + 8 = 13 · 6 × 7 = 7 × 6 = 42
Mais la soustraction n'est PAS commutative : 10 − 3 = 7 alors que 3 − 10 ne donne pas 7.
L'associativité (on peut regrouper)
Dans une somme (ou un produit), on peut regrouper les nombres comme on veut.
17 + 8 + 2 = 17 + (8 + 2) = 17 + 10 = 27
4 × 5 × 2 = 4 × (5 × 2) = 4 × 10 = 40
La distributivité simple
Multiplier une somme, c'est multiplier chaque terme puis additionner.
6 × 12 = 6 × (10 + 2) = 6 × 10 + 6 × 2 = 60 + 12 = 72
Cette propriété est très utile pour le calcul mental : on « casse » un nombre difficile en morceaux faciles.
- 7 × 21 = 7 × 20 + 7 × 1 = 140 + 7 = 147 ;
- 8 × 99 = 8 × 100 − 8 × 1 = 800 − 8 = 792 (ici on « casse » avec une soustraction).
💡 Le 0 et le 1 sont spéciaux : n + 0 = n, n × 1 = n, et surtout n × 0 = 0 (multiplier par zéro donne toujours zéro).
7Le calcul mental : les bonnes stratégies
Calculer de tête vite et juste, ça s'apprend avec quelques astuces appuyées sur les propriétés.
Regrouper pour faire des « 10 » ou des « 100 »
- 27 + 38 + 13 = (27 + 13) + 38 = 40 + 38 = 78 ;
- 2 × 17 × 5 = 17 × (2 × 5) = 17 × 10 = 170.
Décomposer avec la distributivité
- 15 × 6 = 10 × 6 + 5 × 6 = 60 + 30 = 90 ;
- 4 × 25 = 100 (à connaître par cœur !) donc 12 × 25 = 12 × 100 ÷ 4… ou 3 × (4 × 25) = 3 × 100 = 300.
Ajouter ou retirer pour arrondir
- 198 + 47 = 200 + 47 − 2 = 247 − 2 = 245 ;
- 63 − 29 = 63 − 30 + 1 = 33 + 1 = 34.
💡 Quelques résultats à mémoriser : 5 × 2 = 10, 4 × 25 = 100, 8 × 125 = 1000, 5 × 20 = 100. Ils servent tout le temps en calcul mental.
8Ordre de grandeur et estimation
Avant (ou après) un calcul, on peut estimer le résultat pour vérifier qu'il est « plausible ». On remplace chaque nombre par un nombre proche, rond et facile : c'est l'ordre de grandeur.
Méthode. Pour estimer, on arrondit chaque nombre (à la dizaine, la centaine, le millier…), puis on fait le calcul avec ces nombres ronds.
- Ordre de grandeur de
312 + 489 : environ 300 + 500 = 800 (résultat exact : 801, c'est cohérent ✓) ;
- Ordre de grandeur de
21 × 49 : environ 20 × 50 = 1000 (résultat exact : 1029) ;
- Ordre de grandeur de
1987 − 612 : environ 2000 − 600 = 1400 (résultat exact : 1375).
💡 L'estimation sert à repérer les grosses erreurs. Si tu trouves 21 × 49 = 105, l'ordre de grandeur (1000) te montre tout de suite que c'est faux.
⚠️ Un ordre de grandeur n'est pas le résultat exact : c'est une valeur approchée pour vérifier. On ne met jamais « = » entre les deux, mais « ≈ » (environ égal).
9Résoudre un problème additif ou multiplicatif
Devant un problème, beaucoup d'élèves se demandent : « je fais quelle opération ? ». Voici une méthode fiable.
Les 4 étapes pour résoudre un problème.
- ① Je lis l'énoncé en entier et je repère la question.
- ② Je choisis la ou les opérations grâce aux mots-clés.
- ③ Je pose et je calcule proprement.
- ④ Je rédige une phrase réponse avec l'unité (€, m, kg…).
| Ce que dit l'énoncé | Opération |
|---|
| « en tout », « au total », « ajoute » | addition + |
| « il reste », « de plus / de moins que », « rendre la monnaie » | soustraction − |
| « chacun », « par paquets de », « fois plus », « le double » | multiplication × |
Exemple. Un car transporte 52 élèves. Combien de places occupées par 6 cars identiques ?
Mot-clé « identiques / fois » → multiplication : 52 × 6 = 312.
Phrase réponse : les 6 cars transportent 312 élèves.
💡 Un problème peut demander plusieurs opérations à la suite. Pose tes calculs un par un, et vérifie chaque résultat avec un ordre de grandeur avant de rédiger ta réponse.