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Addition, soustraction et multiplication
Calculer avec des nombres entiers : vocabulaire (somme, différence, produit), calcul mental avec ± 9, 99, 999, 11, 101, calcul astucieux en regroupant les termes ou les facteurs, distributivité pour × 11, × 101, × 111, × 9, × 99, × 999, ordre de grandeur, opérations posées et problèmes.
À propos de cette page
Calcul mental : ± 9, 99, 999, 11, 101
Le vocabulaire
| Opération | Résultat | Nombres utilisés |
|---|---|---|
| addition (+) | somme | termes |
| soustraction (−) | différence | termes |
| multiplication (×) | produit | facteurs |
Dans 8 + 5 = 13 : 8 et 5 sont les termes, 13 est la somme. Dans 6 × 4 = 24 : 6 et 4 sont les facteurs, 24 est le produit.
Dans un énoncé, « la somme de deux nombres » veut dire « additionne-les » ; « le produit de deux nombres » veut dire « multiplie-les ».
Ajouter ou soustraire 9, 99, 999, 11, 101
+ 9 = + 10 − 1 · + 99 = + 100 − 1 · + 999 = + 1 000 − 1 · + 11 = + 10 + 1 · + 101 = + 100 + 1
− 9 = − 10 + 1 · − 99 = − 100 + 1 · − 999 = − 1 000 + 1 · − 11 = − 10 − 1 · − 101 = − 100 − 1
356 + 9 = 366 − 1 = 365 · 82 − 9 = 72 + 1 = 73
534 + 99 = 634 − 1 = 633 · 1 275 − 999 = 275 + 1 = 276
63 + 11 = 73 + 1 = 74 · 248 − 101 = 148 − 1 = 147
Même idée avec 98 = 100 − 2 : 47 + 98 = 147 − 2 = 145.
Réflexe — je repère les nombres proches de 10, 100 ou 1 000 : je calcule avec le nombre rond, puis je corrige.
Attention — quand on retire 99, on a retiré 100, donc 1 de trop : on rajoute 1. 412 − 99 = 312 + 1 = 313, et non 311.
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Calcul astucieux : regrouper les facteurs
Pour calculer vite, on a le droit de changer l’ordre des nombres et de les regrouper autrement… mais seulement pour l’addition et la multiplication.
Dans un produit, on peut changer l’ordre des facteurs et les regrouper comme on veut : 4 × 5 = 5 × 4.
Les paires à connaître par cœur : 2 × 5 = 10 ; 4 × 25 = 100 ; 8 × 125 = 1 000.
Multiplier un entier par 10, 100 ou 1 000, c’est écrire 1, 2 ou 3 zéros à sa droite.
À savoir — en mathématiques, on dit que l’addition et la multiplication sont commutatives (on peut échanger l’ordre) et associatives (on peut regrouper autrement).
2 + 7 + 8 : je regroupe 2 + 8 = 10, puis 10 + 7 = 17.
46 + 75 + 54 : je regroupe 46 + 54 = 100, puis 100 + 75 = 175.
5 × 37 × 2 : je regroupe 5 × 2 = 10, puis 37 × 10 = 370.
25 × 19 × 4 : 25 × 4 = 100, puis 19 × 100 = 1 900.
8 × 43 × 125 : 8 × 125 = 1 000, puis 43 × 1 000 = 43 000.
On peut aussi découper un facteur pour faire apparaître une paire : 16 × 5 = 8 × 2 × 5 = 8 × 10 = 80.
Réflexe — avant de calculer dans l’ordre écrit, je cherche les nombres qui « vont ensemble » : ceux qui font 10, 100 ou 1 000.
Attention — la soustraction ne se retourne pas : 9 − 4 = 5, mais 4 − 9 ne donne pas 5 (on ne peut même pas le calculer en 6e). Dans une soustraction, l’ordre compte toujours.
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Distributivité : × 11, × 101, × 111, × 9, × 99, × 999
Multiplier un nombre par 11, c’est le prendre 11 fois : 10 fois, plus encore 1 fois. Cette idée permet de calculer de tête des produits qui ont l’air difficiles.
× 9 = × 10, moins une fois le nombre · × 99 = × 100, moins une fois le nombre · × 999 = × 1 000, moins une fois le nombre
À savoir — cette règle s’appelle la distributivité : pour multiplier un nombre par une somme (10 + 1) ou par une différence (10 − 1), on multiplie par chaque morceau, puis on additionne ou on soustrait.
23 × 11 = 23 × 10 + 23 = 230 + 23 = 253
47 × 101 = 47 × 100 + 47 = 4 700 + 47 = 4 747
32 × 111 = 32 × 100 + 32 × 10 + 32 = 3 200 + 320 + 32 = 3 552
26 × 9 = 26 × 10 − 26 = 260 − 26 = 234
54 × 99 = 54 × 100 − 54 = 5 400 − 54 = 5 346
17 × 999 = 17 × 1 000 − 17 = 17 000 − 17 = 16 983
Même idée avec 19 = 20 − 1 ou 199 = 200 − 1 : 8 × 199 = 8 × 200 − 8 = 1 600 − 8 = 1 592.
Dans l’autre sens
Quand le même nombre est multiplié deux fois, on peut regrouper : 29 fois 7, plus 29 fois 3, c’est 29 fois 10.
29 × 7 + 29 × 3 = 29 × 10 = 290
Réflexe — je vois × 9, × 99 ou × 999 : je multiplie par le nombre rond juste au-dessus, puis j’enlève une fois le nombre.
Attention — on enlève (ou on ajoute) une fois le nombre, pas 9 ou 99 : 45 × 99 = 4 500 − 45 = 4 455, et non 4 500 − 99.
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Ordre de grandeur
Avant (ou après) un calcul, on estime à peu près le résultat. Cela permet de repérer tout de suite une grosse erreur.
1. On arrondit chaque nombre à un nombre simple, souvent à la dizaine, à la centaine ou au millier le plus proche.
2. On fait le calcul simplifié de tête.
On écrit ≈ (« environ égal ») entre le calcul exact et son ordre de grandeur.
397 × 21 ≈ 400 × 20, soit 8 000. Le résultat exact, 8 337, est proche de 8 000 : c’est cohérent ✓
4 912 + 2 087 ≈ 5 000 + 2 000, soit 7 000 (exact : 6 999)
8 105 − 2 960 ≈ 8 000 − 3 000, soit 5 000 (exact : 5 145)
Vérifier un résultat
Tom a trouvé 20 880 pour 72 × 29. Ordre de grandeur : 70 × 30, soit 2 100.
20 880 est environ 10 fois trop grand : il y a un zéro en trop. Le bon résultat est 2 088.
Réflexe — après une opération posée, je compare mon résultat à l’ordre de grandeur : s’il est 10 fois trop grand ou trop petit, je cherche le zéro en trop ou oublié.
Attention — l’ordre de grandeur ne remplace pas le calcul exact. Il repère les grosses erreurs (un zéro en trop), mais pas une petite : 2 098 au lieu de 2 088 reste proche de 2 100.
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Opérations posées
Pour de grands nombres, on pose l’opération en alignant les chiffres par rang : unités sous unités, dizaines sous dizaines, centaines sous centaines…
Soustraction : si le chiffre du haut est plus petit que celui du bas, on ajoute 10 au chiffre du haut et on retient 1, que l’on ajoute au chiffre du bas de la colonne suivante.
Multiplication : on multiplie le premier nombre par le chiffre des unités du second, puis par son chiffre des dizaines en décalant d’un rang (on écrit un 0 à droite), et on additionne les lignes.
| 1 | 1 | ← retenues | ||
| 4 | 5 | 8 | ||
| + | 2 | 6 | 7 | |
| 7 | 2 | 5 |
Unités : 8 + 7 = 15, j’écris 5 et je retiens 1.
Dizaines : 5 + 6 + 1 = 12, j’écris 2 et je retiens 1.
Centaines : 4 + 2 + 1 = 7.
458 + 267 = 725
| 7 | 2 | 4 | ||
| − | 3 | 5 | 8 | |
| 3 | 6 | 6 |
Unités : 4 − 8 impossible. 14 − 8 = 6, je retiens 1, que j’ajoute au 5 du dessous (5 + 1 = 6).
Dizaines : 2 − 6 impossible. 12 − 6 = 6, je retiens 1 : 3 + 1 = 4.
Centaines : 7 − 4 = 3.
724 − 358 = 366
| 2 | 4 | 7 | |||
| × | 3 | 6 | |||
| 1 | 4 | 8 | 2 | ← 247 × 6 | |
| + | 7 | 4 | 1 | 0 | ← 247 × 30 |
| 8 | 8 | 9 | 2 |
247 × 6 = 1 482.
247 × 30 = 7 410 : je décale d’un rang en écrivant un 0.
1 482 + 7 410 = 8 892.
247 × 36 = 8 892
Avec un petit nombre : 34 × 12 → 34 × 2 = 68 ; 34 × 10 = 340 ; 68 + 340 = 408.
Si le second facteur se termine par 0 : 156 × 30 = 156 × 3 × 10 = 468 × 10 = 4 680.
Vérifier
Une soustraction se vérifie par une addition : 366 + 358 = 724 ✓
Une multiplication se vérifie avec un ordre de grandeur : 247 × 36 ≈ 200 × 40, soit 8 000 ✓
Réflexe — j’aligne les chiffres par rang, je calcule de droite à gauche sans oublier les retenues, puis je vérifie.
Attention — dans une multiplication, oublier le décalage de la deuxième ligne donne 1 482 + 741 = 2 223 au lieu de 8 892 : l’ordre de grandeur (8 000) le repère tout de suite. Et dans une soustraction, oublier la retenue est l’erreur la plus fréquente.
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- Vocabulaire : addition → somme (de termes) ; soustraction → différence ; multiplication → produit (de facteurs).
- ± 9, 99, 999 et ± 11, 101 : je calcule avec 10, 100 ou 1 000, puis je corrige (+ 99 = + 100 − 1 ; − 99 = − 100 + 1).
- Dans une somme ou un produit, je change l’ordre et je regroupe : 2 × 5 = 10 ; 4 × 25 = 100 ; 8 × 125 = 1 000. Jamais dans une soustraction.
- Distributivité : × 11 = × 10 + une fois le nombre ; × 9 = × 10 − une fois le nombre (de même avec 101, 111, 99, 999).
- Ordre de grandeur : j’arrondis chaque nombre, je calcule de tête, et je compare pour repérer une grosse erreur.
- Opérations posées : chiffres alignés par rang, de droite à gauche, retenues ; en multiplication, je décale la ligne des dizaines.
Questions fréquentes
Comment ajouter ou soustraire 9, 99 ou 101 de tête ?
On passe par le nombre rond le plus proche, puis on corrige : + 99, c’est + 100 − 1, donc 275 + 99 = 375 − 1 = 374. Et − 101, c’est − 100 − 1 : 640 − 101 = 540 − 1 = 539.
Comment calculer vite un produit comme 25 × 17 × 4 ?
On change l’ordre des facteurs pour regrouper ceux qui font un nombre rond : 25 × 4 = 100, puis 17 × 100 = 1 700. Les paires à connaître : 2 × 5 = 10 ; 4 × 25 = 100 ; 8 × 125 = 1 000.
Comment multiplier par 11 ou par 99 de tête ?
On utilise la distributivité. × 11, c’est × 10 plus une fois le nombre : 43 × 11 = 430 + 43 = 473. × 99, c’est × 100 moins une fois le nombre : 43 × 99 = 4 300 − 43 = 4 257.
À quoi sert un ordre de grandeur ?
À savoir à peu près quel résultat attendre, pour repérer une grosse erreur. On arrondit chaque nombre à un nombre simple et on calcule de tête : 489 × 31 est proche de 500 × 30, soit 15 000. Le résultat exact, 15 159, est cohérent.
Comment poser une multiplication de deux nombres entiers ?
On multiplie le premier nombre par le chiffre des unités du second, puis par son chiffre des dizaines en décalant d’un rang (on écrit un 0 à droite), et on additionne les lignes. On vérifie ensuite avec un ordre de grandeur.
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