Multiples, diviseurs et critères de divisibilité

1. a)$117=9\times 13+0$ : le reste est nul, $117$ est divisible par $9$ ($117$ est un multiple de $9$). (1)
2. b)$150=7\times 21+3$ : le reste est $3$, pas $0$ ; $7$ n’est pas un diviseur de $150$. (1)
3. c)$57=19\times 3$ : $19$ est un diviseur de $57$ ; $57$ est un multiple de $3$. (1)
4. d)$11\times 4=44$ et $11\times 8=88$ : $44$ ; $55$ ; $66$ ; $77$ ; $88$ ($11\times 9=99$ dépasse $90$). (1)

Repère — « Divisible par », « multiple de » et « diviseur de » se démontrent tous de la même façon : une division euclidienne dont le reste est $0$.

1. a)$32=1\times 32=2\times 16=4\times 8$ ; $3$, $5$, $6$, $7$ ne conviennent pas : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ ; $32$. (1)
2. b)$50=1\times 50=2\times 25=5\times 10$ ; $3$, $4$, $6$, $7$, $8$, $9$ ne conviennent pas : $1$ ; $2$ ; $5$ ; $10$ ; $25$ ; $50$. (1)
3. c)Non : $30=4\times 7+2$, le reste n’est pas nul. Être pair veut dire être divisible par $2$, pas par $4$. (1)
4. d)$150=13\times 11+7$ : $13\times 11=143$ est trop petit ; $13\times 12=156$. La réponse est $156$. (1)

Astuce — Pour lister des diviseurs, on avance dans l’ordre (1, 2, 3…) et chaque produit donne deux diviseurs d’un coup ; on s’arrête quand on retombe sur un diviseur déjà trouvé.

1. a)$618$ et $3780$ : leur chiffre des unités ($8$ et $0$) est pair. (1)
2. b)$945$ et $3780$ : leur chiffre des unités est $5$ ou $0$. (1)
3. c)$3780$ seulement : c’est le seul qui se termine par $0$. (1)
4. d)$2401$ : il se termine par $1$, qui est impair et n’est ni $0$ ni $5$. (1)

Le point clé — Pour 2, 5 et 10, on ne regarde que le chiffre des unités : inutile de poser la division.

1. a)Le chiffre des unités doit être $0$ ou $5$ : $◻=0$ ou $◻=5$ ($730$ et $735$). (1)
2. b)Pour $5$ : $0$ ou $5$ ; pour $2$ : un chiffre pair. Seul $◻=0$ convient ($830$). (1)
3. c)Tous les chiffres de $0$ à $9$ conviennent : le chiffre des unités est $6$, qui est pair, quel que soit $◻$. (1)
4. d)Divisible par $5$ et impair : il se termine par $5$. Le plus grand est $9995$. (1)

Piège — Dans $4◻6$, la case est au rang des dizaines : elle ne change rien à la parité. Toujours repérer où se trouve le chiffre des unités.

1. a)$840$ se termine par $0$ : il est divisible par $5$. $840÷5=168$ sacs. (1)
2. b)$840$ se termine par $0$ : il est divisible par $10$. $840÷10=84$ caisses. (1)
3. c)$840÷7$ : $120$, il reste $0$ : $840=7\times 120$. Chacun reçoit $120$ kg. (1)
4. d)$840=25\times 33+15$ : le reste n’est pas nul, c’est impossible (il resterait $15$ kg). (1)

Le point clé — Partager sans reste, c’est chercher si un nombre est divisible par un autre : critère pour 2, 5 et 10, division euclidienne sinon.