Devoir surveillé : relatifs et fractions

1. a)Même signe : le produit est positif. $8\times 0,5=4$, donc $(-8)\times (-0,5)=4$. (0,5 pt pour le signe justifié + 0,5 pt pour la valeur) (1)
2. b)Signes contraires : le quotient est négatif. $7,2÷9=0,8$ (car $9\times 0,8=7,2$), donc $(+7,2)÷(-9)=-0,8$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Trois facteurs négatifs ($-3$ ; $-2$ ; $-1$) : c'est un nombre impair, le produit est négatif. $3\times 5\times 2\times 1=30$, donc le produit vaut $-30$. (0,5 pt pour le signe + 0,5 pt pour la valeur) (1)
4. d)$(-2{)}^3=(-2)\times (-2)\times (-2)=-8$ (trois facteurs négatifs). $(-0,4{)}^2=(-0,4)\times (-0,4)=0,16$ (deux facteurs négatifs ; $0,4\times 0,4=0,16$ et non $1,6$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — $0,4\times 0,4$ vaut $0,16$ et non $1,6$ : des dixièmes multipliés par des dixièmes donnent des centièmes. Et le carré d'un nombre négatif est toujours positif, alors que son cube est négatif.

1. a)Le quotient et le produit d'abord : $(-24)÷6=-4$ et $3\times (-5)=-15$, donc $A=-4-(-15)$. Soustraire $-15$, c'est ajouter $15$ : $A=-4+15=11$. (0,5 pt pour $-4$ et $-15$ + 0,5 pt pour $11$) (1)
2. b)Le carré d'abord : $(-3{)}^2=9$. Puis le produit : $B=2\times 9-20=18-20=-2$. (0,5 pt pour $(-3{)}^2=9$ + 0,5 pt pour $-2$) (1)
3. c)Le produit d'abord : ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2}{4}}$. Puis $C={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{2}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$. (0,5 pt pour le produit + 0,5 pt pour $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$) (1)
4. d)$(-3+7)\times (-5)=4\times (-5)=-20$. Les parenthèses sont indispensables : l'addition doit se faire avant la multiplication. La dernière opération est une multiplication : c'est un produit. (0,5 pt pour l'expression avec ses parenthèses + 0,5 pt pour $-20$ et « produit ») (1)

Méthode — un calcul porte le nom de sa dernière opération ; avant de calculer, on repère les carrés, les produits et les quotients, qui passent avant les additions et les soustractions.

1. a)${\displaystyle \frac{18}{-24}}$ : un seul signe moins, le nombre est négatif : $-{\displaystyle \frac{18}{24}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ (on divise par $6$). ${\displaystyle \frac{-16}{-36}}$ : deux signes moins, le nombre est positif : ${\displaystyle \frac{16}{36}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$ (on divise par $4$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Opposé de $-{\displaystyle \frac{5}{3}}$ : ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ (leur somme vaut $0$) ; inverse : $-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ (même signe, et $(-{\displaystyle \frac{5}{3}})\times (-{\displaystyle \frac{3}{5}})={\displaystyle \frac{15}{15}}=1$). Opposé de $0,25$ : $-0,25$ ; inverse : $4$, car $0,25={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et $0,25\times 4=1$. (0,5 pt par nombre) (1)
3. c)Deux nombres négatifs : on compare leurs distances à zéro. ${\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{15}{35}}$ et ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{14}{35}}$, donc ${\displaystyle \frac{3}{7}}>{\displaystyle \frac{2}{5}}$. $-{\displaystyle \frac{3}{7}}$ est plus loin de zéro, il est donc plus petit : $-{\displaystyle \frac{3}{7}}<-{\displaystyle \frac{2}{5}}$. (0,5 pt pour la comparaison sans les signes + 0,5 pt pour le sens inversé) (1)
4. d)On écrit tout avec le signe devant et le dénominateur $8$ : ${\displaystyle \frac{-5}{8}}=-{\displaystyle \frac{5}{8}}$ ; ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{6}{8}}$ ; $-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{4}{8}}$ ; ${\displaystyle \frac{5}{-4}}=-{\displaystyle \frac{10}{8}}$. On range les numérateurs : $-10<-5<-4<6$. Donc ${\displaystyle \frac{5}{-4}}<{\displaystyle \frac{-5}{8}}<-{\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{3}{4}}$. (0,5 pt pour les signes et le dénominateur commun + 0,5 pt pour l'ordre) (1)

Piège — l'opposé et l'inverse sont deux choses différentes : l'opposé change le signe (la somme des deux nombres vaut $0$), l'inverse retourne la fraction et garde le signe (le produit vaut $1$).

1. a)Dénominateur commun $15$ : ${\displaystyle \frac{-6}{15}}+{\displaystyle \frac{5}{15}}={\displaystyle \frac{-6+5}{15}}={\displaystyle \frac{-1}{15}}$, soit $-{\displaystyle \frac{1}{15}}$. (0,5 pt pour la mise au même dénominateur + 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)Soustraire $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$, c'est ajouter ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ : ${\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{10}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{13}{12}}$ (non simplifiable). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Signes contraires : le produit est négatif. ${\displaystyle \frac{6\times 14}{7\times 9}}={\displaystyle \frac{2\times 3\times 2\times 7}{7\times 3\times 3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$, donc le produit vaut $-{\displaystyle \frac{4}{3}}$. (0,5 pt pour le signe + 0,5 pt pour la valeur simplifiée) (1)
4. d)Diviser par $-{\displaystyle \frac{9}{5}}$, c'est multiplier par son inverse $-{\displaystyle \frac{5}{9}}$ : ${\displaystyle \frac{3}{10}}\times (-{\displaystyle \frac{5}{9}})$. Signes contraires : le résultat est négatif. ${\displaystyle \frac{3\times 5}{10\times 9}}={\displaystyle \frac{3\times 5}{2\times 5\times 3\times 3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$, donc le résultat est $-{\displaystyle \frac{1}{6}}$. (0,5 pt pour l'inverse + 0,5 pt pour le résultat) (1)

Astuce — pour additionner ou soustraire, il faut un dénominateur commun ; pour multiplier ou diviser, on n'en cherche pas : on décompose les nombres et on simplifie avant d'effectuer.

1. a)Les ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ de $2400$ : $2400÷8=300$, puis $300\times 3=900$. La médiathèque possède $900$ romans. (1 pt) (1)
2. b)Les ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ des ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ des livres : ${\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{6}{40}}={\displaystyle \frac{3}{20}}$ (on divise par $2$). Les romans policiers représentent ${\displaystyle \frac{3}{20}}$ des livres. (0,5 pt pour le produit + 0,5 pt pour la simplification) (1)
3. c)Les ${\displaystyle \frac{3}{20}}$ de $2400$ : $2400÷20=120$, puis $120\times 3=360$ romans policiers. Vérification : les ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ des $900$ romans : $900÷5=180$, puis $180\times 2=360$. (0,5 pt + 0,5 pt pour la vérification) (1)
4. d)Romans et bandes dessinées : ${\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{9}{24}}+{\displaystyle \frac{4}{24}}={\displaystyle \frac{13}{24}}$. Documentaires : $1-{\displaystyle \frac{13}{24}}={\displaystyle \frac{24}{24}}-{\displaystyle \frac{13}{24}}={\displaystyle \frac{11}{24}}$ des livres. Nombre : $2400÷24=100$, puis $100\times 11=1100$ documentaires. Contrôle : $900+400+1100=2400$. (0,5 pt pour ${\displaystyle \frac{11}{24}}$ + 0,5 pt pour $1100$) (1)

Méthode — « les ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ des ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ » se traduit par un produit : prendre une fraction d'une fraction, c'est multiplier les deux fractions.

1. a)Multiplications et divisions de gauche à droite : $(-12)÷(-4)=3$ (même signe), puis $3\times (-5)=-15$. Enfin $A=-15+8=-7$. (0,5 pt pour $-15$ + 0,5 pt pour $-7$) (1)
2. b)Parenthèse : $5-11=-6$. Puissances : $(-2{)}^3=-8$ et $(-6{)}^2=36$. Produit : $3\times (-8)=-24$. Donc $B=-24-36=-60$. (0,5 pt pour $-8$ et $36$ + 0,5 pt pour $-60$) (1)
3. c)Numérateur : $(-4)\times 9+6=-36+6=-30$. Dénominateur : $-7+2=-5$. $C=(-30)÷(-5)=6$ (même signe : positif). (0,5 pt pour le numérateur et le dénominateur + 0,5 pt pour $6$) (1)
4. d)Une division à trou se complète par une multiplication : $35\times (-0,2)=-7$. Vérification : $(-7)÷(-0,2)$ est positif et $7÷0,2=70÷2=35$. Le nombre manquant est $-7$. (0,5 pt + 0,5 pt pour la vérification) (1)

Piège — des multiplications et des divisions qui se suivent se calculent de gauche à droite : dans $A$, on ne commence pas par $(-4)\times (-5)$.

1. a)${\displaystyle \frac{-5}{-4}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$ (deux signes moins : positif) et $-1,25=-{\displaystyle \frac{125}{100}}=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$. Avec le dénominateur $24$ : $-{\displaystyle \frac{7}{6}}=-{\displaystyle \frac{28}{24}}$ ; $-{\displaystyle \frac{5}{4}}=-{\displaystyle \frac{30}{24}}$ ; $-{\displaystyle \frac{9}{8}}=-{\displaystyle \frac{27}{24}}$ ; $1={\displaystyle \frac{24}{24}}$ ; ${\displaystyle \frac{5}{4}}={\displaystyle \frac{30}{24}}$. Comme $-30<-28<-27<24<30$ : $-1,25<-{\displaystyle \frac{7}{6}}<-{\displaystyle \frac{9}{8}}<1<{\displaystyle \frac{-5}{-4}}$. (0,5 pt pour les signes et $-1,25=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$ + 0,5 pt pour l'ordre) (1)
2. b)Sans le signe : $47=9\times 5+2$, donc $5<{\displaystyle \frac{47}{9}}<6$. En passant aux opposés, les inégalités changent de sens : $-6<-{\displaystyle \frac{47}{9}}<-5$. (0,5 pt pour la division euclidienne + 0,5 pt pour l'encadrement des opposés) (1)
3. c)Avec le dénominateur $35$ : $-{\displaystyle \frac{3}{5}}=-{\displaystyle \frac{21}{35}}$ et $-{\displaystyle \frac{4}{7}}=-{\displaystyle \frac{20}{35}}$ ; il n'y a pas d'entier entre $-21$ et $-20$. Avec le dénominateur $70$ : $-{\displaystyle \frac{42}{70}}$ et $-{\displaystyle \frac{40}{70}}$, donc $-{\displaystyle \frac{3}{5}}<-{\displaystyle \frac{41}{70}}<-{\displaystyle \frac{4}{7}}$. (1 pt ; toute autre fraction juste et justifiée est acceptée, par exemple $-{\displaystyle \frac{83}{140}}$ ou $-{\displaystyle \frac{59}{100}}$) (1)
4. d)${(-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2$ a deux facteurs négatifs : il est positif. ${(-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^3$ a trois facteurs négatifs : il est négatif. Un nombre négatif est plus petit qu'un nombre positif, donc ${(-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^3<{(-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2$. (0,5 pt pour les deux signes + 0,5 pt pour la comparaison) (1)

Astuce — quand il n'y a aucun numérateur entier entre deux fractions de même dénominateur, on double ce dénominateur : il apparaît de la place entre les deux numérateurs.

1. a)Le produit d'abord : ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{9}{4}}={\displaystyle \frac{2\times 3\times 3}{3\times 2\times 2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{9}{6}}$. Puis $D={\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{9}{6}}=-{\displaystyle \frac{4}{6}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$. (0,5 pt pour le produit + 0,5 pt pour $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$) (1)
2. b)Parenthèse : $-{\displaystyle \frac{9}{12}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}=-{\displaystyle \frac{7}{12}}$. Puis on multiplie par l'inverse de ${\displaystyle \frac{7}{2}}$ : $E=-{\displaystyle \frac{7}{12}}\times {\displaystyle \frac{2}{7}}=-{\displaystyle \frac{7\times 2}{2\times 6\times 7}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$. (0,5 pt pour la parenthèse + 0,5 pt pour $-{\displaystyle \frac{1}{6}}$) (1)
3. c)Numérateur : ${\displaystyle \frac{2}{5}}-{\displaystyle \frac{5}{5}}=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$. Puis $F=-{\displaystyle \frac{3}{5}}÷{\displaystyle \frac{3}{10}}=-{\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{10}{3}}=-{\displaystyle \frac{30}{15}}=-2$. (0,5 pt pour le numérateur + 0,5 pt pour $-2$) (1)
4. d)La division d'abord : ${\displaystyle \frac{5}{6}}÷(-{\displaystyle \frac{5}{3}})={\displaystyle \frac{5}{6}}\times (-{\displaystyle \frac{3}{5}})=-{\displaystyle \frac{15}{30}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Puis $G=-{\displaystyle \frac{1}{2}}-(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$. (0,5 pt pour le quotient + 0,5 pt pour $0$) (1)

Erreur fréquente — dans $D$ ou dans $G$, commencer par la soustraction donne un résultat faux : le produit ou le quotient passe avant, même s'il est écrit à droite.

1. a)Emma a tort. $-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{-3}{12}}-{\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{-3-2}{12}}=-{\displaystyle \frac{5}{12}}$. On retire un nombre positif à $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ : le résultat est encore plus loin de zéro que $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$, il ne peut pas valoir $-{\displaystyle \frac{1}{12}}$. (0,5 pt pour « tort » justifié + 0,5 pt pour $-{\displaystyle \frac{5}{12}}$) (1)
2. b)Yanis a tort : il a calculé $({\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{5}{4}})\times 2$. Le produit passe avant : ${\displaystyle \frac{5}{4}}\times 2={\displaystyle \frac{10}{4}}$, puis ${\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{10}{4}}=-{\displaystyle \frac{7}{4}}$. (0,5 pt pour l'erreur de priorité + 0,5 pt pour $-{\displaystyle \frac{7}{4}}$) (1)
3. c)Lou a raison. Quatre facteurs négatifs, c'est un nombre pair : le produit est positif. $1,5\times 2=3$ et $0,4\times 5=2$, puis $3\times 2=6$. (0,5 pt pour le signe + 0,5 pt pour la valeur) (1)
4. d)Sacha a raison. Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse ; l'inverse de ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ est ${\displaystyle \frac{5}{2}}=2,5$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{2}{5}}\times 2,5=0,4\times 2,5=1$. (1 pt) (1)

Méthode — pour juger une affirmation, on refait le calcul soi-même, puis on contrôle le signe et l'ordre de grandeur du résultat annoncé.

1. a)Aire = longueur × largeur : ${\displaystyle \frac{4}{5}}\times {\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{4\times 5}{5\times 2\times 4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. L'aire du terrain est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ km². (1 pt) (1)
2. b)Les ${\displaystyle \frac{3}{10}}$ de ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ km² : ${\displaystyle \frac{3}{10}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{20}}$. La forêt a une aire de ${\displaystyle \frac{3}{20}}$ km². (1 pt) (1)
3. c)Aire restante : ${\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{20}}={\displaystyle \frac{10}{20}}-{\displaystyle \frac{3}{20}}={\displaystyle \frac{7}{20}}$ km². On cherche combien de fois ${\displaystyle \frac{1}{40}}$ est contenu dans ${\displaystyle \frac{7}{20}}$ : ${\displaystyle \frac{7}{20}}÷{\displaystyle \frac{1}{40}}={\displaystyle \frac{7}{20}}\times 40={\displaystyle \frac{280}{20}}=14$. On obtient $14$ parcelles. (0,5 pt pour l'aire restante + 0,5 pt pour la division) (1)
4. d)Aire vendue : $5\times {\displaystyle \frac{1}{40}}={\displaystyle \frac{5}{40}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$ km². Le terrain mesure ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ km² : la fraction vendue est ${\displaystyle \frac{1}{8}}÷{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{8}}\times 2={\displaystyle \frac{1}{4}}$. La commune a vendu le quart du terrain. (0,5 pt pour ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ km² + 0,5 pt pour ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ ; la réponse « ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ du terrain » ne reçoit que 0,5 pt) (1)

Piège — une aire de ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ km² n'est pas « ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ du terrain » : le terrain ne mesure pas $1$ km², il faut comparer à son aire de ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ km².

1. a)$P$ a $15$ facteurs, tous négatifs : $15$ est impair, donc $P$ est négatif. Dans $Q$, les carrés sont positifs et les cubes de nombres négatifs sont négatifs : $Q$ a deux facteurs négatifs, $(-2{)}^3$ et $(-4{)}^3$ ; c'est un nombre pair, donc $Q$ est positif. (On peut aussi compter $2+3+2+3=10$ facteurs négatifs en tout.) (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$x^2=x\times x$ : deux facteurs négatifs, positif. $x^3$ : trois facteurs négatifs, négatif. $-x$ est l'opposé d'un nombre négatif : positif. $(-3)\times x^3$ est le produit de deux nombres négatifs ($-3$ et $x^3$) : positif. (0,5 pt pour $x^2$ et $x^3$ + 0,5 pt pour $-x$ et $(-3)\times x^3$) (1)
3. c)Le produit est négatif : les deux nombres sont de signes contraires. Le produit de leurs distances à zéro vaut $12$ : $1$ et $12$, $2$ et $6$, ou $3$ et $4$. Pour deux nombres de signes contraires, la somme a pour distance à zéro la différence des distances : il faut une différence de $1$, donc $3$ et $4$. La somme est négative, donc le plus éloigné de zéro est négatif : les nombres sont $-4$ et $3$. Vérification : $-4+3=-1$ et $(-4)\times 3=-12$. (0,5 pt pour la démarche + 0,5 pt pour $-4$ et $3$ vérifiés) (1)
4. d)Une multiplication à trou se complète par une division : ${\displaystyle \frac{9}{10}}÷(-{\displaystyle \frac{3}{4}})={\displaystyle \frac{9}{10}}\times (-{\displaystyle \frac{4}{3}})$. Signes contraires : négatif. ${\displaystyle \frac{9\times 4}{10\times 3}}={\displaystyle \frac{3\times 3\times 2\times 2}{2\times 5\times 3}}={\displaystyle \frac{6}{5}}$, donc le nombre manquant est $-{\displaystyle \frac{6}{5}}$. Vérification : $(-{\displaystyle \frac{3}{4}})\times (-{\displaystyle \frac{6}{5}})={\displaystyle \frac{18}{20}}={\displaystyle \frac{9}{10}}$. (0,5 pt + 0,5 pt pour la vérification) (1)

Astuce — pour le signe d'un produit, on ne compte que les facteurs négatifs : un carré est toujours positif, et le cube d'un nombre négatif reste négatif.

1. a)L'élève a additionné les distances à zéro alors que $-10$ et $3$ sont de signes contraires : ${\displaystyle \frac{-10+3}{12}}=-{\displaystyle \frac{7}{12}}$. Contrôle : en ajoutant un nombre positif à $-{\displaystyle \frac{5}{6}}$, on se rapproche de zéro, on ne s'en éloigne pas. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)L'élève a retourné la première fraction ; on garde ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ et on multiplie par l'inverse du diviseur ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ : ${\displaystyle \frac{4}{9}}\times {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{2\times 2\times 3}{3\times 3\times 2}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Un cube a trois facteurs : $(-{\displaystyle \frac{1}{2}})\times (-{\displaystyle \frac{1}{2}})\times (-{\displaystyle \frac{1}{2}})$. Trois facteurs négatifs, c'est un nombre impair : le résultat est négatif, ${(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^3=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)L'élève a calculé la soustraction avant le produit. Le produit d'abord : ${\displaystyle \frac{5}{3}}\times {\displaystyle \frac{6}{5}}={\displaystyle \frac{5\times 2\times 3}{3\times 5}}=2$, puis ${\displaystyle \frac{1}{3}}-2={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{6}{3}}=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — dans une division de fractions, on ne retourne que le diviseur, la fraction écrite après le signe « ÷ » ; la première fraction reste telle quelle.

1. a)$c$ a deux signes moins : $c={\displaystyle \frac{13}{14}}$ est positif, c'est le plus grand. $a$, $b$ et $d$ sont négatifs : on compare leurs distances à zéro. ${\displaystyle \frac{11}{12}}={\displaystyle \frac{143}{156}}$ et ${\displaystyle \frac{12}{13}}={\displaystyle \frac{144}{156}}$, donc ${\displaystyle \frac{11}{12}}<{\displaystyle \frac{12}{13}}$, et ces deux fractions sont plus petites que $1$ (numérateur plus petit que le dénominateur). Le plus loin de zéro est le plus petit : $d<b<a<c$, c'est-à-dire $-1<-{\displaystyle \frac{12}{13}}<-{\displaystyle \frac{11}{12}}<{\displaystyle \frac{-13}{-14}}$. (0,5 pt pour le signe de $c$ + 0,5 pt pour la comparaison de $a$ et $b$ ; on accepte aussi : il manque ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ à ${\displaystyle \frac{11}{12}}$ pour faire $1$, et seulement ${\displaystyle \frac{1}{13}}$ à ${\displaystyle \frac{12}{13}}$) (1)
2. b)$-{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{10}{15}}$ et $-{\displaystyle \frac{1}{5}}=-{\displaystyle \frac{3}{15}}$. On cherche ${\displaystyle \frac{n}{15}}$ avec $n$ entier et $-10<n<-3$ : $n=-9$ ; $-8$ ; $-7$ ; $-6$ ; $-5$ ; $-4$. Il y a six fractions : $-{\displaystyle \frac{9}{15}}$ ; $-{\displaystyle \frac{8}{15}}$ ; $-{\displaystyle \frac{7}{15}}$ ; $-{\displaystyle \frac{6}{15}}$ ; $-{\displaystyle \frac{5}{15}}$ ; $-{\displaystyle \frac{4}{15}}$. (0,5 pt pour les conversions + 0,5 pt pour la liste complète) (1)
3. c)Sans le signe : $100=7\times 14+2$, donc $14<{\displaystyle \frac{100}{7}}<15$ et, en passant aux opposés, $-15<{\displaystyle \frac{-100}{7}}<-14$. Comme ${\displaystyle \frac{100}{7}}=14+{\displaystyle \frac{2}{7}}$ et ${\displaystyle \frac{2}{7}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$, le nombre est plus près de $-14$ que de $-15$ : l'entier le plus proche est $-14$. (0,5 pt pour l'encadrement + 0,5 pt pour $-14$ justifié) (1)
4. d)Le nombre à ajouter est la différence $-{\displaystyle \frac{1}{6}}-(-{\displaystyle \frac{3}{4}})=-{\displaystyle \frac{2}{12}}+{\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{7}{12}}$. Vérification : $-{\displaystyle \frac{9}{12}}+{\displaystyle \frac{7}{12}}=-{\displaystyle \frac{2}{12}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$. Comme ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{6}{12}}$ et $7>6$, ce nombre est plus grand que ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. (0,5 pt pour ${\displaystyle \frac{7}{12}}$ + 0,5 pt pour la comparaison) (1)

Piège — entre deux nombres négatifs, le plus petit est le plus loin de zéro : ${\displaystyle \frac{11}{12}}<{\displaystyle \frac{12}{13}}$, mais $-{\displaystyle \frac{11}{12}}>-{\displaystyle \frac{12}{13}}$.

1. a)Numérateur : ${\displaystyle \frac{3}{6}}-{\displaystyle \frac{5}{6}}=-{\displaystyle \frac{2}{6}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$. Dénominateur : ${\displaystyle \frac{8}{12}}-{\displaystyle \frac{9}{12}}=-{\displaystyle \frac{1}{12}}$. Puis $H=(-{\displaystyle \frac{1}{3}})÷(-{\displaystyle \frac{1}{12}})=(-{\displaystyle \frac{1}{3}})\times (-12)={\displaystyle \frac{12}{3}}=4$ (même signe : positif). (0,5 pt pour le numérateur et le dénominateur + 0,5 pt pour $4$) (1)
2. b)Le carré d'abord : ${(-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2={\displaystyle \frac{4}{9}}$. Puis le quotient et le produit : ${\displaystyle \frac{4}{9}}÷(-{\displaystyle \frac{4}{9}})=-1$ (un nombre non nul divisé par son opposé) et ${\displaystyle \frac{3}{5}}\times (-{\displaystyle \frac{10}{9}})=-{\displaystyle \frac{3\times 2\times 5}{5\times 3\times 3}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$. Enfin $K=-1-(-{\displaystyle \frac{2}{3}})=-{\displaystyle \frac{3}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$. (0,5 pt pour $-1$ et $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ + 0,5 pt pour $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$) (1)
3. c)$(-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})\times (-{\displaystyle \frac{4}{3}})-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\times (-{\displaystyle \frac{4}{3}})-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$. La dernière opération est une soustraction : c'est une différence. (0,5 pt pour l'expression avec ses parenthèses + 0,5 pt pour $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ et « différence ») (1)
4. d)On remonte le programme avec les opérations inverses. Avant « soustraire ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ », on avait $-3+{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{8}{3}}$. Avant « multiplier par $-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ », on avait $-{\displaystyle \frac{8}{3}}÷(-{\displaystyle \frac{4}{3}})={\displaystyle \frac{8}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}=2$. Avant « ajouter ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ », on avait $2-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Il faut choisir ${\displaystyle \frac{3}{2}}$. Vérification : $({\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})\times (-{\displaystyle \frac{4}{3}})-{\displaystyle \frac{1}{3}}=2\times (-{\displaystyle \frac{4}{3}})-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{8}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-3$. (0,5 pt pour la démarche + 0,5 pt pour ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ vérifié) (1)

Méthode — pour remonter un programme de calcul, on part de la fin et on défait chaque étape avec l'opération inverse : soustraire devient ajouter, multiplier par un nombre devient diviser par ce nombre.

1. a)Les ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ des ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ des élèves : ${\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{2\times 5}{5\times 2\times 3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Un tiers des élèves du collège a choisi A. (1 pt) (1)
2. b)$1-{\displaystyle \frac{2}{5}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{40}{40}}-{\displaystyle \frac{16}{40}}-{\displaystyle \frac{15}{40}}={\displaystyle \frac{9}{40}}$ des votants ont choisi C. (1 pt) (1)
3. c)C représente ${\displaystyle \frac{9}{40}}\times {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{3\times 3\times 5}{5\times 8\times 2\times 3}}={\displaystyle \frac{3}{16}}$ des élèves. Les ${\displaystyle \frac{3}{16}}$ des élèves valent $81$ : ${\displaystyle \frac{1}{16}}$ des élèves vaut $81÷3=27$, et le collège compte $27\times 16=432$ élèves. Vérification : $432÷6\times 5=360$ votants, et $360÷40\times 9=81$. (0,5 pt pour ${\displaystyle \frac{3}{16}}$ + 0,5 pt pour $432$ ; on accepte aussi : $81$ voix font les ${\displaystyle \frac{9}{40}}$ des votants, donc $81÷9\times 40=360$ votants, puis $360÷5\times 6=432$ élèves) (1)
4. d)Avec $360$ votants : A obtient ${\displaystyle \frac{2}{5}}\times 360=144$ voix et B obtient ${\displaystyle \frac{3}{8}}\times 360=135$ voix ; A a $144-135=9$ voix d'avance. 1re façon : ${\displaystyle \frac{9}{360}}={\displaystyle \frac{1}{40}}$ des votants. 2e façon : ${\displaystyle \frac{2}{5}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{16}{40}}-{\displaystyle \frac{15}{40}}={\displaystyle \frac{1}{40}}$. (0,5 pt pour les $9$ voix + 0,5 pt pour ${\displaystyle \frac{1}{40}}$ obtenu de deux façons) (1)

Erreur fréquente — les fractions de l'énoncé ne portent pas toutes sur le même tout : ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ est une part des votants, pas des élèves ; pour revenir aux élèves, on multiplie par ${\displaystyle \frac{5}{6}}$.