Fractions : comparer, additionner, soustraire avec des relatifs

Simplifier ${\displaystyle \frac{42}{56}}$ : 42 et 56 sont dans la table de 14, donc ${\displaystyle \frac{42}{56}}={\displaystyle \frac{42÷14}{56÷14}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Par étapes, on peut diviser par 2, puis par 7.

Compléter ${\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{\dots }{63}}$ : $9\times 7=63$, donc le numérateur est multiplié par 7 lui aussi : ${\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{28}{63}}$.

Comparer ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{12}}$ : table de 12 : 12, 24, et $24=8\times 3$. ${\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{15}{24}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{14}{24}}$ ; $15>14$, donc ${\displaystyle \frac{5}{8}}>{\displaystyle \frac{7}{12}}$. Le produit $8\times 12=96$ marcherait aussi, avec de plus grands nombres.

Même numérateur : ${\displaystyle \frac{7}{10}}>{\displaystyle \frac{7}{12}}$, car un dixième est plus gros qu’un douzième.

${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{10}{12}}-{\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$  ·  $2-{\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{14}{7}}-{\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{11}{7}}$

Les ${\displaystyle \frac{4}{7}}$ de $84$ km : $84÷7=12$, puis $12\times 4=48$ km. À l’envers : si les ${\displaystyle \frac{3}{10}}$ d’un trajet font $12$ km, alors ${\displaystyle \frac{1}{10}}$ du trajet fait $12÷3=4$ km, et le trajet entier $4\times 10=40$ km.

${\displaystyle \frac{-6}{7}}={\displaystyle \frac{6}{-7}}=-{\displaystyle \frac{6}{7}}$ (un seul signe moins : la fraction est négative)  ·  ${\displaystyle \frac{-9}{-11}}={\displaystyle \frac{9}{11}}$ (deux signes moins : elle est positive).

Écriture décimale : ${\displaystyle \frac{-7}{4}}$ est le quotient de $-7$ par $4$. Comme $7÷4=1,75$, on a ${\displaystyle \frac{-7}{4}}=-1,75$.

Compléter $-{\displaystyle \frac{4}{7}}=-{\displaystyle \frac{\dots }{35}}$ : $7\times 5=35$, donc $4\times 5=20$ : $-{\displaystyle \frac{4}{7}}=-{\displaystyle \frac{20}{35}}$, que l’on peut aussi écrire ${\displaystyle \frac{-20}{35}}$ ou ${\displaystyle \frac{20}{-35}}$.

Simplifier ${\displaystyle \frac{21}{-35}}$ : un seul signe moins, la fraction est négative, elle s’écrit $-{\displaystyle \frac{21}{35}}$. Puis 21 et 35 sont dans la table de 7 : ${\displaystyle \frac{21}{35}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$, donc ${\displaystyle \frac{21}{-35}}=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$.

Numérateur nul : ${\displaystyle \frac{0}{-3}}=0$, car $-3\times 0=0$. Une fraction de numérateur nul vaut 0, quel que soit le signe du dénominateur (0 est à la fois positif et négatif, mais ni strictement positif ni strictement négatif).

$0,45={\displaystyle \frac{45}{100}}={\displaystyle \frac{9}{20}}$ (on divise par 5), donc $-0,45=-{\displaystyle \frac{9}{20}}$ : c’est un nombre rationnel.

L’opposé de ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ est $-{\displaystyle \frac{4}{5}}$ ; l’opposé de $-{\displaystyle \frac{8}{3}}$ est ${\displaystyle \frac{8}{3}}$.

Sur la droite graduée en quarts, A est le point le plus à gauche et C le plus à droite : $-{\displaystyle \frac{7}{4}}<-{\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Comparer $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ et $-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ : sans les signes, ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{10}{15}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{9}{15}}$, donc ${\displaystyle \frac{2}{3}}>{\displaystyle \frac{3}{5}}$. $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ est plus loin de zéro : $-{\displaystyle \frac{2}{3}}<-{\displaystyle \frac{3}{5}}$.

Ranger $-{\displaystyle \frac{7}{10}}$ ; ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ ; $-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ ; $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ dans l’ordre croissant. Avec le dénominateur 20, ces nombres s’écrivent ${\displaystyle \frac{-14}{20}}$ ; ${\displaystyle \frac{8}{20}}$ ; ${\displaystyle \frac{-15}{20}}$ ; ${\displaystyle \frac{-10}{20}}$. Or $-15<-14<-10<8$, donc $-{\displaystyle \frac{3}{4}}<-{\displaystyle \frac{7}{10}}<-{\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{2}{5}}$.

Intercaler un nombre entre $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ : avec le dénominateur 12, ce sont ${\displaystyle \frac{-4}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{-3}{12}}$, sans numérateur entier entre $-4$ et $-3$. Avec le dénominateur 24, ce sont ${\displaystyle \frac{-8}{24}}$ et ${\displaystyle \frac{-6}{24}}$ : $-{\displaystyle \frac{7}{24}}$ convient.

Encadrer $-{\displaystyle \frac{17}{5}}$ : $17÷5$ : 3, il reste 2, donc $3<{\displaystyle \frac{17}{5}}<4$ et, en passant aux opposés, $-4<-{\displaystyle \frac{17}{5}}<-3$.

$-{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$ : dénominateur commun 12. On écrit ${\displaystyle \frac{-8}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{-8+3}{12}}={\displaystyle \frac{-5}{12}}$, donc $-{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}=-{\displaystyle \frac{5}{12}}$.

${\displaystyle \frac{2}{9}}-(-{\displaystyle \frac{5}{6}})={\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{4}{18}}+{\displaystyle \frac{15}{18}}={\displaystyle \frac{19}{18}}$ : soustraire $-{\displaystyle \frac{5}{6}}$, c’est ajouter ${\displaystyle \frac{5}{6}}$.

$-4+{\displaystyle \frac{2}{3}}$ : $-4={\displaystyle \frac{-12}{3}}$, et ${\displaystyle \frac{-12}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{-10}{3}}$, donc $-4+{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{10}{3}}$.

Trois fractions, $-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{10}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}$ : 10 est un multiple de 2 et de 5. On écrit ${\displaystyle \frac{-5}{10}}+{\displaystyle \frac{7}{10}}-{\displaystyle \frac{8}{10}}={\displaystyle \frac{-5+7-8}{10}}={\displaystyle \frac{-6}{10}}$, donc le résultat est $-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ (on divise par 2).

Nombre à ajouter à $-{\displaystyle \frac{2}{5}}$ pour obtenir ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ : c’est ${\displaystyle \frac{1}{3}}-(-{\displaystyle \frac{2}{5}})={\displaystyle \frac{5}{15}}+{\displaystyle \frac{6}{15}}={\displaystyle \frac{11}{15}}$. Vérification : ${\displaystyle \frac{-6}{15}}+{\displaystyle \frac{11}{15}}={\displaystyle \frac{5}{15}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.