Fractions : comparer, additionner, soustraire avec des relatifs

1. a)$105=15\times 7$ et $135=15\times 9$ : on divise par $15$, ${\displaystyle \frac{105}{135}}={\displaystyle \frac{7}{9}}$ (1)
2. b)Table de $18$ : $18$, $36$, et $36=12\times 3$. ${\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{15}{36}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{18}}={\displaystyle \frac{14}{36}}$ ; $15>14$, donc ${\displaystyle \frac{5}{12}}>{\displaystyle \frac{7}{18}}$ (1)
3. c)Table de $14$ : $14$, $28$, et $28=4\times 7$. ${\displaystyle \frac{6}{28}}+{\displaystyle \frac{7}{28}}={\displaystyle \frac{13}{28}}$ (1)
4. d)$4={\displaystyle \frac{28}{7}}$, donc ${\displaystyle \frac{28}{7}}-{\displaystyle \frac{9}{7}}={\displaystyle \frac{19}{7}}$ (1)

Méthode — Pour comparer ou additionner, on réduit au plus petit dénominateur commun, trouvé dans la table du plus grand dénominateur.

1. a)${\displaystyle \frac{7}{-3}}=-{\displaystyle \frac{7}{3}}$ (un signe moins) ; ${\displaystyle \frac{-5}{-8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$ (deux signes moins) ; ${\displaystyle \frac{-4}{9}}=-{\displaystyle \frac{4}{9}}$, et le signe moins placé devant donne son opposé : $-{\displaystyle \frac{-4}{9}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$ (1)
2. b)$7\times 9=63$ et $5\times 9=45$ : $-{\displaystyle \frac{5}{7}}={\displaystyle \frac{-45}{63}}$. Pour avoir $20$ au numérateur (positif), on multiplie $5$ par $4$ et le signe moins passe au dénominateur : $-{\displaystyle \frac{5}{7}}={\displaystyle \frac{20}{-28}}$ (1)
3. c)Deux signes moins : ${\displaystyle \frac{-60}{-75}}={\displaystyle \frac{60}{75}}$ ; $60=15\times 4$ et $75=15\times 5$, donc ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ (1)
4. d)$1,35={\displaystyle \frac{135}{100}}={\displaystyle \frac{27}{20}}$ (on divise par $5$), donc $-1,35=-{\displaystyle \frac{27}{20}}$. C’est le quotient de deux entiers relatifs, $-27$ et $20$ : c’est un nombre rationnel (1)

Repère — Un signe moins rend la fraction négative, deux se compensent ; on écrit le signe devant et le dénominateur positif.

1. a)Sans les signes : ${\displaystyle \frac{5}{9}}={\displaystyle \frac{20}{36}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{21}{36}}$, donc ${\displaystyle \frac{5}{9}}<{\displaystyle \frac{7}{12}}$. On inverse : $-{\displaystyle \frac{5}{9}}>-{\displaystyle \frac{7}{12}}$ (1)
2. b)Avec le dénominateur $12$ : ${\displaystyle \frac{2}{12}}$ ; ${\displaystyle \frac{-8}{12}}$ ; ${\displaystyle \frac{-9}{12}}$ ; ${\displaystyle \frac{-1}{12}}$ ; $0$. Donc $-{\displaystyle \frac{3}{4}}<-{\displaystyle \frac{2}{3}}<-{\displaystyle \frac{1}{12}}<0<{\displaystyle \frac{1}{6}}$ (1)
3. c)$38÷7$ : $5$, il reste $3$, donc $5<{\displaystyle \frac{38}{7}}<6$ et $-6<-{\displaystyle \frac{38}{7}}<-5$ (1)
4. d)Elle a tort : on ne compare pas numérateurs et dénominateurs séparément. ${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{25}{30}}$ et ${\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{24}{30}}$, donc ${\displaystyle \frac{5}{6}}>{\displaystyle \frac{4}{5}}$ ; $-{\displaystyle \frac{5}{6}}$ est plus loin de zéro, donc $-{\displaystyle \frac{5}{6}}<-{\displaystyle \frac{4}{5}}$ (1)

Le point clé — Entre deux négatifs, l’ordre des nombres sans signe s’inverse : le plus loin de zéro est le plus petit.

1. a)Dénominateur commun $24$ : ${\displaystyle \frac{14}{24}}-{\displaystyle \frac{15}{24}}={\displaystyle \frac{-1}{24}}$, donc $A=-{\displaystyle \frac{1}{24}}$ (1)
2. b)Dénominateur commun $12$ : ${\displaystyle \frac{-10}{12}}+{\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{-1}{12}}$, donc $B=-{\displaystyle \frac{1}{12}}$ (1)
3. c)Dénominateur commun $18$ : ${\displaystyle \frac{12}{18}}+{\displaystyle \frac{10}{18}}-{\displaystyle \frac{9}{18}}={\displaystyle \frac{13}{18}}$, donc $C={\displaystyle \frac{13}{18}}$ (1)
4. d)Il a additionné les numérateurs ($-2+1$) et les dénominateurs ($3+5$) : on n’additionne jamais les dénominateurs. Au dénominateur $15$ : ${\displaystyle \frac{-10}{15}}+{\displaystyle \frac{3}{15}}={\displaystyle \frac{-7}{15}}$, le bon résultat est $-{\displaystyle \frac{7}{15}}$ (1)

Méthode — Signe au numérateur, dénominateur commun positif, puis les numérateurs se calculent avec les règles des relatifs.

1. a)Dénominateur commun $60$ : ${\displaystyle \frac{24}{60}}+{\displaystyle \frac{15}{60}}+{\displaystyle \frac{10}{60}}={\displaystyle \frac{49}{60}}$ du coût (1)
2. b)${\displaystyle \frac{60}{60}}-{\displaystyle \frac{49}{60}}={\displaystyle \frac{11}{60}}$ du coût (1)
3. c)${\displaystyle \frac{11}{60}}-{\displaystyle \frac{12}{60}}={\displaystyle \frac{-1}{60}}$ : la différence est négative, la part de la mairie dépasse le besoin de ${\displaystyle \frac{1}{60}}$ du coût. Le voyage est entièrement financé (1)
4. d)${\displaystyle \frac{1}{60}}$ de $7200$ € : $7200÷60=120$ €. La mairie pourrait donner $120$ € de moins (1)

Méthode — La part manquante, c’est 1 moins les parts connues ; le signe d’une différence dit laquelle des deux parts est la plus grande.