Fiche de révision : multiplier et diviser des fractions

Rappels de 5e (fraction comme quotient, fraction × entier, fraction d’une quantité) ; produit de fractions positives ou négatives en simplifiant avant de multiplier, fraction d’une fraction ; inverse d’un nombre non nul ; diviser par une fraction ; enchaîner les quatre opérations avec les priorités et les barres de fraction.

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Fractions : multiplier, inverse et diviser

Fiche méthode

(Mathématiques 4ᵉ · Nombres et calculs · Nombres rationnels)

La démarche pour calculer avec des fractions

1. Je repère l’opération et les priorités. Parenthèses, puis × et ÷ de gauche à droite, puis + et −.

2. Je fixe le signe d’un produit ou d’un quotient avec la règle des signes.

3. Je calcule. × : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux, en simplifiant avant. ÷ : je multiplie par l’inverse de la fraction diviseur. + et − : au même dénominateur.

4. Je simplifie le résultat et je contrôle (un nombre fois son inverse doit donner 1).

Le réflexe — on ne cherche un dénominateur commun que pour additionner ou soustraire ; pour diviser, on multiplie par l’inverse.

Cas 1 · Rappels de 5e : fraction × entier, fraction d’une quantité

Réflexe — fois un entier, je multiplie seulement le numérateur ; « les $\frac{a}{b}$ de », je divise par $b$ puis je multiplie par $a$ .

Exemple 1. Calculer $8 \times \frac{5}{12}$ .

$8 \times \frac{5}{12} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$ (je garde $12$ , puis je divise par $4$ ).

Exemple 2. Calculer les $\frac{3}{7}$ de $56$ €.

$56 \div 7 = 8$ , puis $8 \times 3 = 24$ : cela fait $24$ €. C’est aussi $\frac{3}{7} \times 56$ .

Attention — le dénominateur ne se multiplie pas par l’entier : $8 \times \frac{5}{12}$ ne vaut pas $\frac{40}{96}$ .

Cas 2 · Multiplier des fractions

Réflexe — signe d’abord ; numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux, sur une seule barre ; je simplifie avant de multiplier.

Exemple 1. Calculer $\frac{6}{35} \times \frac{14}{9}$ .

$\frac{6 \times 14}{35 \times 9} = \frac{2 \times 3 \times 2 \times 7}{5 \times 7 \times 3 \times 3} = \frac{4}{15}$ (je supprime $3$ et $7$ ).

Exemple 2. Calculer $(- \frac{3}{4}) \times \frac{2}{9}$ .

Signes contraires : négatif. $\frac{3 \times 2}{4 \times 9} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ , donc le produit vaut $- \frac{1}{6}$ .

Attention — pas de dénominateur commun pour multiplier ; et un numérateur se simplifie avec un dénominateur, jamais avec l’autre numérateur.

Cas 3 · Inverse d’un nombre

Réflexe — je retourne la fraction et je garde le signe ; un décimal, je l’écris d’abord en fraction.

Exemple 1. Donner l’inverse de $\frac{5}{13}$ et de $- 6$ .

L’inverse de $\frac{5}{13}$ est $\frac{13}{5}$ ; celui de $- 6$ est $- \frac{1}{6}$ (même signe).

Exemple 2. Donner l’inverse de $1, 6$ .

$1, 6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$ , donc son inverse est $\frac{5}{8} = 0, 625$ . Contrôle : $1, 6 \times 0, 625 = 1$ .

Attention — l’inverse n’est pas l’opposé ( $- 6$ a pour opposé $6$ ), et $0$ n’a pas d’inverse.

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Cas 4 · Diviser par une fraction

Réflexe — je garde la première fraction, ÷ devient ×, et la fraction diviseur est remplacée par son inverse.

Exemple 1. Calculer $\frac{9}{14} \div \frac{3}{7}$ .

$\frac{9}{14} \div \frac{3}{7} = \frac{9}{14} \times \frac{7}{3} = \frac{63}{42} = \frac{3}{2}$ (je divise par $21$ ).

Exemple 2. Calculer $\frac{2}{9} \div 4$ .

$\frac{2}{9} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ .

Attention — on ne retourne jamais la première fraction, seulement celle par laquelle on divise.

Cas 5 · Enchaîner les quatre opérations

Réflexe — je repère d’abord les produits et les quotients, je les calcule, puis j’additionne ou je soustrais au même dénominateur.

Exemple. Calculer $\frac{1}{2} - \frac{3}{4} \times \frac{2}{9}$ .

Le produit d’abord : $\frac{3}{4} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .

Puis $\frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

Attention — on ne calcule pas de gauche à droite sans regarder les priorités : $\frac{1}{2} - \frac{3}{4}$ ne se fait pas en premier.

Les pièges

Chercher un dénominateur commun pour multiplier : $\frac{4}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{8}{25}$ , pas $\frac{8}{5}$ .
Oublier le signe : $(- \frac{2}{3}) \times \frac{5}{7}$ est négatif, il vaut $- \frac{10}{21}$ .
Confondre inverse et opposé : l’inverse de $\frac{7}{2}$ est $\frac{2}{7}$ , son opposé est $- \frac{7}{2}$ .
Retourner la mauvaise fraction : pour $\frac{3}{10} \div \frac{9}{4}$ , on calcule $\frac{3}{10} \times \frac{4}{9}$ , pas $\frac{10}{3} \times \frac{9}{4}$ .
Calculer une somme avant un produit : dans $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \times 2$ , le produit passe d’abord.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode résume en quatre étapes comment calculer avec des fractions : repérer l’opération et les priorités, fixer le signe, multiplier ou multiplier par l’inverse, simplifier. Un exemple corrigé par cas, du produit par un entier à l’enchaînement des opérations, et les pièges classiques comme confondre inverse et opposé.

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