Fractions : comparer, additionner, soustraire avec des relatifs

Donne la forme irréductible, sous la forme a/b, ou complète.

1. Forme irréductible de ${\displaystyle \frac{35}{56}}$ :
   $35=7\times 5$ et $56=7\times 8$ : on divise par $7$, ${\displaystyle \frac{35}{56}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$.
2. Forme irréductible de ${\displaystyle \frac{84}{36}}$ :
   $84=12\times 7$ et $36=12\times 3$ : on divise par $12$, ${\displaystyle \frac{84}{36}}={\displaystyle \frac{7}{3}}$.
3. Forme irréductible de ${\displaystyle \frac{75}{90}}$ :
   $75=15\times 5$ et $90=15\times 6$ : on divise par $15$, ${\displaystyle \frac{75}{90}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$.
4. ${\displaystyle \frac{8}{11}}={\displaystyle \frac{\dots }{77}}$ :
   $11\times 7=77$ : le numérateur est multiplié par $7$ lui aussi, $8\times 7=56$. Donc ${\displaystyle \frac{8}{11}}={\displaystyle \frac{56}{77}}$.

Compare : écris <, > ou =.

1. ${\displaystyle \frac{3}{7}}$ ${\displaystyle \frac{4}{9}}$
   Dénominateur commun $63$ : ${\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{27}{63}}$ et ${\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{28}{63}}$. $27<28$, donc ${\displaystyle \frac{3}{7}}<{\displaystyle \frac{4}{9}}$.
2. ${\displaystyle \frac{11}{15}}$ ${\displaystyle \frac{7}{10}}$
   Table de $15$ : $15$, $30$, et $30=10\times 3$. ${\displaystyle \frac{11}{15}}={\displaystyle \frac{22}{30}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{10}}={\displaystyle \frac{21}{30}}$, donc ${\displaystyle \frac{11}{15}}>{\displaystyle \frac{7}{10}}$.
3. ${\displaystyle \frac{9}{12}}$ ${\displaystyle \frac{15}{20}}$
   On simplifie : ${\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ (par $3$) et ${\displaystyle \frac{15}{20}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ (par $5$). Les deux fractions sont égales.
4. ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ ${\displaystyle \frac{5}{11}}$
   Même numérateur : un neuvième est plus gros qu’un onzième, donc ${\displaystyle \frac{5}{9}}>{\displaystyle \frac{5}{11}}$.

Calcule. Donne le résultat simplifié, sous la forme a/b ou d’un entier.

1. ${\displaystyle \frac{7}{8}}-{\displaystyle \frac{5}{12}}=$
   Table de $12$ : $12$, $24$, et $24=8\times 3$. ${\displaystyle \frac{7}{8}}-{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{21}{24}}-{\displaystyle \frac{10}{24}}={\displaystyle \frac{11}{24}}$.
2. $3-{\displaystyle \frac{4}{5}}=$
   $3={\displaystyle \frac{15}{5}}$, donc $3-{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{15}{5}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{11}{5}}$.
3. ${\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{7}{15}}=$
   Table de $15$ : $15$, $30$, et $30=10\times 3$. ${\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{7}{15}}={\displaystyle \frac{3}{30}}+{\displaystyle \frac{14}{30}}={\displaystyle \frac{17}{30}}$.
4. ${\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}=$
   $12$ est un multiple de $4$ et de $3$. ${\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{12}}+{\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{12}{12}}=1$.

Écris chaque nombre avec le signe devant la fraction et un dénominateur positif, sans simplifier (forme -a/b ou a/b).

1. ${\displaystyle \frac{5}{-7}}=$
   Un seul signe moins : la fraction est négative. ${\displaystyle \frac{5}{-7}}=-{\displaystyle \frac{5}{7}}$.
2. ${\displaystyle \frac{-4}{-9}}=$
   Deux signes moins : ils se compensent, la fraction est positive. ${\displaystyle \frac{-4}{-9}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$.
3. $-{\displaystyle \frac{-2}{3}}=$
   ${\displaystyle \frac{-2}{3}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$, et le signe moins placé devant donne son opposé : $-(-{\displaystyle \frac{2}{3}})={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
4. ${\displaystyle \frac{0}{-8}}=$
   Le numérateur est nul : $0$ divisé par n’importe quel nombre non nul vaut $0$. ${\displaystyle \frac{0}{-8}}=0$ : le signe moins du dénominateur ne change rien.

Complète pour que les écritures soient égales.

1. $-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{\dots }{40}}$ :
   $8\times 5=40$, donc $3\times 5=15$ : $-{\displaystyle \frac{3}{8}}=-{\displaystyle \frac{15}{40}}={\displaystyle \frac{-15}{40}}$. Le signe moins va au numérateur.
2. ${\displaystyle \frac{14}{-21}}=-{\displaystyle \frac{2}{\dots }}$ :
   Un seul signe moins : ${\displaystyle \frac{14}{-21}}=-{\displaystyle \frac{14}{21}}$. Puis on divise par $7$ : $-{\displaystyle \frac{14}{21}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.
3. ${\displaystyle \frac{-27}{36}}={\displaystyle \frac{3}{\dots }}$ :
   ${\displaystyle \frac{-27}{36}}=-{\displaystyle \frac{27}{36}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ (on divise par $9$). Avec $3$ au numérateur, le signe moins passe au dénominateur : $-{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3}{-4}}$.
4. $-0,35=-{\displaystyle \frac{\dots }{20}}$ :
   $0,35={\displaystyle \frac{35}{100}}={\displaystyle \frac{7}{20}}$ (on divise par $5$), donc $-0,35=-{\displaystyle \frac{7}{20}}$.

Donne la forme irréductible, avec le signe devant (forme -a/b ou a/b), ou l’écriture décimale.

1. ${\displaystyle \frac{-18}{45}}=$
   Un seul signe moins : ${\displaystyle \frac{-18}{45}}=-{\displaystyle \frac{18}{45}}$. On divise par $9$ : $-{\displaystyle \frac{2}{5}}$.
2. ${\displaystyle \frac{-48}{-64}}=$
   Deux signes moins : ${\displaystyle \frac{-48}{-64}}={\displaystyle \frac{48}{64}}$. On divise par $16$ : ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.
3. ${\displaystyle \frac{90}{-126}}=$
   Un seul signe moins : ${\displaystyle \frac{90}{-126}}=-{\displaystyle \frac{90}{126}}$. $90=18\times 5$ et $126=18\times 7$ : on divise par $18$, $-{\displaystyle \frac{5}{7}}$.
4. Écriture décimale de $-{\displaystyle \frac{9}{8}}$ :
   $9÷8=1,125$, donc $-{\displaystyle \frac{9}{8}}=-1,125$.

Compare sans réduire au même dénominateur : écris <, > ou =.

1. $-{\displaystyle \frac{4}{7}}$ ${\displaystyle \frac{1}{9}}$
   $-{\displaystyle \frac{4}{7}}$ est négatif, ${\displaystyle \frac{1}{9}}$ est positif : un négatif est plus petit qu’un positif.
2. $-{\displaystyle \frac{5}{6}}$ $-{\displaystyle \frac{1}{6}}$
   Même dénominateur : on compare les numérateurs, $-5<-1$. Donc $-{\displaystyle \frac{5}{6}}<-{\displaystyle \frac{1}{6}}$ ($-{\displaystyle \frac{5}{6}}$ est plus loin de zéro).
3. ${\displaystyle \frac{-3}{-5}}$ $0$
   Deux signes moins : ${\displaystyle \frac{-3}{-5}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$, qui est positif. Donc ${\displaystyle \frac{-3}{-5}}>0$.
4. $-{\displaystyle \frac{9}{4}}$ $-2$
   $-2=-{\displaystyle \frac{8}{4}}$. Sans les signes, ${\displaystyle \frac{9}{4}}>{\displaystyle \frac{8}{4}}$ : $-{\displaystyle \frac{9}{4}}$ est plus loin de zéro, donc $-{\displaystyle \frac{9}{4}}<-2$.

Compare en réduisant au même dénominateur : écris <, > ou =.

1. $-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ $-{\displaystyle \frac{4}{5}}$
   Sans les signes : ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{15}{20}}$ et ${\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{16}{20}}$, donc ${\displaystyle \frac{3}{4}}<{\displaystyle \frac{4}{5}}$. J’inverse : $-{\displaystyle \frac{3}{4}}>-{\displaystyle \frac{4}{5}}$.
2. $-{\displaystyle \frac{7}{10}}$ $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$
   Sans les signes : ${\displaystyle \frac{7}{10}}={\displaystyle \frac{21}{30}}$ et ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{20}{30}}$, donc ${\displaystyle \frac{7}{10}}>{\displaystyle \frac{2}{3}}$. J’inverse : $-{\displaystyle \frac{7}{10}}<-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.
3. ${\displaystyle \frac{-11}{15}}$ $-{\displaystyle \frac{3}{4}}$
   Avec le dénominateur $60$ : ${\displaystyle \frac{-11}{15}}={\displaystyle \frac{-44}{60}}$ et $-{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{-45}{60}}$. $-44>-45$, donc ${\displaystyle \frac{-11}{15}}>-{\displaystyle \frac{3}{4}}$.
4. $-{\displaystyle \frac{12}{18}}$ ${\displaystyle \frac{10}{-15}}$
   $-{\displaystyle \frac{12}{18}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ (on divise par $6$) et ${\displaystyle \frac{10}{-15}}=-{\displaystyle \frac{10}{15}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ (on divise par $5$). Les deux nombres sont égaux.

Range, encadre ou intercale (forme -a/b ou a/b, ou un entier).

1. Ordre croissant de $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ; $-{\displaystyle \frac{5}{12}}$ ; $-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ : < < <
   Avec le dénominateur $12$ : ${\displaystyle \frac{-6}{12}}$ ; ${\displaystyle \frac{4}{12}}$ ; ${\displaystyle \frac{-5}{12}}$ ; ${\displaystyle \frac{-9}{12}}$. Or $-9<-6<-5<4$.
   Donc $-{\displaystyle \frac{3}{4}}<-{\displaystyle \frac{1}{2}}<-{\displaystyle \frac{5}{12}}<{\displaystyle \frac{1}{3}}$.
2. Entiers consécutifs : $<-{\displaystyle \frac{23}{6}}<$
   $23÷6$ : $3$, il reste $5$, donc $3<{\displaystyle \frac{23}{6}}<4$. En passant aux opposés, l’ordre s’inverse : $-4<-{\displaystyle \frac{23}{6}}<-3$.
3. Un nombre de dénominateur $10$ compris entre $-{\displaystyle \frac{2}{5}}$ et $-{\displaystyle \frac{1}{5}}$ :
   Avec le dénominateur $10$ : $-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{-4}{10}}$ et $-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{-2}{10}}$. Entre $-4$ et $-2$ il y a $-3$ : $-{\displaystyle \frac{3}{10}}$ convient.

Même dénominateur. Donne le résultat sous forme irréductible, avec le signe devant (forme -a/b ou a/b).

1. $-{\displaystyle \frac{5}{9}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}=$
   ${\displaystyle \frac{-5}{9}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{-3}{9}}$, et ${\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (on divise par $3$). Résultat : $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$.
2. ${\displaystyle \frac{3}{11}}-{\displaystyle \frac{8}{11}}=$
   ${\displaystyle \frac{3}{11}}-{\displaystyle \frac{8}{11}}={\displaystyle \frac{3-8}{11}}={\displaystyle \frac{-5}{11}}$. Résultat : $-{\displaystyle \frac{5}{11}}$.
3. $-{\displaystyle \frac{7}{10}}-{\displaystyle \frac{9}{10}}=$
   ${\displaystyle \frac{-7}{10}}-{\displaystyle \frac{9}{10}}={\displaystyle \frac{-7-9}{10}}={\displaystyle \frac{-16}{10}}$, et ${\displaystyle \frac{16}{10}}={\displaystyle \frac{8}{5}}$. Résultat : $-{\displaystyle \frac{8}{5}}$.
4. ${\displaystyle \frac{4}{13}}-(-{\displaystyle \frac{6}{13}})=$
   Soustraire $-{\displaystyle \frac{6}{13}}$, c’est ajouter ${\displaystyle \frac{6}{13}}$ : ${\displaystyle \frac{4}{13}}+{\displaystyle \frac{6}{13}}={\displaystyle \frac{10}{13}}$.

Dénominateurs différents. Donne le résultat sous forme irréductible, avec le signe devant (forme -a/b ou a/b).

1. $-{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{5}{6}}=$
   $-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{-4}{6}}$, donc ${\displaystyle \frac{-4}{6}}+{\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$.
2. ${\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{5}{6}}=$
   Table de $6$ : $6$, $12$, et $12=4\times 3$. ${\displaystyle \frac{3}{12}}-{\displaystyle \frac{10}{12}}={\displaystyle \frac{-7}{12}}$. Résultat : $-{\displaystyle \frac{7}{12}}$.
3. ${\displaystyle \frac{7}{10}}-{\displaystyle \frac{9}{4}}=$
   Table de $10$ : $10$, $20$, et $20=4\times 5$. ${\displaystyle \frac{14}{20}}-{\displaystyle \frac{45}{20}}={\displaystyle \frac{-31}{20}}$. Résultat : $-{\displaystyle \frac{31}{20}}$.
4. $-{\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{5}{6}}=$
   Table de $8$ : $8$, $16$, $24$, et $24=6\times 4$. ${\displaystyle \frac{-9}{24}}-{\displaystyle \frac{20}{24}}={\displaystyle \frac{-29}{24}}$. Résultat : $-{\displaystyle \frac{29}{24}}$.
5. ${\displaystyle \frac{1}{4}}-(-{\displaystyle \frac{7}{12}})=$
   Soustraire $-{\displaystyle \frac{7}{12}}$, c’est ajouter ${\displaystyle \frac{7}{12}}$ : ${\displaystyle \frac{3}{12}}+{\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{10}{12}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$ (on divise par $2$).

Avec un entier, trois fractions ou un terme manquant. Donne le résultat sous forme irréductible, avec le signe devant.

1. $-2+{\displaystyle \frac{5}{7}}=$
   $-2={\displaystyle \frac{-14}{7}}$, donc ${\displaystyle \frac{-14}{7}}+{\displaystyle \frac{5}{7}}={\displaystyle \frac{-9}{7}}$. Résultat : $-{\displaystyle \frac{9}{7}}$.
2. ${\displaystyle \frac{3}{5}}-1-{\displaystyle \frac{7}{10}}=$
   Au dénominateur $10$ : ${\displaystyle \frac{6}{10}}-{\displaystyle \frac{10}{10}}-{\displaystyle \frac{7}{10}}={\displaystyle \frac{6-10-7}{10}}={\displaystyle \frac{-11}{10}}$. Résultat : $-{\displaystyle \frac{11}{10}}$.
3. $-{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}=$
   Au dénominateur $12$ : ${\displaystyle \frac{-2}{12}}+{\displaystyle \frac{9}{12}}-{\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{-2+9-8}{12}}={\displaystyle \frac{-1}{12}}$. Résultat : $-{\displaystyle \frac{1}{12}}$.
4. Nombre à ajouter à $-{\displaystyle \frac{5}{6}}$ pour obtenir ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ :
   On calcule la différence : ${\displaystyle \frac{1}{4}}-(-{\displaystyle \frac{5}{6}})={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{3}{12}}+{\displaystyle \frac{10}{12}}={\displaystyle \frac{13}{12}}$.
   Vérification : ${\displaystyle \frac{-10}{12}}+{\displaystyle \frac{13}{12}}={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.