Fractions : multiplier, inverse et diviser

Rappels de 5e (fraction comme quotient, fraction × entier, fraction d’une quantité) ; produit de fractions positives ou négatives en simplifiant avant de multiplier, fraction d’une fraction ; inverse d’un nombre non nul ; diviser par une fraction ; enchaîner les quatre opérations avec les priorités et les barres de fraction.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 4e sur les fractions suit cinq parties : les rappels de 5e (fraction comme quotient, fraction fois un entier, fraction d’une quantité), le produit de deux fractions avec la règle des signes, la simplification avant de multiplier et la fraction d’une fraction, l’inverse d’un nombre et la différence avec l’opposé, la division par une fraction, enfin l’enchaînement des quatre opérations avec les priorités et les barres de fraction.

Rappels de 5e : fraction d’une quantité et fraction × entier

Ce chapitre prolonge le calcul sur les fractions de 6ᵉ et de 5ᵉ. On reprend d’abord tout ce qui a déjà été vu sur les produits, avec de nouveaux exemples : c’est la base de la multiplication et de la division de deux fractions.

Ce qu’il faut savoir La fraction, un quotient (6ᵉ).

\frac{a}{b}

(avec

b

différent de 0) est le nombre qui, multiplié par

b

, donne

a

b \times \frac{a}{b} = a

. C’est le quotient

a \div b

.
Simplifier (5ᵉ). Une fraction ne change pas quand on multiplie ou qu’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Fraction × entier (6ᵉ et 5ᵉ). On multiplie seulement le numérateur et on garde le dénominateur :

k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b}

, puis on simplifie.
Fraction d’une quantité (6ᵉ et 5ᵉ). Pour prendre les

\frac{a}{b}

d’une quantité, on la divise par

b

, puis on multiplie par

a

. Cela revient à multiplier la quantité par

\frac{a}{b}

: « les

\frac{a}{b}

de… » se traduit par «

\frac{a}{b} \times

… ».

Exemples

$9 \times \frac{4}{15} = \frac{36}{15} = \frac{12}{5}$ (on garde 15, puis on divise le numérateur et le dénominateur par 3).

Les $\frac{5}{12}$ de 84 min : $84 \div 12 = 7$ , puis $7 \times 5 = 35$ min. Avec un produit : $\frac{5}{12} \times 84 = \frac{420}{12} = 35$ min.

Le nombre qui, multiplié par 11, donne 4 est $\frac{4}{11}$ : $11 \times \frac{4}{11} = 4$ .

À l’envers : les $\frac{3}{4}$ d’une somme valent 27 €. Un quart de la somme vaut $27 \div 3 = 9$ €, la somme entière $9 \times 4 = 36$ €.

Réflexe — « les … de » après une fraction, je multiplie ; fois un entier, seul le numérateur est multiplié ; je simplifie toujours le résultat.

Attention — on ne multiplie pas aussi le dénominateur par l’entier : $9 \times \frac{4}{15} = \frac{36}{15}$ , et non $\frac{36}{135}$ , qui vaut encore $\frac{4}{15}$ : on n’aurait rien multiplié !

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Multiplier des fractions

Ce qu’il faut savoir Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

(

b

d

différents de 0). Pas besoin de dénominateur commun.
Le signe d’abord. Avec des fractions négatives, on applique la règle des signes : le produit de deux nombres de même signe est positif, celui de deux nombres de signes contraires est négatif. On calcule ensuite sans les signes.
Simplifier avant de multiplier. On écrit le produit sur une seule barre de fraction sans l’effectuer, on décompose les nombres en produits et on supprime les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
Fraction d’une fraction. Prendre les

\frac{a}{b}

\frac{c}{d}

, c’est calculer

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}

Exemples

$\frac{3}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{3 \times 4}{5 \times 7} = \frac{12}{35}$

$\frac{14}{15} \times \frac{10}{21} = \frac{14 \times 10}{15 \times 21} = \frac{2 \times 7 \times 2 \times 5}{3 \times 5 \times 3 \times 7} = \frac{4}{9}$ (on a supprimé les facteurs 7 et 5, en haut et en bas).

$(- \frac{5}{6}) \times \frac{9}{20}$ : signes contraires, le produit est négatif. $\frac{5 \times 9}{6 \times 20} = \frac{5 \times 3 \times 3}{2 \times 3 \times 4 \times 5} = \frac{3}{8}$ , donc $(- \frac{5}{6}) \times \frac{9}{20} = - \frac{3}{8}$ .

$(- \frac{4}{9}) \times (- \frac{3}{8}) = \frac{4 \times 3}{9 \times 8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$ (deux facteurs négatifs : le produit est positif).

Prendre une fraction d’une fraction

Exemple

Le carré est un terrain (l’unité). On fait un potager sur les $\frac{3}{4}$ du terrain (les 3 colonnes de gauche), puis on plante des tomates sur les $\frac{2}{3}$ du potager (2 lignes sur 3, en bleu foncé).

Les tomates occupent 6 carreaux sur 12 : $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ du terrain.

Le carré d’une fraction est un produit : ${(- \frac{3}{5})}^{2}$ se calcule comme $(- \frac{3}{5}) \times (- \frac{3}{5})$ , soit $\frac{9}{25}$ (deux facteurs négatifs).

Réflexe — je fixe d’abord le signe, j’écris le produit sur une seule barre, je simplifie, puis je multiplie ce qui reste.

Attention — pas de dénominateur commun dans un produit : $\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} = \frac{6}{49}$ , et non $\frac{6}{7}$ . Et on simplifie un numérateur avec un dénominateur, jamais deux numérateurs entre eux.

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Inverse d’un nombre

Ce qu’il faut savoir Deux nombres sont inverses l’un de l’autre lorsque leur produit est égal à 1.
Tout nombre

x

non nul a un inverse : c’est

\frac{1}{x}

, car

x \times \frac{1}{x} = 1

.
L’inverse de la fraction

\frac{a}{b}

(

a

b

non nuls) est

\frac{b}{a}

: on « retourne » la fraction. L’inverse de l’entier

n

est

\frac{1}{n}

.
Un nombre et son inverse ont le même signe. 0 n’a pas d’inverse : 0 multiplié par n’importe quel nombre donne 0, jamais 1.

Exemples

$\frac{3}{8} \times \frac{8}{3} = \frac{24}{24} = 1$ : l’inverse de $\frac{3}{8}$ est $\frac{8}{3}$ .

L’inverse de 7 est $\frac{1}{7}$ , car $7 \times \frac{1}{7} = 1$ . L’inverse de $\frac{1}{9}$ est 9.

$(- \frac{2}{11}) \times (- \frac{11}{2}) = \frac{22}{22} = 1$ : l’inverse de $- \frac{2}{11}$ est $- \frac{11}{2}$ .

Un décimal : $0, 8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ , donc son inverse est $\frac{5}{4} = 1, 25$ . Contrôle : $0, 8 \times 1, 25 = 1$ .

L’inverse de 3 est $\frac{1}{3}$ , qui n’a pas d’écriture décimale (1 ÷ 3 = 0,333…) : on le laisse en fraction.

1 et −1 sont chacun leur propre inverse : $1 \times 1 = 1$ et $(- 1) \times (- 1) = 1$ . Ce sont les seuls.

Inverse ou opposé ?

Deux nombres opposés ont une somme égale à 0 ; deux nombres inverses ont un produit égal à 1.

Nombre	Opposé	Inverse
$5$	$- 5$	$\frac{1}{5}$ , c’est-à-dire $0, 2$
$- \frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$	$- \frac{3}{2}$
$0, 4$	$- 0, 4$	$2, 5$
$0$	$0$	pas d’inverse

Réflexe — pour l’inverse d’une fraction, je la retourne et je garde son signe ; je contrôle que le produit des deux nombres vaut 1.

Attention — l’inverse n’est pas l’opposé : l’inverse de 5 est $\frac{1}{5}$ , pas $- 5$ . Et l’inverse de $0, 4$ n’est ni $0, 04$ ni $4$ : c’est $2, 5$ , car $0, 4 \times 2, 5 = 1$ .

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Diviser par une fraction

Ce qu’il faut savoir Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse :

a \div b = a \times \frac{1}{b}

.
Pour deux fractions (

b

c

d

non nuls) :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

. On garde la première fraction, on remplace « ÷ » par « × » et la fraction diviseur par son inverse.
Diviser une fraction par un entier

n

, c’est la multiplier par

\frac{1}{n}

\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b \times n}

.
Le signe d’un quotient suit la même règle que celui d’un produit.

Pourquoi ça marche ? Le quotient $\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}$ est le nombre qui, multiplié par $\frac{2}{3}$ , donne $\frac{4}{5}$ (comme en 6ᵉ : $b \times \frac{a}{b} = a$ ). Or $\frac{4}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ , et $\frac{6}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ : c’est bien lui. Multiplier par $\frac{3}{2}$ puis par $\frac{2}{3}$ , c’est multiplier par 1.

Exemples

$\frac{9}{20} \div \frac{21}{10} = \frac{9}{20} \times \frac{10}{21}$ $= \frac{9 \times 10}{20 \times 21}$ $= \frac{3 \times 3 \times 2 \times 5}{2 \times 2 \times 5 \times 3 \times 7} = \frac{3}{14}$

$\frac{5}{6} \div 10 = \frac{5}{6} \times \frac{1}{10} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$

$- 9 \div \frac{3}{4} = - 9 \times \frac{4}{3} = - \frac{36}{3} = - 12$ (signes contraires : quotient négatif).

$(- \frac{8}{15}) \div (- \frac{4}{5})$ : même signe, le quotient est positif. $\frac{8}{15} \times \frac{5}{4} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ .

« Combien de fois ? » : un problème de division

Une bouteille contient $\frac{3}{2}$ L. Pour savoir combien de verres de $\frac{1}{4}$ L elle remplit, on cherche combien de fois $\frac{1}{4}$ est contenu dans $\frac{3}{2}$ : $\frac{3}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \times 4 = 6$ verres. Contrôle : $6 \times \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ .

Un quotient écrit avec une barre de fraction

Le quotient de deux fractions peut s’écrire avec une grande barre : $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}$ veut dire $\frac{2}{3} \div \frac{5}{6}$ , c’est-à-dire $\frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ .

Réflexe — devant « ÷ une fraction », je garde la première fraction, je remplace ÷ par × et je retourne seulement la fraction par laquelle je divise.

Attention — on ne retourne pas la première fraction : $\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}$ n’est pas $\frac{5}{4} \times \frac{2}{3}$ . Et diviser par un nombre plus petit que 1 donne un résultat plus grand : diviser par $\frac{1}{4}$ , c’est multiplier par 4.

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Enchaîner les quatre opérations

Ce qu’il faut savoir Avec des fractions, les priorités sont les mêmes qu’avec les autres nombres :
1. les calculs entre parenthèses ;
2. les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
3. les additions et soustractions, de gauche à droite (au même dénominateur).
Une grande barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule le numérateur et le dénominateur, puis on divise.

Exemples

$\frac{1}{6} + \frac{5}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{6} + \frac{10}{30} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (le produit d’abord).

$(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}) \times \frac{2}{5} = 1 \times \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$ : avec les parenthèses, la somme passe avant.

$\frac{7}{8} - \frac{3}{8} \div \frac{3}{2} = \frac{7}{8} - \frac{3}{8} \times \frac{2}{3} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8}$

$(- \frac{2}{3}) \times (\frac{1}{2} - \frac{5}{4})$ $= (- \frac{2}{3}) \times (\frac{2}{4} - \frac{5}{4})$ $= (- \frac{2}{3}) \times (- \frac{3}{4})$ $= \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$\frac{1 + \frac{1}{3}}{2 - \frac{1}{3}}$ : numérateur $\frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ ; dénominateur $\frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$ . Puis $\frac{4}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$ .

Réflexe — avant de calculer, je repère les produits et les quotients : ils passent avant les sommes. J’écris une étape par ligne et je simplifie à chaque étape.

Attention — dans $\frac{1}{6} + \frac{5}{6} \times \frac{2}{5}$ , on n’additionne pas d’abord $\frac{1}{6}$ et $\frac{5}{6}$ . Et pour additionner, il faut un même dénominateur ; pour multiplier ou diviser, on n’en cherche pas.

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Pour aller plus loin

Voir aussi — la règle des signes pour un produit ou un quotient de nombres relatifs, et le nombre de facteurs négatifs : Relatifs : multiplier, diviser, enchaîner les opérations. Le signe d’une fraction, les écritures égales, la comparaison et les sommes de fractions relatives : Fractions : comparer, additionner, soustraire avec des relatifs.

Ensuite — décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers pour simplifier sûrement une fraction : Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers. Les puissances de 10 d’exposant négatif sont des inverses ( $10^{- 2} = \frac{1}{100}$ , l’inverse de $10^{2}$ ) : Puissances : exposant positif et puissances de 10.

Se verra en 3ᵉ — rendre systématiquement une fraction irréductible grâce à la décomposition en facteurs premiers.

À retenir

Rappels de 5e : $k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b}$ (seul le numérateur est multiplié) ; les $\frac{a}{b}$ d’une quantité : je divise par $b$ , puis je multiplie par $a$ , ce qui revient à multiplier par $\frac{a}{b}$ .
Produit : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux, sans dénominateur commun ; le signe se fixe d’abord avec la règle des signes, et on simplifie avant de multiplier. Les $\frac{a}{b}$ de $\frac{c}{d}$ , c’est $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$ .
Deux nombres inverses ont un produit égal à 1 : l’inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ , celui de $n$ est $\frac{1}{n}$ , avec le même signe. 0 n’a pas d’inverse ; l’inverse n’est pas l’opposé.
Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ ; on ne retourne que la fraction diviseur.
Priorités : parenthèses, puis × et ÷ de gauche à droite, puis + et − au même dénominateur ; une grande barre de fraction se calcule en haut et en bas avant de diviser.

Questions fréquentes

Comment calculer une fraction d’une quantité ?

On divise la quantité par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur : les 2/3 de 45 kg, c’est 45 ÷ 3 = 15, puis 15 × 2 = 30 kg. Cela revient à multiplier la quantité par la fraction. Pour multiplier une fraction par un entier, on multiplie seulement le numérateur : 4 × 5/7 = 20/7.

Comment multiplier deux fractions ?

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, sans chercher de dénominateur commun : 5/6 × 3/7 = 15/42 = 5/14. Avec des fractions négatives, on fixe d’abord le signe grâce à la règle des signes, et on simplifie avant de multiplier quand c’est possible.

Qu’est-ce que l’inverse d’un nombre ?

Deux nombres sont inverses l’un de l’autre quand leur produit vaut 1. L’inverse de 4/7 est 7/4, celui de 10 est 1/10, celui de −3/2 est −2/3 : un nombre et son inverse ont le même signe. 0 n’a pas d’inverse. Il ne faut pas confondre avec l’opposé : l’opposé de 10 est −10.

Comment diviser par une fraction ?

Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse. Pour diviser 5/8 par 3/4, on multiplie 5/8 par l’inverse de 3/4, qui est 4/3 : 5/8 × 4/3 = 20/24 = 5/6. Seule la fraction par laquelle on divise est retournée, jamais la première.

Dans quel ordre calcule-t-on avec des fractions ?

Comme avec les autres nombres : d’abord les parenthèses, puis les multiplications et les divisions de gauche à droite, enfin les additions et les soustractions. Ainsi 1/2 + 1/2 × 2/3 = 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 : le produit passe avant la somme.

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