Fractions : multiplier, inverse et diviser

Calcule et donne le résultat simplifié, sous la forme a/b ou d’un entier.

1. $7\times {\displaystyle \frac{3}{14}}=$
   Seul le numérateur est multiplié : $7\times {\displaystyle \frac{3}{14}}={\displaystyle \frac{21}{14}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ (on divise par $7$).
2. $10\times {\displaystyle \frac{4}{25}}=$
   $10\times {\displaystyle \frac{4}{25}}={\displaystyle \frac{40}{25}}={\displaystyle \frac{8}{5}}$ (on divise par $5$).
3. ${\displaystyle \frac{2}{9}}\times 36=$
   ${\displaystyle \frac{2}{9}}\times 36={\displaystyle \frac{72}{9}}=8$. Ou bien : $36÷9=4$, puis $4\times 2=8$.
4. $12\times {\displaystyle \frac{5}{8}}=$
   $12\times {\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{60}{8}}={\displaystyle \frac{15}{2}}$ (on divise par $4$).

Calcule la fraction de la quantité.

1. Les ${\displaystyle \frac{7}{10}}$ de $230$ km : km
   $230÷10=23$, puis $23\times 7=161$ km.
2. Les ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ d’une heure et demie ($90$ min) : min
   $90÷6=15$, puis $15\times 5=75$ min, soit $1$ h $15$ min.
3. Les ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ de $2$ kg ($2000$ g) : g
   $2000÷8=250$, puis $250\times 3=750$ g.

Trouve le nombre manquant (une fraction s’écrit sous la forme a/b).

1. $13\times$ $=6$
   Le nombre qui, multiplié par $13$, donne $6$ est le quotient $6÷13$, c’est-à-dire ${\displaystyle \frac{6}{13}}$ : $13\times {\displaystyle \frac{6}{13}}=6$.
2. Les ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ d’une somme valent $26$ €. La somme entière vaut €
   ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ de la somme vaut $26÷2=13$ €, la somme entière $13\times 5=65$ €. Contrôle : $65÷5\times 2=26$.
3. Les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ d’un trajet font $51$ km. Le trajet entier mesure km
   Un quart du trajet : $51÷3=17$ km. Le trajet entier : $17\times 4=68$ km.

Calcule et donne le résultat simplifié, sous la forme a/b.

1. ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{4}{5}}=$
   ${\displaystyle \frac{2\times 4}{3\times 5}}={\displaystyle \frac{8}{15}}$.
2. ${\displaystyle \frac{5}{7}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}=$
   ${\displaystyle \frac{5\times 3}{7\times 4}}={\displaystyle \frac{15}{28}}$.
3. ${\displaystyle \frac{9}{10}}\times {\displaystyle \frac{5}{12}}=$
   ${\displaystyle \frac{9\times 5}{10\times 12}}={\displaystyle \frac{45}{120}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$ (on divise par $15$). Plus vite : $9$ avec $12$, $5$ avec $10$.
4. ${\displaystyle \frac{4}{9}}\times {\displaystyle \frac{6}{7}}=$
   ${\displaystyle \frac{4\times 6}{9\times 7}}={\displaystyle \frac{24}{63}}={\displaystyle \frac{8}{21}}$ (on divise par $3$).

Fixe le signe, simplifie avant de multiplier, puis donne le résultat sous la forme a/b (le signe − au numérateur).

1. ${\displaystyle \frac{15}{16}}\times {\displaystyle \frac{8}{25}}=$
   ${\displaystyle \frac{15\times 8}{16\times 25}}={\displaystyle \frac{3\times 5\times 8}{2\times 8\times 5\times 5}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$.
2. ${\displaystyle \frac{8}{15}}\times {\displaystyle \frac{5}{12}}=$
   ${\displaystyle \frac{8\times 5}{15\times 12}}={\displaystyle \frac{4\times 2\times 5}{3\times 5\times 3\times 4}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$ (sans simplifier avant : ${\displaystyle \frac{40}{180}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$).
3. $(-{\displaystyle \frac{3}{4}})\times {\displaystyle \frac{10}{9}}=$
   Signes contraires : négatif. ${\displaystyle \frac{3\times 10}{4\times 9}}={\displaystyle \frac{3\times 2\times 5}{2\times 2\times 3\times 3}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$, donc le produit vaut $-{\displaystyle \frac{5}{6}}$.
4. $(-{\displaystyle \frac{9}{4}})\times (-{\displaystyle \frac{14}{27}})=$
   Deux facteurs négatifs : positif. ${\displaystyle \frac{9\times 14}{4\times 27}}={\displaystyle \frac{9\times 2\times 7}{2\times 2\times 9\times 3}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$.

Fraction d’une fraction, produits de plusieurs facteurs, carré (résultat sous la forme a/b).

1. On sème du gazon sur les ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ d’un jardin, et des trèfles sur les ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ de ce gazon. Fraction du jardin semée de trèfles :
   Les ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ des ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ : ${\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{10}{40}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ du jardin.
2. $(-{\displaystyle \frac{2}{3}})\times {\displaystyle \frac{9}{10}}\times (-{\displaystyle \frac{5}{6}})=$
   Deux facteurs négatifs : positif. ${\displaystyle \frac{2\times 9\times 5}{3\times 10\times 6}}={\displaystyle \frac{90}{180}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. ${(-{\displaystyle \frac{5}{4}})}^2=$
   Le carré est un produit de deux facteurs égaux, ici négatifs : ${\displaystyle \frac{5\times 5}{4\times 4}}={\displaystyle \frac{25}{16}}$, positif.
4. $(-{\displaystyle \frac{1}{2}})\times (-{\displaystyle \frac{3}{7}})\times (-{\displaystyle \frac{4}{5}})=$
   Trois facteurs négatifs (nombre impair) : négatif. ${\displaystyle \frac{1\times 3\times 4}{2\times 7\times 5}}={\displaystyle \frac{12}{70}}={\displaystyle \frac{6}{35}}$, donc $-{\displaystyle \frac{6}{35}}$.

Écris l’inverse, sous la forme a/b ou d’un entier.

1. L’inverse de ${\displaystyle \frac{4}{11}}$ :
   On retourne la fraction : ${\displaystyle \frac{4}{11}}\times {\displaystyle \frac{11}{4}}={\displaystyle \frac{44}{44}}=1$, l’inverse est ${\displaystyle \frac{11}{4}}$.
2. L’inverse de $8$ :
   $8\times {\displaystyle \frac{1}{8}}=1$ : l’inverse de $8$ est ${\displaystyle \frac{1}{8}}$.
3. L’inverse de ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ :
   ${\displaystyle \frac{1}{6}}\times 6=1$ : l’inverse est $6$.
4. L’inverse de $-{\displaystyle \frac{3}{10}}$ :
   Même signe, fraction retournée : $(-{\displaystyle \frac{3}{10}})\times (-{\displaystyle \frac{10}{3}})={\displaystyle \frac{30}{30}}=1$. L’inverse est $-{\displaystyle \frac{10}{3}}$.

Donne l’inverse en écriture décimale.

1. L’inverse de $0,5$ :
   $0,5={\displaystyle \frac{1}{2}}$, son inverse est $2$ : $0,5\times 2=1$.
2. L’inverse de $0,05$ :
   $0,05={\displaystyle \frac{5}{100}}={\displaystyle \frac{1}{20}}$, son inverse est $20$ : $0,05\times 20=1$.
3. L’inverse de $-0,2$ :
   $-0,2=-{\displaystyle \frac{1}{5}}$, son inverse est $-5$ (même signe) : $(-0,2)\times (-5)=1$.
4. L’inverse de $0,02$ :
   $0,02={\displaystyle \frac{2}{100}}={\displaystyle \frac{1}{50}}$, son inverse est $50$ : $0,02\times 50=1$.

Complète (une fraction s’écrit sous la forme a/b).

1. ${\displaystyle \frac{8}{13}}\times$ $=1$
   Le nombre cherché est l’inverse de ${\displaystyle \frac{8}{13}}$ : ${\displaystyle \frac{13}{8}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{8}{13}}\times {\displaystyle \frac{13}{8}}={\displaystyle \frac{104}{104}}=1$.
2. L’opposé de ${\displaystyle \frac{3}{7}}$ : ; son inverse :
   L’opposé change le signe (somme nulle) : $-{\displaystyle \frac{3}{7}}$. L’inverse retourne la fraction (produit égal à $1$) : ${\displaystyle \frac{7}{3}}$.
3. En dehors de $1$, le seul nombre égal à son inverse :
   $(-1)\times (-1)=1$ : $-1$ est son propre inverse, comme $1$. Pour tout autre nombre $x$ non nul, $x\times x$ ne vaut pas $1$.
4. Le nombre dont l’inverse est $0,25$ :
   $0,25={\displaystyle \frac{1}{4}}$, et l’inverse de ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ est $4$ : $4\times 0,25=1$.

Calcule et donne le résultat simplifié, sous la forme a/b.

1. ${\displaystyle \frac{3}{7}}÷{\displaystyle \frac{2}{5}}=$
   ${\displaystyle \frac{3}{7}}÷{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{3}{7}}\times {\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{15}{14}}$.
2. ${\displaystyle \frac{1}{4}}÷{\displaystyle \frac{5}{8}}=$
   ${\displaystyle \frac{1}{4}}÷{\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{8}{5}}={\displaystyle \frac{8}{20}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$.
3. ${\displaystyle \frac{5}{6}}÷{\displaystyle \frac{5}{9}}=$
   ${\displaystyle \frac{5}{6}}÷{\displaystyle \frac{5}{9}}={\displaystyle \frac{5}{6}}\times {\displaystyle \frac{9}{5}}={\displaystyle \frac{45}{30}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$.
4. ${\displaystyle \frac{5}{8}}÷{\displaystyle \frac{15}{4}}=$
   ${\displaystyle \frac{5}{8}}÷{\displaystyle \frac{15}{4}}={\displaystyle \frac{5}{8}}\times {\displaystyle \frac{4}{15}}={\displaystyle \frac{20}{120}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$.

Avec un entier ou un nombre négatif (résultat sous la forme a/b ou d’un entier).

1. ${\displaystyle \frac{4}{9}}÷2=$
   Diviser par $2$, c’est multiplier par ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ : ${\displaystyle \frac{4}{9}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{4}{18}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$.
2. $6÷{\displaystyle \frac{2}{7}}=$
   $6÷{\displaystyle \frac{2}{7}}=6\times {\displaystyle \frac{7}{2}}={\displaystyle \frac{42}{2}}=21$.
3. $-6÷{\displaystyle \frac{3}{5}}=$
   Signes contraires : négatif. $6\times {\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{30}{3}}=10$, donc le quotient vaut $-10$.
4. $(-{\displaystyle \frac{3}{8}})÷(-{\displaystyle \frac{9}{16}})=$
   Même signe : positif. ${\displaystyle \frac{3}{8}}\times {\displaystyle \frac{16}{9}}={\displaystyle \frac{48}{72}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Problème, barre de fraction, nombre manquant (une fraction s’écrit sous la forme a/b).

1. Combien de bouteilles de ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ L remplit-on avec $15$ L de jus ?
   On cherche combien de fois ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ est contenu dans $15$ : $15÷{\displaystyle \frac{3}{4}}=15\times {\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{60}{3}}=20$ bouteilles.
2. ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{7}{10}}}{{\displaystyle \frac{14}{15}}}}=$
   C’est ${\displaystyle \frac{7}{10}}÷{\displaystyle \frac{14}{15}}={\displaystyle \frac{7}{10}}\times {\displaystyle \frac{15}{14}}={\displaystyle \frac{105}{140}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$.
3. Le nombre qui, multiplié par ${\displaystyle \frac{4}{7}}$, donne ${\displaystyle \frac{6}{5}}$ :
   Le nombre cherché est le quotient ${\displaystyle \frac{6}{5}}÷{\displaystyle \frac{4}{7}}={\displaystyle \frac{6}{5}}\times {\displaystyle \frac{7}{4}}={\displaystyle \frac{42}{20}}={\displaystyle \frac{21}{10}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{21}{10}}\times {\displaystyle \frac{4}{7}}={\displaystyle \frac{84}{70}}={\displaystyle \frac{6}{5}}$.

Calcule en respectant les priorités ; résultat simplifié, sous la forme a/b ou d’un entier.

1. ${\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{3}{2}}=$
   Le produit d’abord : ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Puis ${\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}=0$.
2. ${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}=$
   ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$. Puis ${\displaystyle \frac{2}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. ${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}÷{\displaystyle \frac{2}{3}}=$
   Le quotient d’abord : ${\displaystyle \frac{1}{6}}÷{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Puis ${\displaystyle \frac{10}{12}}-{\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{7}{12}}$.

Avec des parenthèses (résultat sous la forme a/b ou d’un entier, le signe − au numérateur).

1. $({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}})\times {\displaystyle \frac{6}{5}}=$
   Les parenthèses : ${\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$. Puis ${\displaystyle \frac{5}{6}}\times {\displaystyle \frac{6}{5}}={\displaystyle \frac{30}{30}}=1$ (deux nombres inverses).
2. $({\displaystyle \frac{3}{4}}-1)÷{\displaystyle \frac{1}{8}}=$
   Les parenthèses : ${\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{4}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$. Puis diviser par ${\displaystyle \frac{1}{8}}$, c’est multiplier par $8$ : $-{\displaystyle \frac{8}{4}}=-2$.
3. ${\displaystyle \frac{2}{5}}\times ({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{4}})=$
   Les parenthèses : ${\displaystyle \frac{2}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$. Puis signes contraires : ${\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{20}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$, donc $-{\displaystyle \frac{1}{10}}$.

Barres de fraction et enchaînements plus longs (résultat sous la forme a/b ou d’un entier).

1. ${\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{1}{5}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{3}}}}=$
   Numérateur : ${\displaystyle \frac{5}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$. Dénominateur : ${\displaystyle \frac{3}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$. Puis ${\displaystyle \frac{4}{5}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{12}{20}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$.
2. ${\displaystyle \frac{5}{6}}÷{\displaystyle \frac{1}{12}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}=$
   De gauche à droite : ${\displaystyle \frac{5}{6}}÷{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{5}{6}}\times 12={\displaystyle \frac{60}{6}}=10$, puis $10\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{10}{4}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$.
3. $-{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{5}{3}}\times (-{\displaystyle \frac{4}{5}})=$
   Le produit d’abord, signes contraires : ${\displaystyle \frac{5\times 4}{3\times 5}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$, donc $-{\displaystyle \frac{4}{3}}$. Puis $-{\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}=-{\displaystyle \frac{6}{3}}=-2$.