Relatifs : multiplier, diviser, enchaîner les opérations

Rappels de 5ᵉ (signe, distance à zéro, opposé, comparer, additionner et soustraire des relatifs, sommes algébriques), multiplier et diviser deux relatifs avec la règle des signes (justifiée par la distributivité), multiplications et divisions à trou, produit de plusieurs facteurs (nombre de facteurs négatifs), carré et cube d’un nombre négatif, enchaînements d’opérations avec les priorités, nommer un calcul et traduire un programme de calcul ; problèmes.

À propos de cette page

Des exercices corrigés de 4e classés par cas et par difficulté : sommes et différences de relatifs, produits et quotients avec des entiers et des décimaux, nombres manquants dans une multiplication ou une division, signe d’un produit de plusieurs facteurs, carrés et cubes de nombres négatifs, calculs avec priorités et programmes de calcul.

12 exercices, classés par cas comme le cours. Écris ta réponse, puis « Vérifier ».

Cas 1Rappels de 5ᵉ : additionner et soustraire des relatifs

Réflexe — même signe : j’additionne les distances à zéro ; signes contraires : je les soustrais et le plus éloigné de zéro donne le signe ; soustraire, c’est ajouter l’opposé. Revoir la méthode →

Exercice 1★★★Facile

Calcule. Écris le signe − si le résultat est négatif.

$(- 17) + (+ 8) =$
Signes contraires : $17 - 8 = 9$ ; le plus éloigné de zéro est $- 17$ .
$(- 17) + (+ 8) = - 9$ .
$(- 4, 5) - (- 7) =$
Soustraire $- 7$ , c’est ajouter $7$ : $(- 4, 5) + 7 = 2, 5$ .
$(+ 6) - (+ 13) =$
$(+ 6) - (+ 13) = 6 + (- 13)$ ; signes contraires : $13 - 6 = 7$ , signe du $- 13$ .
Résultat : $- 7$ .
$(- 2, 7) + (- 4, 6) =$
Même signe $-$ : $2, 7 + 4, 6 = 7, 3$ , on garde le $-$ .
$(- 2, 7) + (- 4, 6) = - 7, 3$ .

Exercice 2★★★Moyen

Simplifie l’écriture, puis regroupe les positifs et les négatifs.

$- 11 + 6 - 4 + 9 =$
Positifs : $6 + 9 = 15$ ; négatifs : $- 11 - 4 = - 15$ .
$15 + (- 15) = 0$ : les deux totaux sont opposés.
$7 - (- 5) + (- 12) - 6 =$
Écriture simplifiée : $7 + 5 - 12 - 6$ .
Positifs : $7 + 5 = 12$ ; négatifs : $- 12 - 6 = - 18$ . Résultat : $12 - 18 = - 6$ .
$- 2, 5 - 1, 5 + 8 - (+ 0, 5) =$
Écriture simplifiée : $- 2, 5 - 1, 5 + 8 - 0, 5$ .
Négatifs : $- 2, 5 - 1, 5 - 0, 5 = - 4, 5$ ; positif : $8$ . Résultat : $8 - 4, 5 = 3, 5$ .

Exercice 3★★★Difficile

Variations, écarts, comparaisons.

La température passe de $- 16$ °C à $3$ °C. Variation, en °C :
Variation = arrivée − départ : $3 - (- 16) = 3 + 16 = 19$ . C’est une hausse de $19$ °C.
Écart entre $- 6, 5$ et $- 12$ :
Le plus grand est $- 6, 5$ : $- 6, 5 - (- 12) = - 6, 5 + 12 = 5, 5$ .
Le plus petit des nombres $- 3, 08$ ; $- 3, 8$ ; $- 3, 1$ ; $0, 2$ :
Parmi les négatifs, le plus petit est le plus éloigné de zéro : $3, 8 > 3, 1 > 3, 08$ . C’est $- 3, 8$ .
$- 6 + \dots = - 15$ : le nombre manquant est
Une addition à trou se complète par une soustraction : $- 15 - (- 6) = - 15 + 6 = - 9$ .
Vérification : $- 6 + (- 9) = - 15$ .

Cas 2Multiplier et diviser deux relatifs : la règle des signes

Réflexe — le signe d’abord (même signe → +, signes contraires → −), puis le calcul avec les distances à zéro. Revoir la méthode →

Exercice 4★★★Facile

Calcule ces produits et ces quotients.

$(- 7) \times (+ 6) =$
Signes contraires : négatif ; $7 \times 6 = 42$ .
$(- 7) \times (+ 6) = - 42$ .
$(- 6) \times (- 8) =$
Même signe : positif ; $6 \times 8 = 48$ .
$(- 6) \times (- 8) = 48$ .
$(- 54) \div (+ 6) =$
Signes contraires : négatif ; $54 \div 6 = 9$ .
$(- 54) \div (+ 6) = - 9$ .
$(- 81) \div (- 9) =$
Même signe : positif ; $81 \div 9 = 9$ .
$(- 81) \div (- 9) = 9$ .
$(+ 13) \times (- 1) =$
Multiplier par $- 1$ donne l’opposé : $(+ 13) \times (- 1) = - 13$ .
$(- 12) \times 0 =$
Un produit qui contient le facteur $0$ vaut $0$ , quel que soit le signe de l’autre facteur.

Exercice 5★★★Moyen

Avec des décimaux et des barres de fraction.

$(- 9) \times (- 1, 5) =$
Même signe : positif ; $9 \times 1, 5 = 13, 5$ .
$\frac{- 7, 2}{- 2} =$
Même signe : positif ; $7, 2 \div 2 = 3, 6$ .
$(- 0, 3) \times 40 =$
Signes contraires : négatif ; $0, 3 \times 40 = 12$ .
$(- 0, 3) \times 40 = - 12$ .
$\frac{0}{- 15} =$
$0$ divisé par un nombre non nul vaut $0$ . (Diviser par $0$ , en revanche, est impossible.)
$\frac{27}{- 0, 9} =$
Signes contraires : négatif ; $27 \div 0, 9 = 270 \div 9 = 30$ .
Le quotient vaut $- 30$ .

Exercice 6★★★Difficile

Trouve le nombre manquant.

$(- 4) \times \dots = - 52$ : le nombre manquant est
Je calcule $(- 52) \div (- 4) = 13$ (même signe : positif).
Vérification : $(- 4) \times 13 = - 52$ .
$\dots \div (- 7) = + 11$ : le nombre manquant est
Une division à trou se complète par une multiplication : $11 \times (- 7) = - 77$ .
Vérification : $(- 77) \div (- 7) = 11$ .
$\frac{- 63}{\dots} = - 9$ : le nombre manquant est
Je calcule $(- 63) \div (- 9) = 7$ .
Vérification : $(- 63) \div 7 = - 9$ (signes contraires).
$(- 0, 5) \times \dots = 3$ : le nombre manquant est
Je calcule $3 \div (- 0, 5) = - 6$ (signes contraires).
Vérification : $(- 0, 5) \times (- 6) = 3$ .

Cas 3Plusieurs facteurs, carré et cube : trouver le signe

Réflexe — je compte les facteurs négatifs : pair → positif, impair → négatif ; un facteur nul rend le produit nul. Revoir la méthode →

Exercice 7★★★Facile

Sans calculer, donne le signe du résultat : écris + ou −.

Signe de $(- 1) \times (- 4) \times (- 7)$ :
Trois facteurs négatifs, c’est un nombre impair : le produit est négatif.
Signe de $(- 2, 3) \times (- 0, 6) \times 5, 1 \times (- 1, 9) \times (- 4)$ :
Quatre facteurs négatifs ( $- 2, 3$ ; $- 0, 6$ ; $- 1, 9$ ; $- 4$ ), c’est un nombre pair : le produit est positif.
Signe de $(- 3, 2)^{3}$ :
$(- 3, 2)^{3} = (- 3, 2) \times (- 3, 2) \times (- 3, 2)$ : trois facteurs négatifs, le cube est négatif.
Signe de $\frac{(- 7) \times 13}{- 5}$ :
Deux nombres négatifs ( $- 7$ au numérateur, $- 5$ au dénominateur) : le quotient est positif.

Exercice 8★★★Moyen

Calcule ces produits.

$(- 2) \times (- 3) \times (+ 5) =$
Deux facteurs négatifs (pair) : positif ; $2 \times 3 \times 5 = 30$ .
$(- 4) \times (- 1) \times (- 2) \times (- 3) =$
Quatre facteurs négatifs (pair) : positif ; $4 \times 1 \times 2 \times 3 = 24$ .
$(- 2) \times (- 5) \times (- 4) =$
Trois facteurs négatifs (impair) : négatif ; $2 \times 5 \times 4 = 40$ .
Résultat : $- 40$ .
$(- 9) \times (+ 4) \times 0 \times (- 6) =$
Le facteur $0$ suffit : le produit vaut $0$ , sans compter les signes.

Exercice 9★★★Difficile

Carrés, cubes et quotients.

$(- 7)^{2} =$
$(- 7)^{2} = (- 7) \times (- 7) = 49$ : deux facteurs négatifs, le carré est positif.
$- 7^{2} =$
Sans parenthèses, le carré porte sur $7$ seulement : $- 7^{2} = - (7 \times 7) = - 49$ .
$(- 4)^{3} =$
$(- 4)^{3} = (- 4) \times (- 4) \times (- 4) = - 64$ : trois facteurs négatifs.
$\frac{(- 5) \times (+ 8)}{- 10} =$
Numérateur : $(- 5) \times (+ 8) = - 40$ . Puis $(- 40) \div (- 10) = 4$ (même signe).
$(- 0, 3)^{2} \times (- 10) =$
Le carré d’abord : $(- 0, 3)^{2} = 0, 09$ . Puis $0, 09 \times (- 10) = - 0, 9$ .

Cas 4Enchaîner les opérations avec des relatifs

Réflexe — parenthèses, carrés et cubes, puis × et ÷ avec leur signe, enfin + et − ; une étape par ligne. Revoir la méthode →

Exercice 10★★★Facile

Calcule en respectant les priorités.

$- 9 + 5 \times (- 3) =$
Le produit d’abord : $5 \times (- 3) = - 15$ .
Puis $(- 9) + (- 15) = - 24$ .
$(- 4) \times 3 + (- 2) \times (- 6) =$
Les deux produits d’abord : $(- 4) \times 3 = - 12$ et $(- 2) \times (- 6) = 12$ .
Puis $- 12 + 12 = 0$ .
$- 7 - 3 \times (- 5) =$
Le produit passe avant : $3 \times (- 5) = - 15$ .
Puis $(- 7) - (- 15) = (- 7) + 15 = 8$ .
$(- 3) \times [5 + (- 9)] =$
Le crochet d’abord : $5 + (- 9) = - 4$ .
Puis $(- 3) \times (- 4) = 12$ .

Exercice 11★★★Moyen

Avec des carrés, des cubes et des barres de fraction.

$(- 5)^{2} - 4 \times (- 2) =$
Le carré : $(- 5)^{2} = 25$ ; le produit : $4 \times (- 2) = - 8$ .
Puis $25 - (- 8) = 25 + 8 = 33$ .
$\frac{- 12 - 8}{3 - 8} =$
Numérateur : $- 12 - 8 = - 20$ ; dénominateur : $3 - 8 = - 5$ .
Puis $(- 20) \div (- 5) = 4$ .
$20 \div (- 4) \times (- 3) =$
Même priorité : de gauche à droite. $20 \div (- 4) = - 5$ , puis $(- 5) \times (- 3) = 15$ .
$6 - (- 2)^{3} =$
Le cube d’abord : $(- 2)^{3} = - 8$ .
Puis $6 - (- 8) = 6 + 8 = 14$ .

Exercice 12★★★Difficile

Nomme, traduis et calcule.

$(- 3) \times 4 - 9$ est une (écris « somme », « différence », « produit » ou « quotient »)
On calcule d’abord $(- 3) \times 4 = - 12$ , puis $- 12 - 9$ : la dernière opération est une soustraction, c’est une différence (elle vaut $- 21$ ).
Programme : choisir $- 5$ ; ajouter $2$ ; multiplier par $- 4$ ; soustraire $7$ . Résultat :
Expression : $(- 5 + 2) \times (- 4) - 7$ .
$(- 3) \times (- 4) - 7 = 12 - 7 = 5$ .
Le produit de $- 3$ par la somme de $- 8$ et $2$ vaut
Expression : $(- 3) \times (- 8 + 2) = (- 3) \times (- 6) = 18$ .
La différence de $10$ et du quotient de $- 36$ par $12$ vaut
Expression : $10 - (- 36) \div 12$ . Le quotient d’abord : $(- 36) \div 12 = - 3$ .
Puis $10 - (- 3) = 10 + 3 = 13$ .

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