Fractions : multiplier, inverse et diviser

1. a)$14\times {\displaystyle \frac{5}{21}}={\displaystyle \frac{70}{21}}={\displaystyle \frac{10}{3}}$ (on divise par $7$) (1)
2. b)$98÷7=14$, puis $14\times 4=56$ km (1)
3. c)C’est le quotient de $3$ par $17$ : ${\displaystyle \frac{3}{17}}$, car $17\times {\displaystyle \frac{3}{17}}=3$ (1)
4. d)${\displaystyle \frac{1}{8}}$ de la somme vaut $30÷5=6$ €, la somme entière $6\times 8=48$ € (1)

Repère — Fois un entier, seul le numérateur change ; « les ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ de », on divise par $b$ puis on multiplie par $a$ ; à l’envers, on retrouve d’abord une part.

1. a)${\displaystyle \frac{9\times 7}{14\times 12}}={\displaystyle \frac{3\times 3\times 7}{2\times 7\times 3\times 4}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$ (1)
2. b)Signes contraires : négatif. ${\displaystyle \frac{4\times 25}{15\times 8}}={\displaystyle \frac{100}{120}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$, donc $-{\displaystyle \frac{5}{6}}$ (1)
3. c)Deux facteurs négatifs : positif. ${\displaystyle \frac{6\times 10\times 3}{5\times 9\times 4}}={\displaystyle \frac{180}{180}}=1$ (1)
4. d)$(-{\displaystyle \frac{5}{3}})\times (-{\displaystyle \frac{5}{3}})$ : positif, ${\displaystyle \frac{5\times 5}{3\times 3}}={\displaystyle \frac{25}{9}}$ (1)

Méthode — Le signe se décide en comptant les facteurs négatifs ; on simplifie sur une seule barre avant de multiplier, et on ne cherche jamais de dénominateur commun.

1. a)${\displaystyle \frac{4}{7}}$ ; $-{\displaystyle \frac{1}{5}}$ (même signe) ; $0,04={\displaystyle \frac{4}{100}}={\displaystyle \frac{1}{25}}$, donc son inverse est $25$ (1)
2. b)${\displaystyle \frac{5}{9}}÷{\displaystyle \frac{10}{3}}={\displaystyle \frac{5}{9}}\times {\displaystyle \frac{3}{10}}={\displaystyle \frac{15}{90}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$ (1)
3. c)Signes contraires : négatif. ${\displaystyle \frac{2}{7}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{28}}={\displaystyle \frac{1}{14}}$, donc $-{\displaystyle \frac{1}{14}}$ (1)
4. d)$8÷{\displaystyle \frac{4}{5}}=8\times {\displaystyle \frac{5}{4}}={\displaystyle \frac{40}{4}}=10$ (1)

Le point clé — Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse : on ne retourne que la fraction par laquelle on divise.

1. a)Le produit d’abord : ${\displaystyle \frac{1}{5}}\times {\displaystyle \frac{5}{4}}={\displaystyle \frac{5}{20}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Puis ${\displaystyle \frac{14}{20}}-{\displaystyle \frac{5}{20}}={\displaystyle \frac{9}{20}}$ (1)
2. b)Les parenthèses : ${\displaystyle \frac{2}{5}}-{\displaystyle \frac{5}{5}}=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$. Puis $-{\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{10}{9}}=-{\displaystyle \frac{30}{45}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ (1)
3. c)Diviser par ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, c’est multiplier par $2$ : ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times 2={\displaystyle \frac{6}{4}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Sami a multiplié par ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ au lieu de multiplier par son inverse (1)
4. d)Le produit passe avant la somme : ${\displaystyle \frac{4}{5}}\times {\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{12}{40}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$, puis ${\displaystyle \frac{2}{10}}+{\displaystyle \frac{3}{10}}={\displaystyle \frac{5}{10}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Inès a d’abord additionné ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ et ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ (1)

Méthode — On repère les produits et les quotients avant de calculer : ils passent avant les sommes, sauf s’il y a des parenthèses.

1. a)Les ${\displaystyle \frac{2}{9}}$ des ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ : ${\displaystyle \frac{2}{9}}\times {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{6}{45}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$ de la capacité (1)
2. b)${\displaystyle \frac{3}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{15}}={\displaystyle \frac{9}{15}}-{\displaystyle \frac{2}{15}}={\displaystyle \frac{7}{15}}$ de la capacité (1)
3. c)${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{7}{15}}={\displaystyle \frac{25}{30}}-{\displaystyle \frac{14}{30}}={\displaystyle \frac{11}{30}}$ de la capacité. La capacité vaut $440÷{\displaystyle \frac{11}{30}}=440\times {\displaystyle \frac{30}{11}}=1200$ L (1)
4. d)Contenu : ${\displaystyle \frac{5}{6}}\times 1200=1000$ L. Il en reste les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ : ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times 1000=750$ L $=0,75$ m³ (1)

Méthode — Une fraction « du contenu » se multiplie par la fraction de la capacité ; quand on connaît une fraction d’une quantité, on divise par cette fraction pour retrouver la quantité entière.