Fractions : multiplier, inverse et diviser

Rappels de 5e (fraction comme quotient, fraction × entier, fraction d’une quantité) ; produit de fractions positives ou négatives en simplifiant avant de multiplier, fraction d’une fraction ; inverse d’un nombre non nul ; diviser par une fraction ; enchaîner les quatre opérations avec les priorités et les barres de fraction.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés où l’on multiplie et divise des fractions : les joueuses d’un club de handball, une recette de crêpes adaptée pour quatre, des tours de lac en courant, l’argent de poche dépensé en deux fois, un rouleau de ruban découpé et deux robinets qui remplissent une cuve.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère de quel tout parle chaque fraction (le club, le rouleau, ce qui reste…).
Je traduis : « les … de » une quantité ou d’une fraction → je multiplie ; « combien de fois … dans … » ou « la quantité entière » quand on connaît une fraction de celle-ci → je divise ; des parts d’un même tout → j’additionne ou je soustrais.
Je calcule en respectant les priorités, je simplifie, et je multiplie par l’inverse pour diviser.
Je vérifie que le résultat est vraisemblable (une part est plus petite que le tout), puis je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Le club de handball★★★Facile

Un club de sport compte

180

adhérents. Les

\frac{4}{9}

des adhérents jouent au handball ; parmi les joueurs de handball, les

\frac{3}{8}

sont des filles. Les fractions s’écrivent sous la forme a/b.

1. Combien d’adhérents jouent au handball ?
Les $\frac{4}{9}$ de $180$ : $180 \div 9 = 20$ , puis $20 \times 4 = 80$ joueurs.
2. Quelle fraction des adhérents du club sont des filles qui jouent au handball ?
Les $\frac{3}{8}$ des $\frac{4}{9}$ : une fraction d’une fraction, on multiplie. $\frac{3}{8} \times \frac{4}{9} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$ des adhérents.
3. Combien de filles jouent au handball ?
$\frac{1}{6}$ de $180$ : $180 \div 6 = 30$ filles. Contrôle : les $\frac{3}{8}$ des $80$ joueurs, $80 \div 8 \times 3 = 30$ .
4. La cotisation annuelle est de $72$ € ; les joueuses de handball n’en paient que les $\frac{5}{6}$ . Combien paie une joueuse ? €
$72 \div 6 = 12$ , puis $12 \times 5 = 60$ €.

Problème 2 · La recette pour quatre★★★Facile

Une recette de crêpes pour

6

personnes demande

\frac{3}{4}

kg de farine et

\frac{2}{3}

L de lait. Noé veut la faire pour

4

personnes. Les fractions s’écrivent sous la forme a/b.

1. Par quelle fraction faut-il multiplier les quantités pour passer de $6$ à $4$ personnes ?
$4$ personnes, c’est les $\frac{4}{6}$ de $6$ personnes, et $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .
2. Quelle masse de farine faut-il, en kg ?
$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ kg.
3. Quel volume de lait faut-il, en L ?
$\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ L (un peu moins d’un demi-litre).
4. Combien de fois Noé peut-il faire cette recette pour $4$ avec un paquet de $2$ kg de farine ?
On cherche combien de fois $\frac{1}{2}$ kg est contenu dans $2$ kg : $2 \div \frac{1}{2} = 2 \times 2 = 4$ fois.

Problème 3 · Le tour du lac★★★Moyen

Le tour d’un lac mesure

\frac{5}{2}

km. Yanis s’entraîne à courir autour du lac ; il fait un tour en un quart d’heure, soit

\frac{1}{4}

1. Combien de tours Yanis doit-il faire pour courir $15$ km ?
On cherche combien de fois $\frac{5}{2}$ est contenu dans $15$ : $15 \div \frac{5}{2} = 15 \times \frac{2}{5} = \frac{30}{5} = 6$ tours.
2. Mardi, il s’arrête après les $\frac{4}{5}$ d’un tour. Quelle distance a-t-il courue, en km ?
Les $\frac{4}{5}$ de $\frac{5}{2}$ km : $\frac{4}{5} \times \frac{5}{2} = \frac{20}{10} = 2$ km.
3. Jeudi, il court pendant $\frac{7}{4}$ h. Combien de tours fait-il ?
Un tour dure $\frac{1}{4}$ h : $\frac{7}{4} \div \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \times 4 = 7$ tours.
4. Quelle distance court-il jeudi, en km (écriture décimale) ?
$7 \times \frac{5}{2} = \frac{35}{2} = 17, 5$ km.

Problème 4 · L’argent de poche★★★Moyen

Zoé dépense les

\frac{2}{7}

de son argent de poche pour un jeu vidéo, puis les

\frac{3}{5}

de ce qui lui reste pour des vêtements. Il lui reste alors

16

€. Les fractions s’écrivent sous la forme a/b.

1. Quelle fraction de son argent de poche lui reste-t-il après le jeu vidéo ?
$1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ .
2. Quelle fraction de son argent de poche dépense-t-elle pour les vêtements ?
Les $\frac{3}{5}$ de ce qui reste, c’est-à-dire les $\frac{3}{5}$ des $\frac{5}{7}$ : $\frac{3}{5} \times \frac{5}{7} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$ .
3. Quelle fraction de son argent de poche lui reste-t-il à la fin ?
$\frac{5}{7} - \frac{3}{7} = \frac{2}{7}$ .
4. Combien d’euros d’argent de poche avait-elle au départ ?
Les $\frac{2}{7}$ de son argent valent $16$ € : $16 \div \frac{2}{7} = 16 \times \frac{7}{2} = \frac{112}{2} = 56$ €. Contrôle : $56 \div 7 \times 2 = 16$ .

Problème 5 · Le rouleau de ruban★★★Difficile

Maëlle a un morceau de ruban de

\frac{7}{2}

m : c’est les

\frac{7}{10}

d’un rouleau neuf. Elle coupe dans son morceau des rubans de

\frac{3}{8}

m pour décorer des paquets.

1. Quelle était la longueur du rouleau neuf, en m ?
Les $\frac{7}{10}$ du rouleau font $\frac{7}{2}$ m, donc le rouleau mesure $\frac{7}{2} \div \frac{7}{10} = \frac{7}{2} \times \frac{10}{7} = \frac{70}{14} = 5$ m.
2. Combien de rubans entiers de $\frac{3}{8}$ m peut-elle couper ?
$\frac{7}{2} \div \frac{3}{8} = \frac{7}{2} \times \frac{8}{3} = \frac{56}{6} = \frac{28}{3}$ . Or $28 \div 3$ : $9$ , il reste $1$ : elle coupe $9$ rubans entiers.
3. Quelle longueur de ruban lui reste-t-il, en cm ?
$9 \times \frac{3}{8} = \frac{27}{8}$ m et $\frac{7}{2} = \frac{28}{8}$ m : il reste $\frac{1}{8}$ m, soit $100 \div 8 = 12, 5$ cm.

Problème 6 · Les deux robinets★★★Difficile

Le robinet A remplit

\frac{2}{9}

d’une cuve en une minute. Le robinet B, seul, remplit la cuve en

3

minutes. Les fractions s’écrivent sous la forme a/b.

1. Combien de minutes faut-il au robinet A seul pour remplir la cuve ?
On cherche combien de fois $\frac{2}{9}$ est contenu dans $1$ (la cuve entière) : $1 \div \frac{2}{9} = \frac{9}{2}$ min, l’inverse de $\frac{2}{9}$ , soit $4$ min $30$ s.
2. Quelle fraction de la cuve le robinet B remplit-il en une minute ?
B remplit la cuve en $3$ minutes : en une minute, $\frac{1}{3}$ de la cuve (l’inverse de $3$ ).
3. Quelle fraction de la cuve les deux robinets ouverts ensemble remplissent-ils en une minute ?
$\frac{2}{9} + \frac{1}{3} = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{5}{9}$ de la cuve par minute.
4. Combien de temps faut-il aux deux robinets ensemble pour remplir la cuve ? min s
$1 \div \frac{5}{9} = \frac{9}{5}$ min $= 1, 8$ min. Or $0, 8$ min $= 0, 8 \times 60$ s $= 48$ s : $1$ min $48$ s.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs